1、树德中学高 2021 级高三上学期 10 月阶段性测试数学(文科)试题命题人：宁夏校区高三数学备课组审题人：王钊唐颖君朱琨一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合 A=1,2,3，B=4,5，M=x x=a+b,a A,b B,则集合 M 的元素个数为()A.7B.6C.5D.42如果复数 m2-3m+m2-5m+6i 是纯虚数，则实数 m 的值为()A.0B.2C.0 或 3D.2 或 33已知直线 l1:x-3y+2=0,l2:3x-ay-1=0，若 l1 l2，则实数 a 的值为()A.1B.12C.-1
2、2D.-14已知平面，直线 a，b，c，下列说法正确的是()A.若 a ，b ，a b，则 B.若 a ，则 a C.若 a ，b ，则 a bD.若 =a，=b，a b，则 5向量 a，b，c 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，若 e 为与 c 同方向的单位向量，则 a+b e=()A.1.5B.2C.-4.5D.-36已知等比数列 an各项均为正数，3a2+2a3=a4，an的前 n 项和为 Sn，则 S3a2=()A.3B.133C.72D.137要得到函数 f x=sin 2x+3的图象，可以将函数 g x=sin 2x+12的图象()A.向左平移 4 个单位B.向左平移 8
3、 个单位C.向右平移 4 个单位D.向右平移 8 个单位8设函数 f x的定义域为 R，且 f 2x+2是奇函数，f x+1是偶函数，则一定有()A.f-1=0B.f 3=0C.f 4=0D.f 5=09阅读下段文字：“已知2 为无理数，若(2)2 为有理数，则存在无理数 a=b=2，使得 ab为有理数；若(2)2 为无理数，则取无理数 a=(2)2，b=2，此时 ab=(2)22=(2)2 2=(2)2=2 为有理数”依据这段文字可以证明的结论是()A.(2)2 是有理数B.(2)2 是无理数C.存在无理数 a，b，使得 ab为有理数D.对任意无理数 a，b，都有 ab为无理数10已知函数
4、f x=ex,x 0,b 0的左右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线 l 与其右支交于 P，Q 两点，已知 PF1=2 PF2且 PF1F2=F1QP，则双曲线 E 的离心率为()A.3B.2C.3D.212已知函数 f x=(x-3)3+2x-6，且 f 2a-b+f 6-b 0 a,b R，则()A.sina sinbB.ea ebC.1a 1bD.a2024 b2024二、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上)13已知 tan(+)=2，则 3sin+cossin-3cos=_14设命题 p:2x-1x-1 0与曲线 y=2lnx 存在公切线，则实数 a 的取值范
5、围为三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每题满分 12 分，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，每题满分 10 分，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分.17已知等差数列 an满足 a2=3,S5=25.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn=1an+1+an,Tn为数列 bn的前 n 项和，求 Tn.高三数学(文科)2023-10 阶考 第 1 页共 2 页18如图所示，正三棱柱 ABC-A1B1C1中各条棱长均为 2，点 M,N,E 分别为棱 AC,AA1,AB 的中点(1)求异面直线 MN 和 CE 所成角
6、的正切值；(2)求点 B 到平面 MEN 的距离19某商店销售某海鲜，统计了春节前后 50 天海鲜的需求量 x，(10 x 20，单位：公斤)，其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货 1 次，商店每销售 1 公斤可获利 50 元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理 1 公斤亏损 10 元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售 1 公斤可获利 30 元.假设商店每天该海鲜的进货量为 14 公斤，商店的日利润为 y 元.(1)求商店日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式；(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.求这 50 天商店销售该海鲜日利润的平均数；估计日利润在区间 580，760
7、内的概率.20已知抛物线 C1:y2=x，圆 C2:x-42+y2=1(1)求圆心 C2到抛物线 C1准线的距离；(2)已知点 P 是抛物线 C1上一点(异于原点)，过点 P 作圆 C2的两条切线，交抛物线 C1于 A、B 两点，若直线 PC2的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，k1k2=-524，求点 P 的坐标21已知函数 f x=12 x2+alnx-a+1x，其中 a R.(1)讨论 f x的单调性；(2)若函数 F x=f x+a-1x 有两个极值点 x1，x2，且 F x1+F x2-2e-2 恒成立(e 为自然对数的底数)，求实数 a 的取值范围.(二)选考题：共 10
8、分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x=-1+22 ty=1+22 t(t 为参数)，圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线 l 及圆 C 的极坐标方程；(2)若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点，求 cosAOB 的值.23已知函数 f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)解不等式 f(x)x+1；(2)设函数 f(x)的最小值为 c，实数 a,b 满足 a 0,b 0,a+b=c，求证：a2a+1+b2b+1 1.高
9、三数学(文科)2023-10 阶考 第 1 页共 2 页树德中学高 2021 级高三上学期 10 月阶段性测试数学(文科)试题参考答案题号123456789101112答案DADCDBBCCDBB13.-7 14.0,12 15.9 16.-2e,0.17.(1)因为数列 an为等差数列，设公差为 d，则 S5=5(a1+a5)2=5a3=25，所以 a3=5，又 a2=3，所以 a1+2d=5a1+d=3，解得 a1=1，d=2.则 an=1+2 n-1=2n-1.6 分(2)由(1)知，bn=12n+1+2n-1.所以 bn=2n+1-2n-1(2n+1+2n-1)(2n+1-2n-1)=
10、12(2n+1-2n-1)Tn=12(3-1+5-3+2n+1-2n-1)=12(2n+1-1)12 分18.(1)连 A1C，A1E，因为 M,N 分别为棱 AC,AA1的中点，所以 A1C MN，所以 A1CE(或其补角)是异面直线 MN 和 CE 所成的角，因为正三棱柱 ABC-A1B1C1中各条棱长均为 2，点 M,N,E 分别为棱 AC,AA1,AB 的中点所以 CE=3，A1E=5，A1C=2 2，因为 CE 2+A1E 2=A1C2，所以 CE A1E，所以 tanA1CE=A1ECE=53=153.6 分(2)连 BN,BM，依题意可得 SMBE=12 SMAB=14 SCAB
11、=14 12 2 3=34，MN=NE=2，ME=12 BC=1，SMNE=12 ME MN 2-ME22=12 1 2-14=74，设点 B 到平面 MEN 的距离为 d，由 VB-MNE=VN-MBE 得 13 d SMNE=13 NA SMBE，得 13 d 74=13 1 34，得 d=217.即点 B 到平面 MEN 的距离为217.12 分 19.(1)商店的日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式为：y=50 14+30 x-14,14 x 2050 x-10 14-x,10 x 14,化简得：y=30 x+280,14 x 2060 x-140,10 x 14 4 分(2)由频
12、率分布直方图得：海鲜需求量在区间 10,12的频率是 2 0.08=0.16；海鲜需求量在区间 12,14的频率是 2 0.12=0.24；海鲜需求量在区间 14,16的频率是 2 0.15=0.30；海鲜需求量在区间 16,18的频率是 2 0.10=0.20；海鲜需求量在区间 18,20的频率是 2 0.05=0.10；这 5050 天商店销售该海鲜日利润 y 的平均数为：11 60-14 10 0.16+13 60-14 10 0.24+15 30+20 14 0.30+17 30+20 14 0.20+19 30+20 14 0.10=83.2+153.6+219+158+85=698
13、.8(元)由于 x=14 时，30 14+280=60 14-140=700显然 y=30 x+280,14 x 2060 x-140,10 x 14在区间 10,20上单调递增，y=580=60 x-140，得 x=12；y=760=30 x+280，得 x=16；日利润 y 在区间 580,760内的概率即求海鲜需求量 x 在区间 12,16的频率：0.24+0.30=0.54 12 分20.(1)由已知：C2(4,0)；C1的准线为 x=-14 圆心 C2到 C1准线距离为 4-14=174;4 分(2)设 P y20,y0，A y21,y1，B y22,y2,切线 PA:x-y20=m
14、1 y-y0由 x=m1y+y20-m1y0y2=x得：y2-m1y-y20+m1y0=0由 y0+y1=m1得：y1=m1-y0，切线 PB:x-y20=m2 y-y0,同理可得：y2=m2-y0依题意：C2(4,0)到 PA:x-m1y-y20+m1y0=0 距离 4-y20+m1y0m21+1=1整理得：y20-1m21+8y0-2y30m1+y40-8y20+15=0同理：y20-1m22+8y0-2y30m2+y40-8y20+15=0 m1+m2=2y30-8y0y20-1y20 1 k1=y0y20-4，k2=y1-y2y21-y22=1y1+y2=1m1+m2-2y0=y20-
15、1-6y0 k1k2=y0y20-4 y20-1-6y0=-524,解得：y0=4故所求 P 点坐标为 16,4或 16,-4.12 分高三数学(文科)2023-10 阶考 第 1 页共 2 页21.(1)f(x)的定义域是(0,+)，f(x)=x+ax-(a+1)=(x-1)(x-a)x，a 0 时，0 x 1 时，f(x)1 时，f(x)0，f(x)的减区间(0,1)，增区间是(1,+)；0 a 1 时，0 x 1 时，f(x)0，a x 1 时，f(x)1 时，0 x a 时，f(x)0，1 x a 时，f(x)0，f(x)的增区间是(0,1)和(a,+)，减区间是(1,a)；综上，a
16、0 时，f(x)的减区间(0,1)，增区间是(1,+);0 a 1 时，f(x)的增区间是(0,1)和(a,+)，减区间是(1,a).6 分(2)F(x)=f(x)+a-1=x2-2x+ax，由题意 x2-2x+a=0 有两个不等正根 x1,x2，=4-4a 0，a 0，所以 0 a-2e-2，alna-a+2e 0，设 g(x)=xlnx-x+2e(0 x 1)，则 g(x)=lnx+1-1=lnx 0，得 0 a 1e 综上，实数 a 的取值范围是 0,1e 12 分22.(1)由直线 l 的参数方程x=-1+22 ty=1+22 t，得其普通方程为 y=x+2，直线 l 的极坐标方程为
17、sin=cos+2.又 圆 C 的方程为 x-22+y-12=5，将 x=cosy=sin代入并化简得 =4cos+2sin，圆 C 的极坐标方程为 =4cos+2sin.5 分(2)将直线 l：sin=cos+2，与圆 C：=4cos+2sin 联立，得4cos+2sinsin-cos=2，整理得 sincos=3cos2，=2，或 tan=3.不妨记点 A 对应的极角为 2，点 B 对应的极角为，且 tan=3.于是，cosAOB=cos 2-=sin=3 1010.10 分23.(1)f x x+1，即 x-1+x-3 x+1.当 x 1 时，不等式可化为 4-2x x+1，解得：x 1,又 x 3 时，不等式可化为 2x-4 x+1，解得：x 5,又 x 3，3 x 5.综上所得，1 x 3 或 3 1,n 1，a=m-1,b=n-1,m+n=4，a2a+1+b2b+1=m-12m+n-12n=m+n+1m+1n-4=4mn 4m+n22=1，等且仅当 m=n=2 即 a=b=1 时等号成立.原不等式得证.10 分高三数学(文科)2023-10 阶考 第 1 页共 2 页