1、难点18 不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.难点磁场()已知a0，b0，且a+b=1.求证：(a+)(b+).案例探究例1证明不等式(nN*)命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属级题目.知识依托：本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：这样只注重
2、形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假设n=k(k1)时，不等式成立，即1+2，当n=k+1时，不等式成立.综合(1)、(2)得：当nN*时，都有1+2.另从k到k+1时的证明还有下列证法：证法二：对任意kN*，都有：证法三：设f(n)= 那么对任意kN* 都有：f(k+1)f(k)因此，对任意nN* 都有f(n)f(n1)f(1)=
3、10，例2求使a(x0，y0)恒成立的a的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cos、sin来对应进行换元，即令=cos，=sin(0)，这样也得asin+cos，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条
4、件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，af(x)，则amin=f(x)max；若 af(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2a2(x+y)，即2(a21)(x+y)，x，y0，x+y2，当且仅当x=y时，中有等号成立.比较、得a的最小值满足a21=1，a2=2，a= (因a0)，a的最小值是.解法二：设.x0，y0，x+y2 (当x=y时“=”成
5、立)，1，的最大值是1.从而可知，u的最大值为，又由已知，得au，a的最小值为.解法三：y0，原不等式可化为+1a，设=tan，(0，).tan+1a；即tan+1asecasin+cos=sin(+)，又sin(+)的最大值为1(此时=).由式可知a的最小值为.锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗
6、透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.歼灭难点训练一、填空题1.()已知x、
7、y是正变数，a、b是正常数，且=1，x+y的最小值为_. 2.()设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|ad|bc|，则ad与bc的大小关系是_.3.()若mn，pq，且(pm)(pn)0，(qm)(qn)0，则m、n、p、q的大小顺序是_.二、解答题4.()已知a，b，c为正实数，a+b+c=1.求证：(1)a2+b2+c2 (2)65.()已知x，y，zR，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，证明：x，y，z0，6.()证明下列不等式：(1)若x，y，zR，a，b，cR+，则z22(xy+yz+zx)(2)若x，y，zR+，且x+y+z=xyz，则2()7.()已知i，m、n是正整
8、数，且1imn.(1)证明：niAmiA；(2)证明：(1+m)n(1+n)m8.()若a0，b0，a3+b3=2，求证：a+b2，ab1.参考答案难点磁场证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证4(ab)233(ab)+80，即证ab或ab8.a0，b0，a+b=1，ab8不可能成立1=a+b2，ab，从而得证.证法二：(均值代换法)设a=+t1，b=+t2.a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|，|t2|显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.证法三：(比较法）a+b=1，a0，b0，a+b2，ab证法四：(综合法)a+b=1，
9、a0，b0，a+b2，ab.证法五：(三角代换法） a0，b0，a+b=1，故令a=sin2，b=cos2，(0，)2歼灭难点训练一、1.解析：令=cos2，=sin2，则x=asec2，y=bcsc2，x+y=asec2+bcsc2=a+b+atan2+bcot2a+b+2.答案：a+b+22.解析：由0|ad|bc|(ad)2(bc)2(a+b)24ad(b+c)24bca+d=b+c，4ad4bc，故adbc.答案：adbc3.解析：把p、q看成变量，则mpn，mqn.答案：mpqn二、4.(1)证法一：a2+b2+c2=(3a2+3b2+3c21)=3a2+3b2+3c2(a+b+c)
10、2=3a2+3b2+3c2a2b2c22ab2ac2bc=(ab)2+(bc)2+(ca)20 a2+b2+c2证法二：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1 a2+b2+c2证法三：a2+b2+c2a2+b2+c2证法四：设a=+，b=+，c=+.a+b+c=1，+=0a2+b2+c2=(+)2+(+)2+(+)2=+ (+)+2+2+2=+2+2+2a2+b2+c2原不等式成立.证法二：6原不等式成立.5.证法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得x2+y2+(1xy)2
11、=，整理成关于y的一元二次方程得：2y22(1x)y+2x22x+=0，yR，故04(1x)242(2x22x+)0，得0x，x0，同理可得y，z0，证法二：设x=+x，y=+y，z=+z，则x+y+z=0，于是=(+x)2+(+y)2+(+z)2=+x2+y2+z2+ (x+y+z)=+x2+y2+z2+x2+=+x2故x2，x，x0，同理y，z0，证法三：设x、y、z三数中若有负数，不妨设x0，则x20，=x2+y2+z2x2+，矛盾.x、y、z三数中若有最大者大于，不妨设x，则=x2+y2+z2x2+=x2+=x2x+=x(x)+；矛盾.故x、y、z0，上式显然成立，原不等式得证.7.证
12、明：(1)对于1im，且A =m(mi+1)，由于mn，对于整数k=1，2，i1，有，所以(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm，由(1)知miAniA (1im，而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1，mC=nC=mn，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即(1+m)n(1+n)m成立.8.证法一：因a0，b0，a3+b3=2，所以(a+b)323=a3+b3+3a2b+3ab28=3a2b+3ab26=3ab(a+b)2=3ab(a+b)(a3+
13、b3)=3(a+b)(ab)20.即(a+b)323，又a+b0，所以a+b2，因为2a+b2，所以ab1.证法二：设a、b为方程x2mx+n=0的两根，则，因为a0，b0，所以m0，n0，且=m24n0 因为2=a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=(a+b)(a+b)23ab=m(m23n)所以n=将代入得m24()0，即0，所以m3+80，即m2，所以a+b2，由2m 得4m2，又m24n，所以44n，即n1，所以ab1.证法三：因a0，b0，a3+b3=2，所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2ab)(a+b)(2abab)=ab(a+b)于是有63ab(a+b)，从而83ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b2，(下略）证法四：因为0，所以对任意非负实数a、b，有因为a0，b0，a3+b3=2，所以1=，1，即a+b2，(以下略）证法五：假设a+b2，则a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=(a+b)(a+b)23ab(a+b)ab2ab，所以ab1，又a3+b3=(a+b)a2ab+b2=(a+b)(a+b)23ab2(223ab)因为a3+b3=2，所以22(43ab)，因此ab1，前后矛盾，故a+b2(以下略)