1、第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型基础过关练题组一不同增长的函数模型的比较1.下列函数中随x值的增大,增长速度最快的函数是() A.y=50x(xZ)B.y=lg xC.y=0.42x-1D.y=110000ex2.2020年春季,突如其来的“新冠肺炎”肆虐全球,疫情期间,各行各业都受到了不同程度的影响.下表是某城市房地产销售公司1月份到5月份的销售数据,结合数据用函数模型来刻画房产销售增长趋势,则下列函数模型中能较好地反映该城市房地产销售关系的是()月份x12345销售量y(套)20672050A.y=20xB.y=7x2-35x+48C.y=54xD.y
2、=30log2x-103.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是.4.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图.(1)指出图中C1,C2分别对应哪一个函数;(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).题组二不同增长的函数模型的图象特征5.(2020山东潍
3、坊高一上期末)已知函数y=xa,y=bx,y=logcx的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为() A.abcB.bacC.acbD.bca6.(2020山西太原理工大学附属中学高一月考)如图,直线l和圆C,当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数.这个函数图象大致是()7.函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;(2)结合函数图象,比较f(6),g(6), f(2 020),g(2 020)的
4、大小.8.已知函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数.(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x(0,+),试分别写出使不等式:log2x2xx2;log2xx20,且a1,b0,c0,k0.(1)请选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;(2)这辆汽车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少?11.(2020山东日照高一期末)为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”主旋律,某旅游风景区以“绿水青山”为主题,特别制作了旅游纪念章,决定近期投放市场,根据市场调研情况,预计每枚该纪念章的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:上市时间x(天)2620市场价y(
5、元)10278120(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y(元)与上市时间x(天)的变化关系,并说明理由;y=ax+b;y=ax2+bx+c;y=alogbx;y=ax+b.(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格;(3)利用你选取的函数解决下面问题:若存在x(10,+),使得不等式f(x)x-10-k0成立,求实数k的取值范围.答案全解全析第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型基础过关练1.D2.B5.A6.D9.C1.D指数“爆炸式”增长,y=0.42x-1和y=110000ex虽然都是指数型函数
6、,但y=110000ex的底数e较大些,增长速度更快.2.答案B信息提取1月份到5月份的销售数据图表.数学建模以疫情期间某城市房地产的销售情况为情境,构建拟合函数模型,结合变量数据选择合适的函数.解析受疫情影响,2月、3月销售低迷,4月后疫情得到有效控制,销量逐渐上升,结合数据分析y=7x2-35x+48符合要求.故选B.3.答案y2解析以“爆炸式”增长的变量呈指数型函数变化.从题表中数据可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化的,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,所以变量y2关于x呈指数型函数变化. 4.解析(1)由函数的图象特征及变化趋势,知曲线
7、C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,曲线C2对应的函数为f(x)=lg x.(2)当x(0,x1)时,g(x)f(x);当x(x1,x2)时,g(x)f(x).g(x)呈直线增长,函数的增长速度不变, 随着x的增大,f(x)的增长速度越来越慢,为“对数增长”.5.A由题中图象知,0a1,c1.在函数y=bx中,当x=1时,y=b(1,2),在函数y=logcx中,当y=1时,x=c(2,3).因此,abg(1)=1, f(2)=4g(2)=8, f(9)=512g(10)=1 000,1x12,9x210,由题图可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),f(6)x2时, f(x)g(x)
8、,f(2 020)g(2 020).又g(2 020)g(6),f(2 020)g(2 020)g(6)f(6).8.解析(1)函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数,f(x)=2x.(2)作出函数y=2x,y=x2,y=log2x在同一直角坐标系中的图象,如图.观察图象,可得:log2x2xx2,2x4,解集为(2,4);log2xx22x,0x4,解集为(0,2)(4,+).9.C将题目中的数据代入各函数中,易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.10.解析(1)由题意可知,符合本题的函数模型必须满足定义域为0,120,且在0,120上为增函数.函数F(v)=12v+a在0,120
9、上是减函数,所以不符合题意,函数F(v)=klogav+b的v0,所以定义域不可能为0,120,不符合题意,所以选择函数F(v)=av3+bv2+cv,由已知数据得40(402a+40b+c)=203,60(602a+60b+c)=658,80(802a+80b+c)=10,解得a=138400,b=-1240,c=724.所以F(v)=138400v3-1240v2+724v(0v120).经检验,当v=0和v=120时,上式也满足.(2)设这辆车在该测试路段的总耗油量为y,行驶时间为t,由题意,得y=Ft=138400v3-1240v2+724v240v=1160v2-v+70=1160(
10、v-80)2+30.因为0v120,所以当v=80时,y有最小值30.所以这辆汽车在该测试路段上以80 km/h的速度行驶时总耗油量最少,最少为30 L.11.信息提取纪念章的市场价y(元)与上市时间x(天)的数据对应表;给定的四个拟合函数;不等式f(x)x-10-k0.数学建模以旅游纪念章的销售为情境构建拟合函数模型,结合给定数据选出对应的函数,求解相应最值,解决不等式能成立问题.解析(1)随着时间x的增加,y的值先减后增,而所给的四个函数中,y=ax+b,y=alogbx和y=ax+b显然都是单调函数,不满足题意,选择y=ax2+bx+c.(2)把点(2,102),(6,78),(20,1
11、20)代入y=ax2+bx+c中,得4a+2b+c=102,36a+6b+c=78,400a+20b+c=120,解得a=12,b=-10,c=120,y=12x2-10x+120=12(x-10)2+70.当x=10时,y有最小值70.故当纪念章上市10天时,该纪念章的市场价最低,最低市场价为70元.(3)由题意,令g(x)=f(x)x-10=12(x-10)+70x-10,若存在x(10,+),使得不等式g(x)-k0成立,则需kg(x)min,根据函数分析可知,函数g(x)在(10,10+235)上单调递减,在(10+235,+)上单调递增,当x=10+235时,g(x)取得最小值,且最小值为g(10+235)=235,k235.