1、专题能力训练6函数与方程及函数的应用一、能力突破训练1.若x0是函数f(x)=log 2x-1x的零点,则()A.-1x00B.0x01C.1x02D.2x00的零点个数为()A.0B.1C.2D.33.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=sin x+x的零点依次为x1,x2,x3,则下列结论正确的是()A.x1x2x3B.x1x3x2C.x3x1x2D.x2x30(kR).若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是()A.2,+)B.(-1,0)C.-2,1)D.(-,-25.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x
2、)=ln x+x-2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为.6.已知函数f(x)=x3,xa,x2,xa.若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.7.一个放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要年.(填正整数)8.已知关于x的方程x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该方程仅有一个实根的是.(写出所有正确条件的编号)a=-3,b=-3;a=-3,b=2;a=-3,b2;a=0,b=2;a=1,b=2.9.已知函数f(x)=2x,g(x)=12|x|+2.(1)求
3、函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.10.如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v0),雨速沿E移动方向的分速度为c(cR).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|S成正比,比例系数为110;其他面的淋雨量之和,其值为12.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=32时,(1)写出y的解析式;(2)设0v10,0c5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少.二、思维提升训练11.已知函数f(x)=ex+2(x0)与g(
4、x)=ln(x+a)+2的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A.-,1eB.(-,e)C.-1e,eD.-e,1e12.已知函数f(x)=ln x-12x-1+a有唯一的零点x0,且x0(2,3),则实数a的取值范围是.13.已知函数f(x)=13x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.14.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满足函数关系:x=2 000q.若乙方每生产一吨产品
5、必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)在乙方年产量为q(单位:吨)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?专题能力训练6函数与方程及函数的应用一、能力突破训练1.C解析:因为f(x)的图象在区间(1,2)内连续,且f(1)=-1,f(2)=12,即f(1)f(2)0,所以函数f(x)在区间(1,2)内有零点,即1x00时,令-2+lnx=0,解得x=
6、e2.所以函数f(x)有2个零点.故选C.3.B解析:在同一平面直角坐标系中画出y=3x,y=log3x,y=sinx与y=-x的图象,如图所示,可知x10,x3=0,则x1x3x2.4.D解析:由y=|f(x)|+k=0,得|f(x)|=-k0,所以k0,作出函数y=|f(x)|的图象,要使直线y=-k与函数y=|f(x)|的图象有三个交点,则有-k2,即k-2.故选D.5.f(a)f(1)0恒成立,则函数f(x)在R上是增函数.因为f(0)=e0+0-2=-10,所以函数f(x)的零点a(0,1).由题意,知g(x)=1x+10,则函数g(x)在区间(0,+)内是增函数.又g(1)=ln1
7、+1-2=-10,则函数g(x)的零点b(1,2).综上,可得0a1b2.因为f(x)在R上是增函数,所以f(a)f(1)f(b).6.(-,0)(1,+)解析:要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)的图象与直线y=b有两个不同的交点.当0a1时,由f(x)的图象(图略)知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点.当a0时,由f(x)的图象(如图)知,f(x)在区间(-,a上单调递增,在区间(a,0)内单调递减,在区间0,+)内单调递增,且a30,所以,当0b1时,由f(x)的图象(如图)知,f(x)在区间(-,a上单调递增,在区间(a,+)内单调递增,但a
8、3a2,所以当a2ba3时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.综上,实数a的取值范围是a1.7.4解析:设这种放射性物质最初的质量为1,经过x(xN)年后,剩留量是y,则y=14x.依题意,得14x1100,整理得22x100,解得x4.所以至少需要4年.8.解析:方程仅有一个实根,则函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个公共点.当a=-3时,f(x)=x3-3x+b,f(x)=3x2-3,由f(x)=0,得x=1,易知f(x)在x=-1处取极大值,在x=1处取极小值.当b=-3时,f(-1)=-10,f(1)=-50,f(1)=0,图象与x轴有2个公共点,不满足题意,故不正确;
9、当b2时,f(-1)=2+b4,f(1)=-2+b0,满足题意,故正确;当a=0和a=1时,f(x)=3x2+a0,f(x)在R上为增函数,所以函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个交点,故也满足题意.9.解(1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2.因为|x|0,所以012|x|1,即20时,由2x-12x-2=0,得(2x)2-22x-1=0,(2x-1)2=2,解得2x=12.因为2x0,所以2x=1+2,即x=log2(1+2).10.解(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为320|v-c|+12,故y=100v320|v-c|+12=5v(3|v-c|+10)(v
10、0).(2)由(1)知,当0vc时,y=5v(3c-3v+10)=5(3c+10)v-15;当cv10时,y=5v(3v-3c+10)=5(10-3c)v+15.故y=5(3c+10)v-15,0vc,5(10-3c)v+15,cv10.当0c103时,y是关于v的减函数.故当v=10时,ymin=20-3c2.当103c5时,在区间(0,c上,y是关于v的减函数;在区间(c,5上,y是关于v的增函数.故当v=c时,ymin=50c.二、思维提升训练11.B解析:由题意,得方程f-x-gx=0在区间(0,+)内有解,即e-x+2-ln(x+a)-2=0在区间(0,+)内有解,即函数y=e-x的
11、图象与y=ln(x+a)的图象在区间(0,+)内有交点,把点(0,1)代入y=ln(x+a),得1=lna,解得a=e,故ae.12.14-ln3,12-ln2解析:令f(x)=0,得lnx=12x-1-a.在同一平面直角坐标系中分别画出y=lnx与y=12x-1-a的图象知,y=lnx为增函数,而y=12x-1-a为减函数.要使两函数图象交点的横坐标落在区间(2,3)内,必须有ln2123-1-a,解得14-ln3a0;当x(3-23,3+23)时,f(x)0,所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0.设g(x)=x3x2+x+1-3a,则g(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+
12、1)20,仅当x=0时g(x)=0,所以g(x)在区间(-,+)内单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162-160,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.14.解(1)因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2000q-sq(q0).因为w=2000q-sq=-sq-1000s2+10002s,所以当q=1000s2时,w取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量q=1000s2吨.(2)设甲方净收入为v元,则v=sq-0.002q2,将q=1000s2代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式:v=10002s-210003s4.又v=-10002s2+810003s5=10002(8000-s3)s5,令v=0得s=20.当s0;当s20时,v0.所以当s=20时,v取得最大值.因此当甲方向乙方要求赔付价格s为20元/吨时,获得最大净收入.