1、基础题组练1若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A至多为1B2C1 D0解析：选B.由题意知，2，即b0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是()A. BC. D2解析：选B.由条件知c1，e，所以a，b1，椭圆方程为y21，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0，1)，所以|AB|.4(2020石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆1(ab0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且2，则该椭圆的离心率为()A. BC. D解析：选B.由题可知，直线的方程为yxc，与椭圆方程联立得(b2a2)y22b2cyb40，由于
2、直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又2，所以(cx1，y1)2(x2c，y2)，所以y12y2，可得所以，所以e，故选B.5设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A4 B3C2 D1解析：选D.因为()()0，所以PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212，2mn4，mn2，所以SF1PF2mn1.6已知斜率为2的直线经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为_解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，
3、直线AB的方程为y2(x1)由方程组消去y，整理得3x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，x1x20.则|AB| .答案：7直线m与椭圆y21交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为_解析：由点差法可求出k1，所以k1，即k1k2.答案： 8.从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_解析：由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，
4、所以，y0，把P代入椭圆方程得1，所以，所以e.答案：9已知椭圆E的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线xy20的距离是3.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程解：(1)由题意得b1.右焦点(c，0)(c0)到直线xy20的距离d3，所以c.所以a，所以椭圆E的方程为y21.(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|2，此时直线l的方程为x0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1，联立得(13k2)x26kx0，所以xA0，xB，所以|AB|，|AB|2.令t13k2，t(1，)，则|AB|24，所以
5、当，即k21，得k1时，|AB|2取得最大值为，即|AB|的最大值为，此时直线l的方程为yx1或yx1.因为2b0)，得(a2b2)x210a2x25a2a2b20，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，又由中点坐标公式知x1x28，所以8，解得a2b，又cb，所以e.故选C.2(一题多解)(2020广东深圳一模)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线与椭圆交于P，Q两点，PQPF1，且|QF1|2|PF1|，则PF1F2与QF1F2的面积之比为()A2 B1C.1 D2解析：选D.法一：可设|PF1|t，则|QF1|2|PF1|2t，由椭圆的
6、定义可得|PF2|2at，|QF2|2a2t，|PQ|4a3t，则|PQ|2|PF1|2|QF1|2，即(4a3t)2t24t2，即有4a3tt，解得ta，则PF1F2与QF1F2的面积之比为2.故选D.法二：同法一得出ta，则2.故选D.3(一题多解)(2020安徽蚌埠一模)已知F1，F2是椭圆1的左，右焦点，点A的坐标为，则F1AF2的平分线所在直线的斜率为_解析：法一：因为F1，F2是椭圆1的左，右焦点，所以F1(1，0)，F2(1，0)，又A，所以AF1x轴，所以|AF1|，则|AF2|，所以点F2(1，0)关于l(F1AF2的平分线所在直线)对称的点F2在线段AF1的延长线上，又|A
7、F2|AF2|，所以|F2F1|1，所以F2(1，1)，线段F2F2的中点坐标为，所以所求直线的斜率为2.法二：如图设F1AF2的平分线交x轴于点N，F1AN，ANF2.因为tan 2，所以tan 或2(舍)在RtAF1N中，tan ，即，所以|F1N|，所以kltan tan(ANF1)tanANF12.答案：24.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若B1PA2为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为_解析：设椭圆的方程为1(ab0)，B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，b)(c，b)0，得b2ac，
8、即a2c20即e2e10，e或e，又0e1，所以eb0)的离心率e，原点到过点A(0，b)和B(a，0)的直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)设F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求PQF1内切圆半径r的最大值解：(1)直线AB的方程为1，即bxayab0.原点到直线AB的距离为，即3a23b24a2b2，由e，得c2a2，又a2b2c2，所以联立可得a23，b21，c22.故椭圆的方程为y21.(2)由(1)得F1(，0)，F2(，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)易知直线PQ的斜率不为0，故设其方程为xky，联立直线与椭圆的方程得(k23)y22ky10.故而SPQF1SF1F2PSF1F2Q|F1F2|y1y2| ，将代入，得SPQF1.又SPQF1(|PF1|F1Q|PQ|)r2ar2r，所以2r，故r，当且仅当，即k1时取等号故PQF1内切圆半径r的最大值为.
