1、重庆市南开中学2020届高三数学下学期第六次教学质量检测试题 文（含解析）一、选择题1.若复数满足，其中是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】，直接利用复数的乘法运算即可.【详解】由已知，.故选：A【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2.设全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知得到集合A、B，阴影部分表示的集合为，再按交集、补集运算即可.【详解】由，得，所以，由，得，所以，阴影部分表示的集合为.故选：C【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到交集、补集以及解不等式
2、，是一道容易题.3.已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（ ）A. 45B. 60C. 90D. 135【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标表示，求得的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解【详解】由题意，可得，设向量，的夹角为，则，又因为，所以故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4.福利彩票“双色球”中红色球由编号为的个球组成.某彩民利用下面的随机数表选取组数作为个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第行的第列数字开始从
3、左向右依次选取两个数字，则选出来的第个红色球的编号为（ ）49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据表格依次读取即可，注意，不在01到33之间的跳过不取.【详解】由随机数表法知，读取的第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号为09.故选：C【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，考查学生对基本抽样方法操作的掌握，是一道容易题.5.执行如图所
4、示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】写出每次循环的结果，即可得到答案.【详解】当时，；，此时，退出循环，输出的的为.故选：B【点睛】本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.6.已知直线与平面满足，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A，若，则与无公共点，又，所以与无公共点，由线面平行的定义可得，故A正确；对于选项B，若，则与可能平行、相交、在内，故B错误；对于选项C，若，则与可能平行，
5、可能异面，故C错误；对于选项D，若，则与可能平行，可能异面，也可能相交，故D错误.故选：A【点睛】本题考查线线、线面、面面的位置关系，考查学生的空间想象能力，是一道容易题.7.数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（）内的数字均含，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可以从第4行第二列入手，结合每行每列都有16，简单推理，即可得到答案.【详解】由
6、题意，如图，从第二列出发，由于每行每列都有16，所以第4行第2列为2，第4行第6列为5，所以，第2行第3列为6，第5行第3列为4，第5行第5列为6，第3行第5列为4，第3行第1列为5，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查推理与证明中的合情推理，考查学生分析，观察，判断等能力，是一道容易题.8.已知函数的图象与函数的图象的对称中心完全相同，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】解：若与的对称中心相同，则函数的周期相同即，则，即由，即，即的对称中心为，即的对称中心为，则，即，则，当，故选：9.已知定义在上的偶函数满足，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析
7、】【分析】令，得，进一步得到，所以，迭代一次可得是以4为周期的周期函数，再利用周期性计算得到答案.【详解】在中，令，得，所以，又为偶函数，所以，从而，所以，故是以4为周期的周期函数，所以.故选：A【点睛】本题考查抽象函数的性质及应用，涉及到函数的奇偶性、周期性，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.10.已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过点作垂直于轴的直线交双曲线的两条渐近线于、两点，为等边三角形，则双曲线离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知求出，再由即可建立的关系.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为，不妨设A在第一象限，令，则，所以，又，为等边三角形，所以
8、，即，所以，解得或（舍）.故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，此类题关键是建立的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11.已知三内角的对边分别为，且，若角平分线段于点，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知，易得，再利用得到，即，再利用“1”的替换即可得到答案.【详解】由及正弦定理，得，因，所以，即，又，所以.如图，所以，所以，即.，当且仅当，即时，等号成立所以的最小值为9.故选：B【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，涉及到基本不等式求最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.12.设函数，若不等式对任意都成立，则
9、实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】注意到，所以，利用的单调性可得对任意都成立，令，只需即可.【详解】由已知，在上单调递减，因为，所以，所以，所以，即对任意都成立，令当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则，所以；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以综上，.故选：A【点睛】本题考查函数不等式恒成立的问题，考查学生转化与化归的思想，数学运算能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13.已知等差数列的前项和为，则公差_.【答案】【解析】【分析】直接利用等差数列前n项和公式即可.【详解】由已知，解得.故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n项和的基
10、本量的计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.14.以抛物线的焦点为圆心，被直线截得弦长为的圆方程为_.【答案】【解析】【分析】由已知，设圆的方程为，算出圆心C到直线的距离，利用计算即可.【详解】由已知，抛物线的焦点为，所以圆心为，设圆的方程为，圆心C到直线的距离，所以，解得，故所求圆的方程为.故答案为：【点睛】本题考查求圆的方程，涉及到点到直线的距离、抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.在平面直角坐标系中，向量是以为起点，与轴、轴正方向相同的单位向量，且向量满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】分析】设，则表示点A与点的距离的取值范围，由可得在线段上，数形结合即可
11、得到答案.【详解】由已知，设，则，因为，所以，此式表示点A与点的距离和为，又，所以在线段上，如图所示，注意到，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查利用向量模的几何意义求向量的模的取值范围，考查学生转化与化归的思想，是一道有一定难度的题.16.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联芳等）起源于中国古代建筑的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图所示，图是一种常见的鲁班锁类玩具，图是该鲁班锁类玩具的直观图，则该鲁班锁玩具有_条棱，若每条棱的长均为，其表面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】
12、【分析】图中共有个正三角形，个正八边形，算出总的边数除以2即可；算出正三角形、正八边形的面积即可.【详解】图中共有个正三角形，个正八边形，则共有条棱；设正三角形、正八边形的面积分别为，因为，所以，故又，表面积.故答案为： ；【点睛】本题主要考查几何体表面积的计算，考查学生空间想象能力，数学计算能力，是一道中档题.三、解答题17.如图，长方体中，是棱上的点，且.（1）求长方体被平面分得的两部分体积之比（大比小）；（2）求证：平面.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】分析】（1）只需计算出长方体的体积以及即可；（2）连接与交于点，连接，要证明平面，只需证明，即可.【详解】（1）长方体的体积为，
13、长方体被平面分得的两部分体积之比为.（2）证明：由平面得，又易知，故平面，所以另一方面，连接与交于点，连接，在矩形中，故有，且平面，平面，故平面.【点睛】本题考查求几何体体积以及证明线面垂直，考查学生的逻辑推理能力，基本计算能力，是一道容易题.18.某果园今年的脐橙丰收了，果园准备利用互联网销售.为了更好的销售，现随机摘下了个脐橙进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出频率分布直方图如下图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在，的脐橙中随机抽取个，再从这个脐橙中随机抽个，求这个脐橙质量都不小于克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该
14、果园的脐橙树上大约还有个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：甲：所有脐橙均以元/千克收购；乙：低于克的脐橙以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购.请通过计算为该果园选择收益最好的方案.（参考数据：）【答案】（1）；（2）方案乙【解析】【分析】（1）由分层抽样知，质量为，的脐橙中各抽取个和个，采用列举法求概率；（2）分别计算甲、乙方案所得总收益，比较即可得到答案.【详解】（1）由题意知脐橙在，的比例为，故应分别在质量为，的脐橙中抽取个和个.记抽取质量在的为，质量在的为，则从这个脐橙中随机抽取个的方法共有以下种：；其中个脐橙质量都不小于克的方法有种，故个脐橙质量都不小于克的概率为.（2）方案乙更
15、好，理由如下：由频率分布直方图知，的频率分别为.若用甲方案，总收益为元；若用乙方案，脐橙低于克的有个，不低于克的有个.则总收益为元所以，乙方案收益更高，选择方案乙.【点睛】本题考查概率与统计的综合应用，涉及到分层抽样、频率分布直方图、古典概型的概率等知识，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.19.已知正项等比数列的前项和为，且，.且.（1）求；（2）设，若对都成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由可得公比，由可得，再利用等比数列通项公式即可得到；（2）由裂项相消法可得，不等式等价于对都成立，令，只需求出即可.【详解】（1）数列的公比为，则由，得：，因为是正项
16、数列，所以，.又，从而，.（2）故不等式等价于对都成立，令，令，得；令，得，所以当时，；当时，故，.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算、裂项相消法求数列的和以及数列不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.20.已知椭圆离心率为，为椭圆上任意一点，且已知.（1）若椭圆的短轴长为，求的最大值；（2）若直线交椭圆的另一个点为，直线交轴于点，点关于直线对称点为，且，三点共线，求椭圆的标准方程.【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】（1）由，解方程组得到椭圆的方程，再利用两点间的距离公式计算即可；（2）当斜率为时，三点共线；当斜率不为时，设直线，联立椭圆方程得到根
17、与系数的关系，再利用三点共线，即计算即可得到椭圆方程.【详解】（1）由题意，且，所以，设，则，故当时，.（2）当斜率为时，三点共线；当斜率不为时，设直线，与椭圆，即联立得：，设，则，又由题知，故由三点共线得，即，代入韦达定理得：，故椭圆方程为.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到三点共线，在处理直线与椭圆的位置关系时，一般要用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题.21.已知函数.（1）若曲线在点处切线方程为，求的值；（2）当时，函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点处切线方程，对比系数即可；（2）的极值点等价
18、于的变号零点，则有，即与有两个交点，数形结合即可得到答案.【详解】（1）因为，且故在点处切线方程为，即，又由题知在点处切线方程为，故，.（2），的极值点等价于的变号零点，则有，则与有两个交点，记，则有：记，所以在上单调递减，所以.所以在上单调递增，在上单调递减，所以又因为，；，由图像可知.【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值点，考查学生的逻辑推理能力，数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.22.如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以和为圆心，外切于点O的两个圆过O作两条夹角为的射线分别交C1于O、A两点，交C2于O、B两点（1）写出C1与C2的极坐标方程；（2）求OAB
19、面积最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)直接由条件求出与的极坐标方程即可;(2)由(1)得,代入三角形面积公式,再利用三角函数求出OAB面积的最大值.【详解】解:(1)因为在极坐标系中圆和圆的圆心分别为和,所以圆和圆的极坐标方程分别为和.(2)由(1)得,则.所以当时,面积最大值为.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、三角形的面积公式和三角函数求最值,考查了转化思想和函数思想,属中档题.23.已知实数，且满足.（1）求关于的不等式的解集；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】分析】（1）由已知，可得，不等式等价于，只需解即可；（2），又，代入即可得到证明.【详解】（1），且，故不等式等价于，不等式的解集为.（2）因为，故（）.即可证得不等式成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式的证明，考查学生的基本计算能力，逻辑推理能力，是一道容易题.
