1、课时作业19函数、导数与不等式A基础达标1函数f(x)xln x,g(x)aex.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当a时,xf(x)g(x)22020贵阳市第一学期监测考试已知函数f(x)asin xxb(a,b均为正常数),h(x)sin xcos x.(1)求证:函数f(x)在(0,ab内至少有一个零点;(2)设函数f(x)在x处有极值,对于一切x0,不等式f(x)h(x)恒成立,求b的取值范围B素养提升12020开封市模拟考试已知函数f(x)exx1.(1)证明f(x)0;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,n0时,证明:mennnemm.课时作业19函数、导数与不等式A基
2、础达标1解析:(1)函数f(x)的定义域为(0,)由f(x)xln x,得f(x)1,当x(0,1)时,f(x)0,所以f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,)(2)证明:要证xf(x)g(x),即证x(xln x)aex,即证a.设h(x),则h(x),由(1)可知f(x)f(1)1,即ln x(x1)0,于是,当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增;当x(1,)时,h(x)0,f(ab)asin(ab)abbasin(ab)10,f(0)f(ab)0,函数f(x)在(0,ab内至少有一个零点(2)f(x)acos x1.由已知得:f0,a2,f(x)2sin xx
3、b,不等式f(x)h(x)恒成立可化为sin xcos xxb,记函数g(x)sin xcos xx,x0,则g(x)cos xsin x1sin1,x,当x时,1sin,g(x)0在0,上恒成立,函数 g(x)在0,上是增函数,最小值为g(0)1,b1,b的取值范围是(1,)B素养提升1解析:(1)证明:f(x)ex1.当x0时,f(x)0,当x0时,f(x)0,即exx1,即xln(x1)令x, 得ln.从而ln ln ln 11.故2,所以m的最小值为3.2解析:(1)由题可得f(x)的定义域为R,且f(x)(axa1)ex.当a0时,f(x)ex0时,由f(x)0,得x;由f(x)0,得x.此时f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增当a0,得x;由f(x).此时f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增(2)证明:当mn0时,要证mennnemm,只要证m(en1)(*)设g(x),x0,则g(x).设h(x)(x1)ex1,x0,由(1)知当a1时,y(x1)ex在(0,)上单调递增,所以h(x)在(0,)上单调递增,所以当x0时,h(x)h(0)0.于是g(x)0,所以g(x)在(0,)上单调递增所以当mn0时,g(m)g(n),即(*)式成立故当mn0时,mennnemm.