1、1.了解参数方程，了解参数的意义2能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程知识点一参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数，并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变量x，y的变量t是参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程1判断正误(1)参数方程(t1)表示的曲线为直线()(2)参数方程当m为参数时表示直线，当为参数时表示的曲线为圆()答案：(1)(2)2在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点
2、坐标为_解析：由C1得x2y25，且由C2得x1y，由联立解得或(舍)答案：(2,1)知识点二常见曲线的参数方程的一般形式 1经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量2圆的参数方程(为参数)3圆锥曲线的参数方程椭圆1的参数方程为(为参数)抛物线y22px的参数方程为(t为参数)答案1cossin2.cossin3.cossin3若直线(t为参数)与直线4xky1垂直，则常数k_.解析：直线(t为参数)的斜率为，所以1，k6.答案：64椭圆1的参数方程是_解析：设cos，sin，则(为参数)，即为所求的参数方程答案：(为参数)5
3、直线(t为参数)与圆(为参数)相切，则切线的倾斜角为_解析：直线的普通方程为bxay4b0，圆的普通方程为(x2)2y23，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有，即3a23b24b2，所以ba，而直线的倾斜角的正切值tan，所以tan，因此切线的倾斜角为或.答案：或热点一参数方程与普通方程的互化 【例1】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标【解】因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1得tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.因为曲线C的参数方程为，由y
4、2tan，得tan，代入得y22x.解方程组得公共点的坐标为(2,2)，1.【总结反思】1将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，以及参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响. (1)曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上B在直线y2x上C在直线yx1上D在直线yx1上(2)(t为参数)的普通方程是_解析：(1)由已知得消参得(x1)2(y2)21.所以其对称中心为(1,2)显然该点在直线y2x上故选B.(2)由参数方程得etxy，etxy，(xy)(xy)1，即x2y21.答案：(1)B(2)x2y21热点二直线的参数方
5、程的应用 【例2】已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值【解】(1)曲线C：(x1)2(y2)216，直线l：(t为参数)(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2(23)t30，设t1，t2是方程的两个根，则t1t23，所以|PA|PB|t1|t2|t1t2|3.【总结反思】(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题(2)对于形如(t为参数)当a2b21时，应先化为标准形式后才
6、能利用t的几何意义解题. (2016江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长解：椭圆C的普通方程为x21.将直线l的参数方程代入x21，得(1t)21，即7t216t0，解得t10，t2.所以AB|t1t2|.热点三椭圆参数方程的应用 【例3】(2016新课标全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|P
7、Q|的最小值及此时P的直角坐标【解】(1)C1的普通方程为y21，C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos，sin)因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d()|sin()2|.当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为(，).【总结反思】一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了. 在极坐标中，曲线C的方程为2，点R坐标为.(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方
8、程化为直角坐标方程，点R的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时点P的直角坐标解：(1)xcos，ysin，曲线C的直角坐标方程为y21.点R的直角坐标为(2,2)(2)设P(cos，sin)，根据题意可得|PQ|2cos，|QR|2sin，|PQ|QR|42sin(60)当30时，|PQ|QR|取最小值2，矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为.热点四参数方程与极坐标方程的综合应用 【例4】(2016新课标全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点
9、，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.【解】(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sincos1a20，由已知tan2，可得16cos28sincos0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.a1时，极点也为C1，C2
10、的公共点，在C3上所以a1.【总结反思】涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程. (2017衡水模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin2cos.(1)求曲线C的参数方程；(2)当时，求直线l与曲线C交点的极坐标解：(1)由2sin2cos，可得22sin2cos.所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y2x，标准方程为(x1)2(y1)22.曲线C的极坐标方程化为参数方程为(为参数)(2)当时，直线l的方程为化成普通方程为yx2.由解得或
11、所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为，(2，)1化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法2对于形如(t为参数)当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题3圆与椭圆的参数方程的异同点(1)圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数解决(2)圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角