1、第四章函数应用12综合拔高练五年高考练考点1函数零点及其应用1.(2018课标全国,9,5分,)已知函数f(x)=ex,x0,lnx,x0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.-1,0) B.0,+)C.-1,+) D.1,+)2.(2017课标全国,12,5分,)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12 B.13 C.12 D.13.(2018浙江,15,6分,)已知R,函数f(x)=x-4,x,x2-4x+3,x.当=2时,不等式f(x)m,其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同
2、的根,则m的取值范围是.考点2函数模型的综合运用5.(2020全国,4,5分,)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 193)()A.60B.63C.66D.696.(2020全国新高考,6,5分,)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺
3、炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天7.(2019北京,14,5分,)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订
4、单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.三年模拟练1.(2021河南开封高一上五县期中联考,)若f(x)=x+2x+a的零点所在的区间为(-2,1),则实数a的取值范围为()A.-2,34 B.-3,74C.-1,-12 D.0,542.(2021湖南师范大学附中高一上段测,)函数f(x)=2x|log12x|-1的零点个数为()A.0 B.1C.2 D.33.(2019安徽宿州十三所重点中学高一上期中,)设函数f(x)=|2x-6|,x0,3x+
5、6,x-2,x+5,x-2,则y=f(f(x)+1的零点个数为()A.4 B.5C.6 D.75.(2020陕西安康高三下联考,)已知函数f(x)=-x2-2x,x0,|log2x|,x0,若x1x2x3x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),给出下列四个结论:x1+x2=-1;x3x4=1;0x1+x2+x3+x41;0x1x2x3x41.其中所有正确命题的序号是()A.B.C.D.6.(2021山东邹城一中高一上期中,)某公司购进了一批机器投入疫情防护物品的生产,依据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:月)的关系为y=-x2+1
6、5x-16(xN*),则该公司月平均利润最大是万元.7.(2021河南鹤壁顶尖名校高三联考,)函数f(x)=lg(ex+9x)+ln110x-9x的零点个数为.8.(2021山西运城高中联合体高一上联考,)已知指数函数f(x)的图像过点12,22.(1)求f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(2x)-mf(x-1)+1,且在区间(-1,+)上有两个零点,求实数m的取值范围.9.(2021河南新乡高一上期中联考,)已知函数f(x)=lg(-x),x0,|ex-2|,x0.(1)若f(a)=1,求a的值;(2)若关于x的方程f2(x)+mf(x)+2m+1=0恰有5个实数根,求实数m的取值范
7、围.10.(2021四川泸州泸县二中高一上月考,)某乡镇为了提高当地的经济总量,决定引进资金对原有的两个企业A和B进行改造,计划每年对两个企业共投资500万元,要求对每个企业至少投资50万元.根据已有经验,改造后A企业的年收益P(单位:万元)和B企业的年收益Q(单位:万元)与投入资金a(单位:万元)分别满足关系式:P(a)=120+33a,Q(a)=14a+160.设对A企业投资额为x(单位:万元),每年两个企业的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(300);(2)试问如何安排两个企业的投入资金,才能使两个企业的年总收益达到最大?并求出最大值.11.(2021重庆西南大学附中高一上月考
8、,)某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种商品销售情况的调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价P(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足P(x)=1+kx(k为正实数).该商品的日销售量Q(x)(单位:个)与时间x(天)部分数据如下表所示:x/天10202530Q(x)/个110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元.(1)求k的值;(2)给出以下两种函数模型:Q(x)=ax+b;Q(x)=a|x-25|+b.请你根据上表中的数据,从中选择你认为较合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,并求出该函数的解析式;(
9、3)在(2)的情况下,求该商品的日销售收入f(x)(1x30,xN+)(单位:元)的最小值.答案全解全析第四章 函数应用12综合拔高练五年高考练1.C2.C5.C6.B1.C函数g(x)=f(x)+x+a有2个零点,即方程f(x)=-x-a有2个不同的解,即函数f(x)的图像与直线y=-x-a有2个不同的交点.在同一直角坐标系中作出函数f(x)与y=-x-a的图像,如图.由图可知,当-a1,即a-1时,函数f(x)的图像与直线y=-x-a有2个不同的交点,即函数g(x)有2个零点.2.C由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-
10、x+1)=0有解.令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a=1-t2et+e-t.令h(t)=1-t2et+e-t,易得h(t)为偶函数,又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图像与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,所以a=1-02=12,故选C.3.答案(1,4);(1,3(4,+)解析当=2时,函数f(x)的图像如图所示,f(x)0的解集为(1,4).当1时,f(x)只有1个零点为4;当13时,f(x)有2个零点为1和4;当34时,f(x)有2个零点为1和3.故当14时,f(x)有2个零点.4.答案(3,+)解析f(x)的大致图像如图所示,若存在bR,使得
11、方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m20,所以m3.5.CI(t*)=K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,整理可得e0.23(t*-53)=19,两边取自然对数得0.23(t*-53)=ln 193,解得t*66,故选C.6.B因为R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r=R0-1T=0.38,设累计感染病例增加1倍需要的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 20.69,所以t=ln20.380.690.381.8.故选B.7.答案13015解析当x=
12、10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题意可知顾客需支付140-10=130元.设每笔订单金额为m元,则只需考虑m120时的情况.根据题意得(m-x)80%m70%,解得xm8.因为m120,所以为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则xm8min=15.所以x的最大值为15.三年模拟练1.B2.C3.B4.C5.D1.B因为f(x)=x+2x+a的零点所在的区间为(-2,1),所以只需f(-2)f(1)0,即a-2+14(a+1+2)0,解得-3a74.故选B.2.C由f(x)=0,得|log12x|=12x,作出函数y1=|log12x|和y2=12x的图像,如图
13、所示.由图可知,两函数图像有2个交点,所以函数有2个零点.故选C.思想方法本题考查函数的零点个数,利用数形结合思想、转化与化归思想,将函数的零点转化为对应方程的根,从而转化为两个函数图像的交点问题.3.B作出函数f(x)的图像如图所示,不妨设x1x2x3,f(x1)=f(x2)=f(x3)=a.由图像知3x1+6=a,x2+x3=6,x1+x2+x3=6+a3-2=4+a3(0a6).4x1+x2+x30的图像如图所示:函数y=-x2-2x的图像关于直线x=-1对称,则x1+x2=-2,故错误;由图像可知|log2x3|=|log2x4|,且0x31x4,-log2x3=log2x4,即log
14、2(x3x4)=0,所以x3x4=1,故正确;当x0时,f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+11,由图像可知,|log2x3|(0,1),则0-log2x31,解得12x31,x1+x2+x3+x4=x3+1x3-20,12,故正确;由图像可知-2x10,即109x1,所以x0,所以函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=lg(ex+9x)+ln110x-9x=lg(ex+9x)-ln(10x-9x),假设存在x0(0,+),使得f(x0)=0,即lg(ex0+9x0)-ln(10x0-9x0)=0,设lg(ex0+9x0)=ln(10x0-9x0)=m,则ex0+9x0=10m,10
15、x0-9x0=em,所以ex0+10x0=10m+em .易知y=ex+10x在(0,+)上是增函数,所以x0=m,所以ex0+9x0=10x0,两边同时除以10x0,得e10x0+910x0=1,即e10x0+910x0-1=0;设g(x)=e10x+910x-1,易知g(x)=e10x+910x-1在(0,+)上是减函数,且g(1)=e-1100,g(2)=e102+9102-1=e2-191000,且a1).f(x)的图像过点12,22,a12=22,解得a=12,故函数f(x)的解析式为f(x)=12x.(2)g(x)= f(2x)-mf(x-1)+1,g(x)=122x-2m12x+
16、1,令t=12x,t(0,2),y=t2-2mt+1,t(0,2),函数g(x)=122x-2m12x+1在(-1,+)上有两个零点等价于y=t2-2mt+1在t(0,2)上有两个零点,则02-2m0+10,22-2m2+10,=(-2m)2-41100-2m20,m1,0m2,解得1m54,故实数m的取值范围为1,54.9.解析(1)若a0,则f(a)=lg(-a)=1,解得a=-10;若a0,则f(a)=|ea-2|=1,解得a=0或ln 3.故a的值为0或-10或ln 3. (2)由题可知f(x)=lg(-x),x0,-ex+2,0xln2,ex-2,xln2,作出f(x)的大致图像,如
17、图所示:令t=f(x),由图像可得,当01或t=0时,方程t=f(x)有2个不同的实数根;当tt2,则t11,0t21或t2=0,01,0t20,(1)0,即2m+10,3m+20,不等式无解;若t11,t2=1,则(0)0,(1)=0,0,即2m+10,3m+2=0,m2-8m-40,不等式无解;若t2=0,00,即2m+1=0,3m+20,m2-8m-40,解得m=-12.故m的取值范围是-12.方法总结已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加
18、以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,利用数形结合的方法求解.10.解析(1)对A企业投资300万元,则对B企业投资200万元,f(300)=P(300)+Q(200)=120+33300+14200+160=120+90+50+160=420(万元).(2)设对A企业投资x万元,则对B企业投资(500-x)万元.每个企业至少投资50万元,x50,500-x50,解得50x450,f(x)=P(x)+Q(500-x)=120+33x+14(500-x)+160=-14x+33x+405(50x450).令x=t,则52t152,上
19、式可化为y=-14t2+33t+405=-14(t-63)2+432,当t=63时,y取最大值,即x=108时,f(x)取最大值,最大值为432万元.综上,对A企业投资108万元,对B企业投资392万元时总收益最大,最大收益为432万元.易错警示解决有关函数模型的应用题,有以下几点容易造成失分:读不懂实际背景,不能将实际问题转化为函数模型;对涉及的相关公式,记忆错误;在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法,才能快速正确求解.含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值,分段后再各段讨论最值的情况.11.信息提取P(x)=1+kx(k为正实数),Q(x)与x的部分数据
20、如题表所示;第10天该商品的日销售收入为121元;从Q(x)=ax+b,Q(x)=a|x-25|+b中选择一种较合适的拟合函数,并求日销售收入的最小值.数学建模本题以销售问题为背景,建立函数模型,利用拟合函数知识来解决实际问题.解析(1)由题意得,第10天该商品的日销售收入为P(10)Q(10)=1+k10110=121,解得k=1.根据题设列出方程求解,体现了方程思想.(2)由题表中的数据知,当时间变化时,该商品的日销售量有增有减并不单调,故只能选Q(x)=a|x-25|+b,根据函数值的变化趋势选择恰当的拟合函数.由题表中数据可得Q(10)=110,Q(20)=120,将其代入Q(x)=a
21、|x-25|+b,得15a+b=110,5a+b=120,解得a=-1,b=125,所以Q(x)=125-|x-25|(1x30,xN+).(3)由(2)知,Q(x)=125-|x-25|=100+x,1x25,xN+,150-x,25x30,xN+,所以f(x)=P(x)Q(x)=x+100x+101,1x25,xN+,150x-x+149,25x30,xN+,构建分段函数模型,体现了函数思想.当1x25时,y=x+100x在1,10上单调递减,在10,25上单调递增,所以当x=10时,f(x)取得最小值,f(x)min=121;当25x30时,y=150x-x在(25,30上单调递减,所以当x=30时,f(x)取得最小值,f(x)min=124.综上所述,当x=10时,f(x)取得最小值,f(x)min=121,利用函数的单调性求最值.所以该商品的日销售收入f(x)(1x30,xN+)的最小值为121.解题模板当题目中的函数类型不确定时,可由题中的数据在平面直角坐标系中描点,根据点的分布情况判断函数模型,也可结合表格中的数据分析函数值的变化快慢,从而判断函数模型,然后求出函数模型并且检验函数模型的拟合程度,最后解答实际问题.