1、高考资源网（） 您身边的高考专家8.4 直线与圆锥曲线的位置关系巩固夯实基础 一、自主梳理 已知直线l:Ax+By+C=0与圆锥曲线C：f(x,y)=0. 1.方程组解的组数即为l与C的交点的个数； 方程组的解就是l与C的交点的坐标. 2.若l与C有两个交点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则线段P1P2为直线被圆锥曲线截得的弦，其弦长|P1P2|=|x1-x2|.其中k为直线l的斜率. 3.中点坐标公式：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则线段AB的中点M(x0,y0)的坐标满足： 4.弦差法求直线的斜率 若曲线为mx2+ny2=1(m0,n0),则由 m(x12-x22)+n(y
2、12-y22)=0k=-. 二、点击双基 1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作一条直线l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则等于( )A.-4 B.4 C.-p2 D.p2解析：特殊值法.设l的方程为x=,则x1=x2=. y1=-y2=p.=-4.答案：A2.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,) B.(1,)(，+) C.(，+) D.,+解析：双曲线的渐近线的斜率k=，要使双曲线-=1和直线y=2x有交点，只要满足2即可，2. 2.e.答案：C3.已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A.3 B.
3、2 C. D.解析：依题设弦端点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x12+2y12=4,x22+2y22=4. x12-x22=-2(y12-y22). 此弦斜率k=-=-. 此弦直线方程为y-1=-(x-1), 即y=-x+代入x2+2y2=4, 整理得3x2-6x+1=0. x1x2=,x1+x2=2. |AB|=.答案：C4.已知(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是_.解析：设直线l与椭圆交于P1(x1,y1)、P2(x2,y2), 将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k=- =-=-=-. 由点斜式可得l的方程为x+2y-8=0.答案：x+2y
4、-8=05.过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=8,O为坐标原点，则OAB的重心的横坐标为_.解析：由题意知抛物线焦点F(1,0).设过焦点F(1,0)的直线为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2).代入抛物线方程消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0. k20,x1+x2=,x1x2=1. |AB|= = = =8, k2=1. OAB的重心的横坐标为 x=2.答案：2诱思实例点拨【例1】 已知直线l:y=tan(x+2)交椭圆x2+9y2=9于A、B两点，若为l的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求的取值范围.剖析：确定某一变量的
5、取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长2b,最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解：将l方程与椭圆方程联立，消去y,得(1+9tan2)x2+36tan2x+72tan2-9=0, |AB|=|x2-x1| = =. 由|AB|2,得tan2, -tan. 的取值范围是0,.讲评：考查直线与椭圆相交所得弦长的范围，对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l的方程由tan给出，所以可以认定,否则涉及弦长计算时，还应讨论=时的情况.【例2】 讨论直线l:y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1的公共点的个数.剖析：直线与圆锥曲线公共点的个数问题的讨论实际上是相应方
6、程组的解的问题.解：联立直线和双曲线方程 消去y得(1-k2)x2-2kx-2=0. 当1-k2=0,即k=1时，x=1. 当1-k20,即k1时，=4k2+8(1-k2)=8-4k2. 由0得-k; 由=0得k=; 由0得k. 所以当k(-,-1)(-1,1)(1,)时，直线l与双曲线C相交于两点; 当k=时，直线l与双曲线C相切于一点； 当k=1时，直线l与双曲线C相交于一点; 当k(-,-)(,+)时，直线l与双曲线C没有公共点，直线l与双曲线C相离.讲评：该题讨论了过定点(0,1)的直线系与等轴双曲线的位置关系.按1-k2是否等于0来分类讨论.容易犯的两个错误：一是不讨论二次项系数为零
7、的情况；二是讨论判别式时，丢掉前提条件二次项系数不为零.【例3】如图，点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.剖析：(1)由，得=0和椭圆方程联立出方程组求出点P的坐标.(2)利用函数思想方法，求出d2的最小值.解：(1)由已知可得点A(-6,0)、F(4,0).设点P的坐标是(x,y)，则=(x+6,y),=(x-4,y). 由已知得 则2x2+9x-18=0,x=或x=-6. 由于y0,只能x=,于是y=.所以点P的坐标是(,). (2)直线AP的方程是x-y+6=0，设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是，于是=|m-6|. 又-6m6，解得m=2. 椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有 d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2=(x-)2+15. 由于-6x6,当x=时，d取得最小值.讲评：方程组、函数的思想方法在解决平面解析几何中有着非常重要的作用.- 5 - 版权所有高考资源网
