1、第二章基本初等函数()2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质第2课时对数函数的性质及应用基础过关练题组一对数函数的单调性和奇偶性 1.(2020四川成都新都一中高一月考)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)2.(2020河北衡水中学高一上月考)设f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=log2x,则ff116=()A.-2B.12C.-4D.143.(2020湖北襄阳高二期中)已知函数f(x)=ln(1+x2-x)+1, f(a)=3,则f(-a)=.4.已知函数f(x)=logamx+1x-1(a0,且a1)在定义
2、域(-,-1)(1,+)上是奇函数.(1)求m的值;(2)判断f(x)在区间(1,+)上的单调性,并加以证明.题组二指数函数与对数函数的关系5.函数y=1ax与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是()A.ab=1B.a+b=1C.a=bD.a-b=16.(2020四川泸县五中高二月考)已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x(x1)的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=()A.-7B.-9C.-11D.-137.(2020河南鹤壁高中开学考试)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f
3、(-4)=1,则a=()A.-1B.1C.2D.4题组三对数函数性质的综合运用8.(2020重庆高一上月考)不等式log2(x+1)1的解集为()A.x|0x1B.x|-1x0C.x|-1x-19.(2020江西南昌二中调考)已知是圆周率,e为自然对数的底数,则下列结论正确的是()A.ln ln 3log3eB.ln log3eln 3C.ln 3log3eln D.ln 3ln log3e10.(2020广东深圳长江中学高一期中)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(1,2)上单调递增C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y
4、=f(x)的图象关于点(1,0)对称11.已知y=loga(8-3ax)(a0,且a1)在1,2上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.1,43C.43,4D.(1,+)12.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-flog215,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.cbaD.cab13.(2020吉林第一中学校高二期末)已知f(x)=log4(4x-1).(1)求f(x)的定义域;(2)求f(x)在区间12,2上的值域.能力提升练一、选择题1.(2020陕西西安中学高一上期中,)函数y=2-xlgx的定义域是()A
5、.x|0x2B.x|0x1或1x2C.x|0x2D.x|0x1或1abB.bacC.abcD.acb3.(2020安徽六安第二中学开学考试,)若函数f(x)=ax(a0且a1)在R上为减函数,则函数y=loga(|x|-1)的图象可以是()4.(2020福建厦门外国语学校高一上期中,)已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-,2上为减函数,则实数a的取值范围为 ()A.(0,+)B.0,12C.(1,2)D.(-,0)5.(2020河南省实验中学高一上期中,)已知函数f(x)=loga(x2+1+x)+1ax-1+32(a0,且a1),如果f(log3b)=2 019,其中b0
6、,b1,则f(log13b)=()A.2 019B.2 017C.-2 019D.-2 017二、填空题6.()若函数f(x)=ln(x+x2+a)为奇函数,则实数a的值为.7.(2020江苏江阴四校高一上期中,)若f(x)=(3a-1)x+4a,x0,且a1)在R上为单调递减函数,则实数a的取值范围是. 8.()已知对数函数f(x)的图象过点(4,-2),则不等式f(x-1)-f(x+1)3的解集为.9.(2019湖北武汉外国语学校高一上期中,)已知当x0,12时,4x0且a1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并证明;(3)当a1时,求f(x)0的解集.12.(2020辽
7、宁沈阳东北育才中学高二期末,)已知函数f(x)=log2(x2-ax+1).(1)是否存在实数a,使f(x)的定义域、值域都是R?(2)当a=2时,讨论f(x)在区间0,b上的值域.13.(2020四川泸州高二开学考试,)已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a0,且a1).(1)当a=2时,求f(2);(2)求解关于x的不等式f(x)0;(3)若对任意x2,4,f(x)4恒成立,求实数a的取值范围.14.(2020辽宁辽阳高二期中,)已知函数f(x)=log12x.(1)设函数g(x)=f(x2-6x+8),求g(x)的单调递减区间;(2)若函数h(x)=f(3x+m-1)的值
8、域为R,求m的取值范围.15.(2019天津实验中学高一期中,)已知函数g(x)=mx2-2mx+1+n(n0)在1,2上有最大值1和最小值0.设f(x)=g(x)x.(1)求m,n的值;(2)若不等式f(log2x)-2klog2x0在x2,4上恒成立,求实数k的取值范围;(3)若方程f(|ex-1|)+2k|ex-1|-3k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.答案全解全析第二章基本初等函数()2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质第2课时对数函数的性质及应用基础过关练1.D2.A5.A6.C7.C8.C9.A10.C11.B12.C1.D由x2-2x-80,得x4,所以f(x)的
9、定义域为(-,-2)(4,+).令t=x2-2x-8,则y=ln t,x(-,-2)时,t=x2-2x-8为减函数,x(4,+)时,t=x2-2x-8为增函数,y=ln t为增函数,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+),故选D.2.A由题意得ff116=flog2116=f(-4)=-f(4)=-log24=-2.故选A.3.答案-1解析解法一:因为f(x)=ln(1+x2-x)+1,所以可设g(x)=f(x)-1=ln(1+x2-x)(xR),则g(-x)=ln(1+x2+x)=-ln(1+x2-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.因为f(a)=3,所以g(a)
10、=f(a)-1=2,则g(-a)=-g(a)=-2,所以f(-a)=g(-a)+1=-1.解法二:因为f(x)+f(-x)=ln(1+x2-x)+1+ln(1+x2+x)+1=ln(1+x2-x2)+2=2,所以f(a)+f(-a)=2,因为f(a)=3,所以f(-a)=-1.4.解析(1)f(x)是奇函数,f(x)+f(-x)=0在定义域内恒成立,即logamx+1x-1+loga-mx+1-x-1=loga1-m2x21-x2=0在定义域内恒成立,1-m2x2=1-x2对任意x(-,-1)(1,+)恒成立,m2=1,解得m=1.当m=-1时, f(x)=loga-x+1x-1无意义,舍去;
11、当m=1时,f(x)=logax+1x-1,符合题意,m=1.(2)当a1时, f(x)在(1,+)上是减函数;当0a1时, f(x)在(1,+)上是增函数.证明:由(1)知,f(x)=logax+1x-1.设u=x+1x-1=1+2x-1,任取x1,x2(1,+),且x11,x21,x10,x2-10,x2-x10,u1-u20,即u1u2.因此当a1时,logau1logau2,即f(x1)f(x2), f(x)在(1,+)上是减函数;同理可得,当0a0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x(x1)的图象关于直线y=x对称,所以f(x)=2x(x0).又函数g(x)=f(x)+x2是奇
12、函数,且当x0时,g(x)=2x+x2,故g(-1)+g(-2)=-g(1)-g(2)=-(21+12+22+22)=-11.故选C.7.C设(x,y)是函数y=f(x)的图象上任意一点,它关于直线y=-x对称的点为(-y,-x),由已知得点(-y,-x)在函数y=2x+a的图象上,-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,即f(x)=-log2(-x)+a,f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得a=2,故选C.8.C不等式log2(x+1)1可化为log2(x+1)log22,由y=log2x是增函数,得0x+12,解得-1x3e,ln ln 3ln e=
13、1,log3eln 3log3e,故选A.10.C由题意知,f(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确,D错误;又f(x)=lnx(2-x)(0x0且a1,所以t=8-3ax为减函数.又y=loga(8-3ax)(a0,且a1)在1,2上是减函数,所以y=logat是增函数,所以a1.由8-3ax0在1,2上恒成立,得a83x在1,2上恒成立,所以alog24.12,120.8log24.120.8,又f(x)在R上是增函数,所以f(log25)f(log24.1)f(20.8),即-flog215f(log24.1)f(20.8),所以a
14、bc,故选C.13.解析(1)f(x)=log4(4x-1),4x-10,x0,f(x)的定义域为(0,+).(2)易知f(x)在区间12,2上单调递增,f12f(x)f(2),f12=0,f(2)=log415,f(x)在区间12,2上的值域为0,log415.能力提升练1.D2.C3.D4.B5.D一、选择题1.D依题意得2-x0,lgx0,x0x2,x1,x0,050=1,0log0.30.4log0.30.3=1,log40.21,0b1,c0,cb0且a1)在R上为减函数,得0a1时,函数g(x)=loga(|x|-1)的图象是由函数y=logax的图象向右平移一个单位得到的.故选D
15、.4.B设u=1-ax,则y=log3u,由f(x)在(-,2上为减函数,且y=log3u是增函数,知u=1-ax是减函数,-a0.由1-ax0,得ax0,x1a,即f(x)的定义域为-,1a,(-,2-,1a21a,0a0,ax-10,解得x0,即函数f(x)的定义域为x|x0.f(x)=loga(x2+1+x)+1ax-1+32=loga(x2+1+x)+1ax-1+12+1=loga(x2+1+x)+ax+12(ax-1)+1,不妨设F(x)=f(x)-1=loga(x2+1+x)+ax+12(ax-1),则F(x)为奇函数.设log3b=t,则f(t)=2 019,F(t)=f(t)-
16、1=2 018.又log13b=-log3b=-t,F(-t)=-F(t)=-2 018.从而f(-t)=F(-t)+1=-2 018+1=-2 017,故选D.解法二:由题知x2+1+x0,ax-10,解得x0,即函数f(x)的定义域为x|x0.f(-x)=loga(x2+1-x)+ax1-ax+32,f(x)+f(-x)=loga(x2+1+x)+loga(x2+1-x)+1ax-1+ax1-ax+3=0-1+3=2,f(log3b)+f(log13b)=f(log3b)+f(-log3b)=2,又f(log3b)=2 019,f(-log3b)=2-2 019=-2 017,即f(log
17、13b)=-2 017.二、填空题6.答案1解析依题意得f(0)=ln(a)=0a=1a=1,此时,f(x)=ln(x+x2+1),其定义域为R,且f(-x)=ln(x2+1-x)=ln 1x2+1+x=-ln(x2+1+x)=-f(x),f(x)是奇函数,满足题意,故a=1.7.答案17,13解析f(x)在R上是减函数,3a-10,0a1,(3a-1)1+4aloga1a13,0a1,a17,17a0,且a1),由对数函数的图象过点(4,-2),得-2=loga4,即a-2=4,则a=12或a=-12(舍).由f(x-1)-f(x+1)3,可得f(x-1)3+f(x+1),即log12(x-
18、1)log1218+log12(x+1)=log1218(x+1),所以原不等式等价于x-10,x-10,解得1x97.故原不等式的解集为1,97.9.答案22,1解析由题意得,当0a1时,要使4xlogax0x12恒成立,只需满足当0x12时,函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方即可.当x=12时,412=2,即函数y=4x的图象过点12,2,把点12,2代入函数y=logax,得a=22,若函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方,则需22a1时,不符合题意,舍去.所以实数a的取值范围是22,1.三、解答题10.解析(1)函数的定义域为R,即对任意xR,x2-ax+a0
19、恒成立,所以a2-4a0,解得0a0.则a22且(2)2-2a+a0,解得a22且a2(2+1).故a22,22+2.11.解析(1)由f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a0且a1,可知若使式子有意义,需满足x+10,1-x0,即-1x1,所以函数f(x)的定义域为x|-1x0,即loga(x+1)-loga(1-x)0,即loga(x+1)loga(1-x).当a1时,上述不等式等价于x+10,1-x0,x+11-x,解得0x0的解集为x|0x0在实数集上恒成立,故一元二次方程x2-ax+1=0的根的判别式=a2-40a24;f(x)的值域是R,说明y=x2-ax+1能取遍所
20、有的正实数,因此一元二次方程x2-ax+1=0的根的判别式=a2-40a24,显然这与a20且b1,显然函数在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.当0b1时,函数在0,b上是减函数,故函数的最大值为f(0)=log21=0,函数的最小值为f(b)=log2(b2-2b+1),因此函数的值域为log2(b2-2b+1),0;当12时,函数的最大值为f(b)=log2(b2-2b+1),而x1,所以函数的值域为(-,log2(b2-2b+1).13.解析(1)当a=2时,f(x)=(log2x)2-log2x-2,f(2)=1-1-2=-2.(2)由f(x)0,得(logax)2-log
21、ax-2=(logax-2)(logax+1)0,logax2,当a1时,解不等式可得0xa2;当0a1a或0x1时,f(x)0的解集为0,1a(a2,+);当0a0的解集为(0,a2)1a,+.(3)由f(x)4,得(logax)2-logax-6=(logax-3)(logax+2)0,logax-2或logax3.当a1时,(logax)max=loga4,(logax)min=loga2,loga4-2=logaa-2或loga23=logaa3,解得1a32;当0a1时,(logax)max=loga2,(logax)min=loga4,loga2-2=logaa-2或loga43=
22、logaa3,解得22a0,解得x4,所以g(x)的定义域为(-,2)(4,+).函数y=log12x在定义域内是减函数,函数y=x2-6x+8(x4或x0时,g(x)的最大值为g(2)=1+n=1,得n=0,最小值为g(1)=-m+1+n=0,得m=1;当m0时,g(x)的最小值为g(2)=1+n=0,得n=-1,舍去;当m=0时,g(x)为常数函数,不满足题意.综上,m=1,n=0.(2)由(1)得g(x)=x2-2x+1,则f(x)=x-2+1x.令log2x=u,则u1,2,所以不等式f(log2x)-2klog2x0等价于k12f(u)u=121-1u2.因为当u1,2时,121-1u20,18,所以k18.(3)令|ex-1|=t,则方程f(|ex-1|)+2k|ex-1|-3k=0等价于t2-(2+3k)t+(1+2k)=0,因为方程f(|ex-1|)+2k|ex-1|-3k=0有三个不同的实数解,所以t2-(2+3k)t+(1+2k)=0必有两个不等的实数解,不妨设为t1,t2,且0t10,(1)0,(1)=0,02+3k20,-k0,-k=0,02+3k20.即实数k的取值范围为(0,+).
