1、（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）7.数列满足，是数列前5项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用递推公式求得的值.进而利用裂项相消求和法，求得的值.【详解】由递推公式，将，代入得，解得；将代入递推公式得，解得.同理解得，所以 .【点睛】本小题主要考查递推公式求数列的前几项，考查裂项求和法求数列前几项的和.属于中档题.（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）12.已知定义域为的函数满足，当时，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则实数的取值范围为（ ）A
2、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，求得当时，的最大值为，再根据，利用归纳法，得到当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，求得，根据，即可求解，【详解】由题意，可得当时，；时，当时，的最大值为；又由，当时，的最大值为；当时，的最大值为，所以当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，得 .若对任意的正整数成立，则，故选B.【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用归纳法得到数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力（湖南省长望浏
3、宁四县2019年高三3月调研考试 数学（文科）试题）15.已知数列的前项和为，当时，则=_【答案】1010【解析】【分析】由题意可得：，整理变形可知当时，数列任意连续两项之和为1，据此求解的值即可.【详解】由题意可得：，两式作差可得：，即,即当时，数列任意连续两项之和为1，据此可知：.【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.（广东省汕尾市普通高中2019年3月高三教学质量检测文科数学试题）16.已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】首先利用
4、数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式和裂项相消法求出数列的和，最后利用放缩法和恒成立问题的应用求出结果【详解】数列的首项，则：常数故数列是以为首项，3为公差的等差数列则：首项符合通项故：，由于数列的前n项和恒成立，故：，则：t的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型（广东省深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）16.在下图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数（），已知（），且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即（，若，则正整数的
5、最小值为_【答案】103【解析】【分析】根据条件，利用数列的递推关系式，求得数列的递推关系式，利用累加法和数列的单调性，即可求解。【详解】因为，所以，由题意可知，（），（），即，（）， ，又由 所以当时,数列显然递增，又易知，的最小值为103，故应填103.【点睛】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中结合数列的性质，求出数列的通项公式是解答本题的关键，综合性较强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力。（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）5.已知数列中，为其前项和，则的值为（）A. 57B. 61C. 62D. 63【答案】A【解析】试题分析：由条件可得
6、，所以，故选A.考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.（晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）16.已知数列的前项和为，若对成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意首先将递推关系式整理为关于的形式，然后结合等比数列通项公式可得，由前n项和公式确定通项公式，计算可得，结合恒成立的条件可得恒成立，据此讨论可得实数a的取值范围.【详解】据题意，得：又，当时，；当时：，又当时，恒成立，对，且成立，又成立综上，所求实数的取值范围是【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出
7、Sn与n之间的关系，再求an.（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）6.已知等差数列中，则数列的前2018项和为（ ）A. 1008 B. 1009 C. 2017 D. 2018 【答案】D【解析】【分析】,得数列的前2018项和分组求和即可.【详解】由题,解得,设数列的前2018项和为=2=2018故选：D.【点睛】本题考查求等差数列通项公式，数列求和，关键是 ,推得每两项的和为2，分组求和.（山东省泰安市2019届3月高三第一轮复习质量检测数学文科试题）14.若数列满足：，则_【答案】234【解析】【分析】由，可得，可得故为等比数列，且，可得，可得答案.
8、【详解】解：，故为等比数列.，故.【点睛】本题主要考查数列的性质及数列前n的项的和，得出为等比数列，且是解题的关键.（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）7.已知数列的通项公式是，其前项和，则项数 A. 13B. 10C. 9D. 6【答案】D【解析】数列an的通项公式是，则：据此可得：，求解关于的方程可得n6.本题选择D选项.（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）16.数列满足 ，则=_.【答案】【解析】【分析】在满足的关系式中，设，则左式即为的前项和，由此可以利用数列的项与和的关系，求得，进一步求得，得到结果.【详解】令，因为
9、 ，所以有，两式相减得，所以，故答案是：64.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列的和与项的关系，整体思维的运用，属于简单题目.（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）11.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为（ ）A. 7B. 8C. 9
10、D. 10【答案】D【解析】【分析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，第层货物总价为万元，可设这堆货物总价为万元，从而可得到，利用错位相减法可求出的表达式，结合可求出答案。【详解】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，两式相减得，则,解得， 故选D.【点睛】利用错位相减求和是解决本题的关键，考查了学生利用数列知识解决应用问题的能力，属于中档题。（江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试题）17.已知数列为等差数列，为的前项和，.数列为等比数列且.（1）求数列和
11、的通项公式；（2）记，其前项和为，求证：.【答案】（1） ； （2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题列关于的方程组即可求由得，进而求得（2）将变形为裂项相消求和得，由单调性即可证明.【详解】（1）设公差为，则由得,解得，所以.设的公比， 因为，由且，解得，所以。（2），易知随着的增大而增大，所以.【点睛】本题考查等差数列通项公式，等比数列性质，裂项求和，熟记等差等比通项及性质，准确求和是关键，是中档题（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）17.设是公比不为1的等比数列的前项和.已知.（1）求数列的通项公式；（2）设.若，求数列的前项和.【答案】（1）；
12、（2）.【解析】【分析】（1）由题意布列基本量首项与公比的方程即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，利用裂项相消法求和即可.【详解】(1) 设等比数列的公比为，则.因为，所以.解得（舍去），.（2）由（1）得，所以数列的前项和 .【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）18.已知等差数列的公差，其前项和为，且，
13、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由可得 化为：由成等比数列，可得 化为：联立解得：即可得出（2） 利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出试题解析：（1）因为，即即，因为为等比数列，即所以，化简得：联立和得：，所以（2）因为 所以 （山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）21.设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列已知，1求和的通项公式；2设数列的前项和为，求；证明 【答案】(1)，；(2)（i）.（ii）证明见解析.【解析】分析：（1）由题意得到关于的方程，解方程
14、可得，则.结合等差数列通项公式可得 （2）（i）由（1），有，则.（ii）因为，裂项求和可得.详解：（1）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）（i）由（1），有，故.（ii）因为，所以.点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学（文）试题）17.已知数列中，且，1成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，数列的前项和为，求.【答案】（1）（2） 【解析】
15、【分析】（1）利用等差中项求解出公比，利用求解出首项，从而得到通项公式；（2）得到的通项公式后，利用裂项相消求解.【详解】（1），成等差数列 且数列是等比数列，且公比由得： （2）由（1）知， 【点睛】本题考查等比数列求通项以及利用裂项相消法求和，解题关键在于能够通过通项公式的形式进行裂项，从而可以前后相消，得到最终关系式.（河南省九师联盟2019届高三2月质量检测数学文试题）17.已知等差数列的前项和为，满足.数列的前项和为，满足.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，求得，然后求得公差，即可求出数列的通项，再利用 求得的通
16、项公式；（2）先求出的通项，然后利用数列求和中错位相减求和.【详解】解：（1）由，得，解得.由，解得或.若，则，所以.所以，故不合题意，舍去.所以等差数列的公差，故.数列对任意正整数，满足.当时，解得；当时，所以.所以是以首项，公比的等比数列，故数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以，所以，-，得，所以.【点睛】本题主要考查了数列的综合（包含数列通项的求法，以及求和中错位相减），易错点在于是否检验n=1的情况，以及计算的失误，属于中档题.（河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）17.已知数列是公差不为0的等差数列，成等比数列.（1）求；（2）设，数列的前项和为，求.【
17、答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设数列的首项为，公差为，由成等比数列，列出方程，求得，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.【详解】（1）设数列an的首项为a1，公差为d（d0），则ana1(n1)d因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a12d)2(a1d)(a14d)，化简得，a1d0，又因为d0，所以a10，又因为a4a13d3，所以d1所以ann1（2）bnn2n1，Tn120221322n2n1， 则2Tn121222323n2n 得，Tn121222n1n2n，n2n (1n)2n1所以，Tn(n1)2n1【点睛】本题主要考查等
18、差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，利用乘公比错位相减法，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，增大了难度，导致错解，试题能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.（河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考试题）17.已知等差数列的公差，其中是方程的两根，数列的前项和为，且满足.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，若不等式对任意都成立，求整数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分
19、析】(1)根据题意可得，得到，从而得到数列的通项公式，由可得，进而得到的通项公式；（2）由（1）得，利用错位相减法可得，根据的变化趋势得到结果.【详解】解：（1）易得方程的两根为-1和7，因为，所以，.所以，所以.当时，由，得；当时，可得，两式相减得，即.所以.（2）由（1）得，所以，两式相减得，所以.当时，；当时，；当时，因为，所以.所以的最大值为，从而，得，所以整数的最小值为-4.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)
20、在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）17.已知正项数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】【详解】（1）数列是公差为的等差数列，又是与的等比中项，解得舍掉）故数列的通项公式为，【点睛】本题考查求数列通项公式，数列求和，注意的提系数，和裂项后剩余几项是易错点.（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题）17.已知递增的等差数列前项和
21、为，若，.（1）求数列的通项公式.（2）若，且数列前项和为，求.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求解，进而求得d，即可得到通项公式.（2）整理，代入的表示式子即可求解.【详解】（1）由，且知：，公差，数列的通项公式为； （2）.；【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了裂项求和，属于基础题.（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）18.已知等差数列的前项和为，且，数列满足（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先利用已知条件建立的首项与公差的方程组，求解，再由递推关系式写出
22、时的等式，作差求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，求出通项，利用裂项相消法求出数列的和【详解】（1）设首项为，公差为的等差数列的前项和为，且，所以：，解得：，所以：，由于故：，所以：当时，得：，所以：，当时（首项符合通项），故：，（2）由于，所以：，故： 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查了运算能力，属于基础题型（山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）17.已知正项等比数列中，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）由等比数列和等差数列的
23、通项公式列出方程可求公比q,由此能求数列an的通项公式（2）写出数列的通项公式，然后利用裂项相消求和法可得结果.【详解】（1）设等比数列的公比为因为成等差数列，所以，得，又，则，即，所以，所以，所以，所以显然，所以，解得故数列的通项公式（2）由（1）知，所以则 【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的应用，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题.（河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）17.在数列和等比数列中，1求数列及的通项公式；2若，求数列的前n项和【答案】（1）； ;（2）.【解析】【分析】先求出公比，可得数列的通项，从而可求的通项公式；利用错位相减法，可求数列的前n
24、项和【详解】依题意，设数列的公比为q，由，可知，由，得，又，则，故，又由，得依题意，则得，即，故【点睛】本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等数列求和的常用方法有:分组求和,错位相减求和,倒序相加求和等.（河北省沧州市2019年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）17.已知数列满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得数列是等比数列，且公比为.结合成等差数列求得数列的首项即可确定数列的通项公式；（2）裂项求和可得，结合前n项和表达式的
25、单调性确定的取值范围即可.【详解】（1）由知数列是等比数列，且公比为.成等差数列， （2） 易知单调递减，当时，的取值范围为【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，列项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（广东省韶关市2019届高三1月调研考试数学理试题）17.已知数列的前项和为，满足，且数列各项为正数.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由，利用作差法可得从而得到数列的通项公式；（2）由（1）知，利用分组求和法可得结果.【详解】（1）解：依题意，-得，即.因为各项为正，所以，即.又当时，且，解得.所以，数列是首项为
26、1，公差为1的等差数列.通项公式为.（2）由（1）知，记的前项和为，则，.数列的前项和为.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.（广东省江门市2019届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题）17.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1） ；（2） .【解析】【分析】（1）弦化切求得方程的根可得到数列的通项；（2）通过第一问得
27、到数列是周期为4的数列，通过观察列举得到和的规律，进而得到结果.【详解】（1） ,解得， ,依题意，.（2）是周期的数列 ,， ,， ,从而，所以是周期为4的数列,（）.【点睛】这个题目考查了数列的通项公示的求法以及数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期，进而得到数列的和.（陕西省宝鸡市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）17.设数列满足，；数列bn的前n项和为，且（）求数列和的通项公式；（）若，求数列的前n项和【答案】（）；（）【解析】【分析】（）根据数列递推式，利用累加法可得，验证n=1也符合，可求出数列的通项公式；将已知中的n换为n-1，得到，作差可得，验证n=1也
28、符合即可.（）由，利用错位相减法求和即可.【详解】（）由已知，当时，+2=，又因为，所以数列的通项公式为因为，所以，两式作差可得，且也满足此式，因此所求通项公式为.（）由，可得， ， 两式相减得=，整理得.【点睛】本题数列递推式的应用，考查数列的通项的求法，考查了错位相减法求和，属于中档题.（广东省广州市天河区2019届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）17.已知为数列的前n项和，且，求数列的通项公式；若对，求数列的前2n项的和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】，时，化为：，由，可得，时，且，解得，利用等差数列的通项公式可得，利用分组求和即可得出【详解】，时，化为：，时，且，解得数列
29、是等差数列，首项为1，公差为3数列的前2n项的和【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）17.设正项数列的前项和，且是与的等比中项，其中.（）求数列的通项公式；（）设，记数列的前项和为，求证：.【答案】（）（）详见解析【解析】【分析】（）由是与的等比中项列方程整理，可得出：数列是首项为1，公差为1的等差数列，问题得解。（）整理，代入的表示式子即可求解。【详解】解：（）是与的等比中项，等时，.当时， ，整理得.又，即数列是首项为1，公差为1
30、的等差数列.（）， .【点睛】本题主要考查了法的应用及等差数列概念，通项公式，还考查了数列裂项求和，属于基础题。（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学（理）试题）17.已知数列为正项等比数列，满足，且构成等差数列，数列满足.()求数列，的通项公式；()若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和【答案】（） ， ；（）【解析】【分析】()先设等比数列的公比为q(q)，根据，且构成等差数列，求出q，即可得出的通项公式，再由，可得出的通项公式；()先由等差数列的前项和公式求出，再由裂项相消法求出即可.【详解】解：()设等比数列的公比为q(q)，由题意，得 解得或（舍）又所以 () ，【点睛
31、】本题主要考查等差数列与等比数列，以及求数列的前项和，熟记等差数列与等比数列的通项公式即可求解，属于常考题型.（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）17.已知等比数列为递增数列，且，数列的前项和为，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和为.【答案】(1) , (2) 【解析】【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和【详解】（1）对于数列， 即 注意到为递增数列则 对于数列，由得相减得又 为定值数列和都是以4为公差的等差数列又 在中令得，（2）由（1）得 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法
32、及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）17.已知数列的前项和为，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用,计算通项,即可.(2)将数列通项代入,利用裂项相消法,即可.【详解】解：（1）因为，成等差数列，所以，当时，所以，当时，两式相减得，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（2），所以 ，所以 .【点睛】本道题考查了等比数列通项计算方法以及裂项相消法,难度中等.（辽宁省实验中学、大连八中、大连二
33、十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）17.在等差数列中，其前项和为，等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，将题目所给已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，由此求得和的通项公式.（2）利用错位相减法求得的前项和.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，解得，所以；（2），当时，；当时， -得：，综上【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求解有关等差和等比数列的问题，考查错位相减求和法，属于中档题.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊
34、断性测试数学（文）试题）17.已知数列的前项和(1)求数列的通项公式(2)设数列满足,求数列的前n项和Tn【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由于知道的表达式，所以应用公式可求的通项的表达式。（2）由（1），所以，分组求和，分解成一个等比数列求和及一个等差数列求和。试题解析：（1）当时，. 当时， 满足上式, 所以 . （2）由题意得., .【点睛】知道的表达式求通项的表达式时，我们常用公式。（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）17.已知数列的前项和为，且.（）求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（）（）详见解析【解析】【分析】（1）
35、运用，计算通项，即可。（2）采用裂项相消法，求和，即可。【详解】解：（）当时，由，解得，当时，得：，即，数列是首项为3，公比为3的等比数列，.（）由（）得，.【点睛】本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等.（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）18.设是等差数列，前项和为 ，是等比数列，已知，.（1）求数列和数列的通项公式；（2）设，记，求.【答案】（1），;（2）【解析】【分析】（1）设数列的公差为等比数列bn的公比为q，由已知列式求得d，q及首项，则可求数列和bn的通项公式；（2）由（1）知，利用错位相减直接求和.【详
36、解】（1）设数列的公差为，等比数列的公比为由已知得：，即，又，所以，所以由于，所以，即（不符合题意，舍去）所以，所以和的通项公式分别为，.（2）由（1）知，所以所以上述两式相减，得：=，得.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）14.已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式。【详解】由题意，可知当时，；当时，. 又因为不满足，所以.【点睛】本题主要考查了利用数列的通
37、项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）16.已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，则数列的前项和_【答案】【解析】【分析】由题意先明确的通项公式，进而利用错位相减法求出前项和.【详解】由题意可知：，解得，得，所以，整理得故答案为：【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表
38、达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）16.已知数列满足， ，则数列中最大项的值为_.【答案】【解析】【分析】先将转化为，证得是等差数列，由此求得的通项公式，进而求得的通项公式.计算的值，利用数列的单调性求得的最大项.【详解】由得 ，即数列是公差为8的等差数列，故，所以，当时；当时，数列递减，故最大项的值为.【点睛】本小题主要考查已知递推公式求数列的通项公式，考查等差数列的定义以及通项公式，考查
39、数列的单调性以及最值，属于中档题.解题的突破口在于将题目所给的递推公式，转化为等差数列的形式，根据等差数列的通项公式间接求得的通项公式.数列的最大值一般是利用数列的单调性来求.（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）10.数列满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】由题意，数列满足，即所以，则 所以，故选D.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及裂项法求和的应用，其中解答中根据数列的递推公式，求得数列的通项同时，再根据裂项法求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）
40、试题）15.已知数列的前项和为，则的值为_【答案】231【解析】【分析】先求出，由，可以得到，两式相减可得，所以数列的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，然后分别求出、，从而，可得到答案。【详解】将代入得，由，可以得到，得，所以数列的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，则，所以.【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题。（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（五）数学（文）试题）16.已知正项数列的前n项和为，,令,设的前n项和为，则在T1，T2，T3，T100中有理数的个数为_。【答案】【解析】试题分析：，当时， 整理得：，又数列的每项
41、均为正数， 又，即，数列是首项、公差均为的等差数列，数列的前项和为，要使为有理数，只需为有理数即可，即，即在中有理数的个数为个，故答案为.考点：数列的通项及前项和【思路点睛】对于数列：可利用整理计算可知，进而可知是首项、公差均为的等差数列，所以；对于数列：对代入，进而裂项可知，并项相加可知，进而只需当时即可，进而可得结论.本题主要考查数列通项公式和前n项和的求法.（湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四）数学（理）试题）9.对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ）A. 2022 B. 1011 C. 2020 D. 1010【答案】B【解析】【分
42、析】由题意，根据，得到，进而求得，作差即可求解.【详解】由，得， ，-得，即，所以.故选B.【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得，进而得 ，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）17.设为各项均是正数的数列的前项和，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先求时的结果，然后再求出时的结果，然后进行检验时是否成立(2)化简
43、已知条件得，代入公比即可求出结果【详解】（1）当时，；时，-得：，满足上式，.（2）由（1）知数列是公比为的等比数列，由，得，即，所以.【点睛】本题考查了求数列的通项公式，可以采用的方法，需要注意检验时是否成立。（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）17.已知数列且，.（）求数列的通项公式;（）记为数列的前项和，求数列的前项和.【答案】()().【解析】【分析】()由题意得，由累乘法得；（）先求出，进而得到，由裂项相消法求数列的前项和可得到答案。【详解】()由，得，所以 由累乘法:,，得，所以数列的通项公式为. ()由等差数列前项和公式得：，则， 数列的前项和为：.
44、【点睛】本题考查了累乘法求通项公式，及裂项相消法求数列的前项和，属于中档题。（河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）17.在中，角，的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若等差数列的公差不为零，且、成等比数列，求的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由根据正弦定理可得，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由（1）可得，再由、成等比数列，列方程求得公差，从而得，则 ，利用裂项相消法可得结果.【详解】（1）由 得 ，所以 又 （2）设的公差为，由（1）得，且，又， 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根
45、据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题）17.为数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）若数列的前项和满足，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由和作差得，化简可得等比数列，从而得解；（2）由，利用裂项相消法求和得，进而求解不等式即可.详解：（1）由，可知可得，易知，于是又，得所以是首项为2，公比为4的等比数列，通项公式为（2）由可知于是不等式可化为因为，所以，故因此实数的取值范围为点睛：裂项相消法是指将数列
46、的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学理试题）17.数列中，.（1）求证：数列为等差数列，求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)结合,构造数列,证明得到该数列为等差数列,结合等差通项数列计算方法,即可.(2)运用裂项相消法,即可.【详解】（1）由， （即），可得，所以，所以数列是以为首项，以2为公差的等
47、差数列，所以，即.（2），所以，因为，所以.【点睛】本道题考查了等差数列通项计算方法和裂项相消法,难度一般.（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学文试题）17.已知等差数列的公差，且，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件建立方程组求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和【详解】（1）根据题意，得即解得或（不合，舍去），所以.（2）由（1）得，所以数列是首项为4，公比为4的等比数列.所以【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能
48、力和转化能力，属于基础题型（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）18.已知数列的前项和为，且.（1）求证：是等比数列；（2）数列满足，数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）见证明；（2） 【解析】【分析】（1）根据数列中与的关系化简得，进而得到，即可作出证明；（2）由（1）求得，得到，利用裂项法，即可求解数列的和.【详解】（1）当时，当时，由得，（），是首项为4，公比为2的等比数列.（2）由（1）得，【点睛】本题主要考查了数列的与的关系，以及等比数列的定义与通项公式和数列的“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记数列与的关系，利用利用等比数列的定义和通项公式是解答本题的关键，
49、着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）17.已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的前n项和为，且，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，求得的值，用求得的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，利用基本元的思想求得的公差及通项公式，再利用裂项求和法求得前项和.【详解】解：（1）当时，由得（），两式相减得，又，（）， 又，（）， 显然，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，； （2）设数列的公差为d，则有，由得，解得， 又 【点睛】本小题主要考查数列已知求的方法，考
50、查利用基本元的思想求解等差数列的通项公式，考查裂项相消求和法. 基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列（广东省肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测数学文试题）17.在数列中，已知.（1）求证：数列是等差数列；(2)设数列的前和为，,求数列的前和【答案】（1）见证明；（2） 【解析】【分析】（1）对已知条件因式分解，化简后得到，由此证得为等差数列.（2）由（1）求得的前项和，利用裂项相消求法和求得的值.【详解】（1）由得因为，所以，即又因为，所以数列是首项为,公差为的等差数列。（2）由（1）可得， 【点睛】
51、本小题主要考查等差数列的定义，考查裂项相消求法和的运用，还考查了运算求解能力.属于基础题.（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）17.等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由是等差数列，可求出，由是等比数列，可求出；（2）将和的通项公式代入，则 ，利用裂项相消求和法可求出.【详解】(1)，解得.又， .（2）由（1），得 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前项和，属于中档题。（河南省驻马店市2019届高三上学期期中考试数学文试
52、题）18.已知非零数列满足，且，的等差中项为6（1）求数列的通项公式；（2）若，求取值范围【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）利用等比数列的概念易得公比，结合a1，a2的等差中项为6可得首项，得解；（2）易得bn2n，利用转化原式即可得解【详解】（1）由，得为等比数列且公比.设首项为，的等差中项为6，即，解得，故.(2)由 得到：，,因为可以看成关于n的单调递增函数，所以n=1时，最小为，且，.【点睛】本题考查了等比，等差数列的综合，数列求和，难度不大（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）18.已知数列的前项和为，数列是以3为首项、3为公差的等差数列.（1）求数列的通
53、项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，从而得到数列的通项公式；（2）由（1）得，利用裂项相消法即可得到数列的前项和.【详解】解：（1）因为数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以. 当时， 当时， 又当时，满足上式，所以数列的通项公式 （2）由（1）得， 所以 .【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.（湖北省宜昌市2019届高
54、三元月调研考试文科数学试题）17.已知数列的前项和.（1）求；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用法直接求.（2）去绝对值得到：当时，再分组求和即可。【详解】解：（1）当时， 当时，适合上式. . （2），令， 当时， 当时， ， 也适合上式， .【点睛】（1）主要考查了法求数列的通项公式-（2）考查了分类思想及分组求和方法，还考查了等比数列求和公式。注意不要弄错项数，计算要细心。（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）17.已知数列的前项和为，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）详见解析（2）【解
55、析】【分析】（1）由可得，两式作差整理即可得到，从而可得数列为等比数列；（2）先由（1）写出，从而可得，进而可直接求出数列的前项和.【详解】解：（1）当时，则.当时，因为，所以，则，即.从而，即.因为，所以.所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）可得，即.因为，所以.则，故.【点睛】本题第一问主要考查等比数列的证明，只需数列的第n项与第n-1项之比为非零常数即可;第二问主要考查裂项相消的方法求数列的前n项和;属于基础试题.（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）17.已知数列的首项，且对任意的，都有，数列满足，.（）求数列，的通项公式；（）求使成立的最小正整数
56、的值.【答案】（），;（）10【解析】【分析】（）由已知的递推关系式可知数列为等差数列，从而可得的通项公式，代入可得的通项公式；（）利用分组求和法和等比数列的求和公式得到数列的前n项和,通过判断数列的单调性可得满足条件的n的值.【详解】（）令得，解得.又由知 ，故数列是首项，公差的等差数列，于是，.（）由（）知，.于是 .令，易知是关于的单调递增函数，又，故使成立的最小正整数的值是10.【点睛】本题考查等差，等比数列的通项公式和等差，等比数列的前n项和公式的应用，以及数列单调性的判断，考查学生推理和计算能力.（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）17.已知等比数列的公比，且
57、成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）根据等差数列的性质得到，进而得到通项；（2）由第一问得到，错位想减求和即可.详解： ， 又成等差数列， ， -： 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）17.设数列的前n项和为Sn，已知3Sn=44，（1)求数列的通项公式； (2）令，求数
58、列的前n项和Tn.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由求得，由时，可得的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列的前项和可用裂项相消法求得详解：（1） 当时，当时， 由-得：是以为首项，公比为的等比数列（2）点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）17.已知数列为等比数列，其前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（1）利用 ，可求的通项公式；（2）化简可得，利用错位相减法可求.试题解析：（1）由，得.当时，.是以为首项，4为公比的等比数列.，.当时，符合上式.（2）由（1）知.-得：，
