1、第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课标解读课标要求素养要求1.能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.能熟练运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简、求值与证明.数学运算掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并能灵活运用这些公式进行化简、求值与证明.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 两角和的余弦公式cos(+)=coscos-sinsin(C(+) .要点二 两角和与差的正弦公式sin(+)= sincos+cossin(S(+) ,sin(-)=sincos-cossin(S(-) .要点三 两角和与差的正切公式tan(+)=tan+
2、tan1-tantan(T(+) , tan(-)= tan-tan1+tantan(T(-) .自主思考1.是否存在,R ，使得sin(+)=sin+sin ，sin(-)=sin-sin 成立？答案：提示 存在.当=30 ，=-30 时，sin(+)=sin+sin 成立.当=45 ，=0 时，sin(-)=sin-sin 成立.2.tan(+)=tan+tan1-tantan 等价于tan+tan=tan(+)(1-tantan) 吗？答案：提示 等价.当k+2(kZ) ，k+2(kZ) ，+k+2(kZ) 时，tan(+)=tan+tan1-tantan 两边同乘1-tantan 可得
3、tan+tan=tan(+)(1-tantan) .名师点睛1.注意公式的结构特征和符号规律对于公式C(-) ，C(+) ，可记为“同名相乘,符号反”.对于公式S(-) ，S(+) ，可记为“异名相乘,符号同”.对于公式T(-) ，T(+) ，可记为“分子同,分母异”.2.在两角和与差的正切公式中, ， ，+ ，- 均不等于k+2(kZ) ,这是由正切函数的定义域决定的.3.两角和与差的正切公式的变形与特例（1）变形公式：tan+tan=tan(+)(1-tantan) ;tan-tan=tan(-)(1+tantan) ;tantan=1-tan+tantan(+) .（2）公式的特例：ta
4、n(4+)=1+tan1-tan ；tan(4-)=1-tan1+tan .互动探究关键能力探究点一 化简求值精讲精练例 （1）cos70sin50-cos200sin40= .（2）(tan10-3)cos10sin50= .（3）已知cos(+6)=45 , 为锐角,则sin= .（4）1+tan1051-tan105= .（5）求tan20+tan40+3tan20tan40 的值.答案：（1）32（2）-2 （3）33-410（4）-33（5）3解析：（1）因为cos200=cos(180+20)=-cos20=-sin70,sin40=cos50 ，所以原式=cos70sin50-(
5、-sin70)cos50=sin(50+70)=sin120=32 .（2）原式=(sin10cos10-3)cos10sin50=sin10-3cos10cos10cos10sin50=2(12sin10-32cos10)sin50=2sin(10-60)sin50=-2 .（3）因为(0,2) ，cos(+6)=450 ,所以+6(6,2) .所以sin(+6)=1-cos2(+6)=1-(45)2=35 .所以sin=sin(+6)-6=sin(+6)cos6-cos(+6)sin6=3532-4512=33-410 .（4）因为tan45=1 ，所以1+tan1051-tan105=t
6、an45+tan1051-tan45tan105=tan(45+105)=tan150=-33 .（5）因为tan(20+40)=tan20+tan401-tan20tan40=3 ,所以tan20+tan40=3(1-tan20tan40),所以tan20+tan40+3tan20tan40=3 .解题感悟化简求值的策略（1）当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.（2）当“已知角”有一个时,此时需注意“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.（3）在利用两角和与差的公式时先从所要化简式子的结构出发,确定是正用、逆用还是
7、变形用,并注意整体代换.（4）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简的式子中出现特殊的数值时,例如：“1”“3”,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如1=tan43=tan3，这样可以构造出利用公式的条件,从而进行化简求值.迁移应用（1）2cos12+6sin12= .（2）已知 为钝角,且sin(+12)=13 ,则cos(+512)= .（3）tan74+tan761-tan74tan76= .（4）tan23+tan37+3tan23tan37= .答案：（1）2 （2）-22+36（3）-33（4）3解析：（1）原式=22(12cos12+32sin12)=2
8、2sin(6+12)=22sin4=2 .（2）因为 为钝角,且sin(+12)=13 ,所以cos(+12)=-223 ,所以cos(+512)=cos(+12)+3=cos(+12)cos3-sin(+12)sin3=-22312-1332=-22+36 .（3）原式=tan(74+76)=tan150=-33 .（4）因为tan60=3=tan23+tan371-tan23tan37 ，所以tan23+tan37=3-3tan23tan37 ，所以tan23+tan37+3tan23tan37=3 .探究点二 给值求角精讲精练例 （1）已知锐角 ， 满足sin=255 ，cos=1010
9、 ,则+= .（2）已知tan(-)=12 ，tan=-17 ，,(0,) ,则2- 的值为 .答案：（1）34（2）-34解析：（1）由题意得cos=55 ，sin=31010 ,所以cos(+)=coscos-sinsin=551010-25531010=-22 .因为0+ ,所以+=34 .（2）由题意得tan=tan(-)+=tan(-)+tan1-tan(-)tan=12-171-12(-17)=13 ,tan(2-)=tan(-)+=tan(-)+tan1-tan(-)tan=12+131-1312=1 .因为tan=130 ,tan=-170 ,所以(0,2) ,(2,) ,所以
10、-(-,0) .又因为tan(-)=120 ,所以-(-,-2) ,2-=+(-)(-,0) .又tan(2-)=1 ,所以2-=-34 .解题感悟解决给值求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角范围是(0,) 或(,2) 时,选取求余弦值,当所求角范围是（2,32 ）或（-2,2 ）时,选取求正弦值.迁移应用1.（2021湖北黄冈高一月考）已知 , 为锐角,且cos=110 ,cos=15 ,则+ 的值是( )A.23 B.34 C.4 D.3答案：B解析：（1）因为, 为锐角,且cos=110,cos=15 ,所以
11、sin=310,sin=25 ,由, 为锐角,可得0+ ,cos(+)=coscos-sinsin=-22 ,故+=34 ,故选B.2.（2021湖南邵阳邵东县第一中学高一月考）若锐角, 满足(1+3tan)(1+3tan)=4 ,则+ 的值为( )A.6 B.56C.3 D.23答案：C解析：由题意得1+3tan+3tan+3tantan=4 ,则tan+tan+3tantan=3 ,故tan(+)=tan+tan1-tantan=3 .因为, 是锐角,所以+(0,) ,故+=3 .故选C.探究点三 两角和与差三角函数公式的综合运用精讲精练例 （1）求函数f(x)=3sinx-cosx 的最
12、小正周期,值域,单调递增区间;（2）设,(-2,2),tan,tan 是一元二次方程x2+33x+4=0 的两个根,求+ 的值.答案：（1）f(x)=3sinx-cosx=2(sinx32-cosx12)=2(sinxcos6-cosxsin6)=2sin(x-6) ,所以T=2=2 ,值域为-2,2 .由-2+2kx-62+2k,kZ ,得f(x) 的单调递增区间为-3+2k,23+2k,kZ .（2）由根与系数的关系得,tan+tan=-33,tantan=4,所以tan(+)=tan+tan1-tantan=-331-4=3 .因为tan+tan0,tantan0 ,且,(-2,2) ,
13、所以tan0,tan0 ,所以+(-,0) ,所以+=-23 .解题感悟1.三角函数公式可以正用、逆用和变形用.熟记公式22sinx22cosx=sin(x4) ；32sinx12cosx=sin(x6) ；12sinx32cosx=sin(x3) .2.当化简的式子中出现“tantan ”与“tantan ”形式时,要把它们看成两个整体,一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件,进而缩小角的范围.迁移应用1.已知ABC 的三个内角分别为A ,B ,C ,若tanA,tanB 是方程3x2-6x+2=0 的两个根,试判断ABC 的形
14、状.答案：依题意得tanA+tanB=20,tanAtanB=230,所以tanA0,tanB0 ,又A,B,C(0,) ,所以A(0,2),B(0,2) ,又tanC=tan-(A+B)=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanAtanB=-21-23=-60 ,所以C(2,) ,所以ABC 为钝角三角形.评价检测素养提升1.（2021湖北荆州高一检测）sin160cos40-cos160sin40= ( )A.14 B.32 C.12 D.34答案：B2.（2021山东德州夏津第一中学高一检测）已知cos(+)=45 ,cos(-)=-45 ,则coscos 的值为( )A.0B
15、.45C.0或45 D.0或45答案：A3.已知tan=4,tan(-)=-3 ,则tan(+)= ( )A.711 B.-711 C.713 D.-713答案：B解析：由已知得tan=3 ,所以tan(+)=tan+tan1-tantan=3+41-34=-711 .4.已知tan+tan=2,tan(+)=4 ,则tantan= .答案：12解析：因为tan(+)=tan+tan1-tantan ,所以1-tantan=tan+tantan(+)=24=12 ,所以tantan=1-12=12 .5.已知sin=35 ， 为第二象限角,且tan(+)=1 ,求tan 的值.答案：由sin=35 , 为第二象限角得,cos=-45 ,则tan=-34 ,所以tan=tan(+)-=tan(+)-tan1+tan(+)tan=1-(-34)1+(-34)=7 .