1、第三节直线与圆、圆与圆的位置关系(一)课时训练【选题明细表】知识点、方法题号与圆的方程相关的知识1,3,8,12,14相切问题2,4,5,6,9轨迹问题15综合问题7,10,11,13一、选择题1.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得的弦的长度为4,则实数a的值是(B)(A)-2(B)-4(C)-6(D)-8解析:将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d=,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4.故选B.2.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直
2、线l的斜率的最小值为 (B)(A)(B)-(C)(D)-解析:由曲线(x-2)2+y2=1可知,该曲线表示的是圆心为(2,0),半径为1的圆,那么根据过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,可知圆心到直线l的距离小于等于圆的半径.故设直线l的方程为y=k(x-4)(斜率不存在不符合题意),那么化为一般式即为kx-y-4k=0,由点到直线的距离公式d=r=1,然后两边平方化简可知4k2k2+1,所以3k21,所以k2,所以-k,可知直线l的斜率的最小值为-.故选B.3.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为(B)(A)2x+y-5=0
3、(B)2x+y-7=0(C)x-2y-5=0(D)x-2y-7=0解析:由题意知点(3,1)在圆上,代入圆的方程可得r2=5,圆的方程为(x-1)2+y2=5,则过点(3,1)的切线方程为(x-1)(3-1)+y(1-0)=5,即2x+y-7=0.故选B.4.直线x+y=0绕原点按顺时针方向旋转30所得直线与圆(x-2)2+y2=3的位置关系是(A)(A)直线与圆相切(B)直线与圆相交但不过圆心(C)直线与圆相离(D)直线过圆心解析:直线x+y=0的斜率为-,倾斜角为150,绕原点按顺时针方向旋转30所得直线倾斜角为120,斜率为-,所以直线方程为x+y=0,圆(x-2)2+y2=3的圆心到直
4、线x+y=0的距离d=,正好等于圆的半径,所以直线与圆相切.故选A.5.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为(D)(A)3(B)(C)2 (D)2解析:圆C:x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径r=1.由圆的性质,知S四边形PACB=2SPBC.因为四边形PACB的最小面积是2,所以SPBC的最小值为1,则rdmin=1(d是切线长),所以dmin=2.因为圆心到直线kx+y+4=0(k0)的距离就是PC的最小值,所以|PC|min=.因为k0,所以k=2.故
5、选D.6.过点P(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为(B)(A)y=-(B)y=-(C)y=-(D)y=-解析:圆(x-1)2+y2=1的圆心C为(1,0),半径为1,以|PC|=2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-.故选B.7.已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l的方程为x+y=2,过圆C上任意一点P作与l夹角为45的直线交l于点A,则|PA|的最小值为(D)(A)(B)1(C)-1(D)2-解析:由题意可知,直线PA与坐标轴平行或重合,不妨设直线PA与y轴
6、平行或重合,设P(cos ,sin ),则A(cos ,2-cos ),所以|PA|=|2-cos -sin |=|2-sin(+)|,所以|PA|的最小值为2-,故选D.二、填空题8.圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+y-3=0的距离为.解析:因为圆心为(1,0),所以d=1.答案:19.圆心在曲线y=(x0)上,且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为.解析:设圆心坐标为(a,)(a0),则圆心到直线3x+4y+3=0的距离d(a)=(a+1)(4+1)=3,当且仅当a=2时等号成立,此时圆心坐标为(2,),圆的半径为3.答案:(x-2)2+(y-)2=910.圆x2+
7、y2-2x-4y=0的圆心C的坐标是,设直线l:y=k(x+2)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则k=.解析:圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,所以圆心为(1,2).又d=2,所以=2,得k=0或.答案:(1,2)0或11.若实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则的最大值为,最小值为.解析:因为=,所以表示过点P(-1,0)与圆(x-2)2+y2=3上的点(x,y)的直线的斜率.由图象知的最大值和最小值分别是过P与圆相切的直线PA,PB的斜率.又因为kPA=,kPB=-=-=-.即的最大值为,最小值为-.答案:-12.方程|x|-1=所表示的曲线是.解析:由题意知,(
8、|x|-1)2+(y-1)2=1,又|x|-10,即x1或x-1,故表示两个半圆.答案:两个半圆13.过x轴上一点P向圆C:x2+(y-2)2=1作切线,切点分别为A,B,则PAB面积的最小值是.解析:因为圆的方程为x2+(y-2)2=1,所以圆心C(0,2)、半径r为1,设点P(a,0),则PC=,PA=PB=,sinAPB=2=,所以SPAB=PAPBsinAPB=,令=t,t,所以SPAB=在,+)上单调递增,所以当t=时,PAB面积有最小值为.答案:三、解答题14.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过P作圆C的切线,设切点为M.(1)若点P运动到(
9、1,3)处,求此时切线l的方程;(2)求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程.解:把圆C的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心为C(-1,2),半径r=2.(1)当l的斜率不存在时,此时l的方程为x=1,C到l的距离d=2=r,满足条件.当l的斜率存在时,设斜率为k,得l的方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,则=2,解得k=-.所以l的方程为y-3=-(x-1),即3x+4y-15=0.综上,满足条件的切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)设P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x
10、2+y2,因为|PM|=|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得2x-4y+1=0,所以点P的轨迹方程为2x-4y+1=0.15.已知线段AB的端点B的坐标为(0,3),端点A在圆C:(x+1)2+y2=4上运动.(1)求线段AB的中点M的轨迹方程;(2)过B点的直线l与圆C有两个交点P,Q,弦PQ的长为,求直线l的方程.解:(1)设M的坐标为(x,y),因为B的坐标为(0,3),所以A的坐标为(2x,2y-3),又因为A在圆C上,所以有(2x+1)2+(2y-3)2=4,即(x+)2+(y-)2=1为所求的轨迹方程.(2)当直线l斜率不存在时,方程为x=0,不满足条件;当直线l斜率存在时,设直线方程为y=kx+3,由弦长|PQ|=知,圆心C(-1,0)到直线l的距离d=,由点到直线的距离公式得=,化简得28k2+75k-72=0,解得k=或k=-,所以直线l的方程为y=x+3或y=-x+3.