1、2014年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的共轭复数为（）A3iB1iC1+iD2+2i2要得到函数y=2sin（2x）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位3（已知集合A=x|x+1|1，Bx|y=，则AB=（）A（2，1）B（2，1C（1，0）D1，0）4若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A 60种B63种C65种D66种5某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（
2、）A BC82D6若函数f（x）=x3x2+x+1在x=1处的切线的倾斜角为，则的值是（）A BCD7双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线被圆M：（x8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为（）A 2BC4D8已知函数f（x）=ex+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x的零点依次为a，b，c，则（）A cbaBabcCcabDbac9已知实数x，y满足约束条件，若ykx3恒成立，则实数k的数值范围是（）A ，0B0，C（，0，+）D（，0，+）10（若三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60，则球O的表面积为（）A 64
3、B16C12D411如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为（）A B9CD912执行如图所示的一个程序框图，若f（x）在1，a上的值域为0，2，则实数a的取值范围是（）A（0，1B1，C1，2D，2二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）（2014洛阳三模）命题“x0，x2+x20”的否定是_14（5分）（2014洛阳三模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，C=45，1+=，则边c的值为_15（5分）（2014洛阳三模）已知P是抛物线y2=4x上的动点，过P作抛物线准线的垂线，垂
4、足为M、N是圆（x2）2+（y5）2=1上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是_16（5分）（2014洛阳三模）已知xR，y0，5，我们把满足方程x2+8xsin（x+y）+16=0的解（x，y）组成的集合记为M，则集合M中的元素个数是_三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤17（12分）（2014洛阳三模）已知an的各项均为正数的数列，其前n项和为Sn，若2Sn=an2+an（n1），且a1、a3、a7成等比数列（1）求an的通项公式；（2）令bn=2，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn+4=2b18（12分）（2014洛阳三模）现有一个寻宝游戏，规
5、则如下：在起点P处有A、B、C三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在B线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至P处，期间所花费的时间记为X（1）求X30分钟的概率；（2）求X的分布列及EX的值19（12分）（2014洛阳三模）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，DAB=60，沿对角线BD将ABD折起，使得AC=（1）求证：平面ABD平面BCD；（2
6、）求二面角FDGC的余弦值20（12分）（2014洛阳三模）如图，A，B是双曲线y2=1的左右顶点，C，D是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AC与BD的交点为E（1）求点E的轨迹W的方程；（2）若W与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为M，N，直线y=kx（k0）与W的两个交点分别是P，Q（其中P是第一象限），求四边形MPNQ面积的最大值21（12分）（2014洛阳三模）已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是5x4y+1=0（）求a，b的值；（）设g（x）=2ln（x+1）mf（x），若当x0，+）时，恒有g（x）0，求m的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题作
7、答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑【选修4-1：几何证明选项】22（10分）（2014洛阳三模）如图，已知AB是O的直径，C为O上一点，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，AMCP，垂足为M，CDAB，垂足为D（1）求证：AD=AM；（2）若O的直径为2，PCB=30，求PC的长【选修4-4：坐标系与参数方程】23（2014洛阳三模）已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=4cos（）（1）求直线l的参数方程化为普通方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆C
8、上的点到直线l距离的取值范围【选修4-5：不等式选项】24（2014洛阳三模）已知函数f（x）=2|x+1|x3|（1）求不等式f（x）5的解集；（2）当x2，2时，关于x的不等式f（x）|2t3|0有解，求实数t的取值范围三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤17、解：（）2Sn=an2+an（n1），n2时，2Sn1=an12+an1，两式相减，得2an=+anan1，整理，得（an+an1）（anan11）=0，an+an10，）anan1=1，又4s1=+a1，即a1=0，解得：a1=1，an是以1为首项，1为公差的等差数列 又a1、a3、a7成等
9、比数列=a1a7，即=a1（a1+6），解得a1=2，an=2+（n1）1=n+1（2）证明：由（1）得bn=2n+1，Tn=22+23+2n+1=2n+24，Tn+4=2n+2=2bn18解：（1）X30分钟的概率：P（X30）=P（B）+P（AB）=（2）由题意知X的所有可能取值为20，30，50，60，P（X=20）=P（B）=，P（X=30）=P（AB）=，P（X=50）=P（CB）=，P（X=60）=P（ABC）+P（CAB）=，X的分布列为： X 20 30 50 60 PEX=20+30+50+60=40（分）19（1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60，ABD，CB
10、D为等边三角形，E是BD的中点，AEBD，AE=CE=，AC=，AE2+CE2=AC2，AEEC，AE平面BCD，又AE平面ABD，平面ABD平面BCD；（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系Exyz，则D（0，1，0），C（，0，0），F（0，）G（，1，），平面CDG的一个法向量=（0，0，1），设平面FDG的法向量=（x，y，z），=（0，），=（，1，），即，令z=1，得x=3，y=，故平面FDG的一个法向量=（3，1），cos=，二面角FDGC的余弦值为20解：（1）由已知A（2，0），B（2，0），设C（x0，y0），D（x0，y0
11、），则，由两点式分别得直线AC，BD的方程为：直线AC：，直线BD：，两式相乘，得，由，得=，代入，得：，整理，得4y2=x24，点E的轨迹W的方程（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），联立，得（4k2+1）x2=4，P（），Q（），四边形MPNQ的面积S=SQOM+SDMP+SNOP+SNOQ=2（SQMP+SQNP），S=2yP+xP=2=2=2，k0，4k+4，故当且仅当，即k=时，四边形MPNQ的面积取最大值为221解：（）求导函数，可得曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是5x4y+1=0，（4分）（）由（）知：，则，（6分）令h（x）=mx2+（22m）x+2
12、2m，当m=0时，h（x）=2x+2，在x0，+）时，h（x）0，g（x）0，即g（x）在0，+）上是增函数，则g（x）g（0）=0，不满足题设当m0时，且h（0）=22m0x0，+）时，h（x）0，g（x）0，即g（x）在0，+）上是增函数，则g（x）g（0）=0，不满足题设（8分）当0m1时，则=（22m）2+4m（2=2m）=4（1m2）0，由h（x）=0得；则x0，x2）时，h（x）0，g（x）0即g（x）在0，x2）上是增函数，则g（x2）g（0）=0，不满足题设（10分）当m1时，=（22m）2+4m（2=2m）=4（1m2）0，h（x）0，g（x）0，即g（x）在0，+）上是减函
13、数，则g（x）g（0）=0，满足题设综上所述，m1，+）（12分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑【选修4-1：几何证明选项】22（1）证明：AB是O的直径，ACB=90，ACD+BCD=90，CDAB，ABC+BCD=90，ACD=ABC，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，MCA=ABC=ACD，AMC=ADC=90，AC=AC，AMCADC，AD=AM；（2）解：PCB=30，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，PAC=PCB=30，在RtABC中，AB=2，BAC=30，BC=1，ABC
14、=60，BPC=30，BPC=BCP，BC=BP=1，由切割线定理得PC2=PBPA=PB（PB+BA）=3，PC=【选修4-4：坐标系与参数方程】23解：（1）由（t为参数）得直线l的普通方程为又，即；（2）由得圆心C（1，），半径r=2圆心C到直线l的距离d=直线l与圆C相离圆C上的点到直线l的距离的取值范围是【选修4-5：不等式选项】24、解：（1）f（x）=2|x+1|x3|=，由式f（x）5，可得 ，或 ，或解求得x3，解求得 2x3，解求得 x10故不等式的解集为2，+）（，10（2）当x2，2时，f（x）4，5，关于x的不等式f（x）|2t3|0有解，5|2t3|0，即52t35，求得1t4，故t的范围为1，4
