1、第2节 简谐运动的描述课标解读课标要求素养要求1.知道振幅、周期、频率和相位的概念,理解周期和频率的关系。2.能用公式描述简谐运动。1.物理观念:知道全振动的含义,知道振动物体的周期和频率,并能理解其与振幅无关。2.科学思维:能依据简谐运动的表达式描绘图像,或根据简谐运动图像写出表达式。自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 描述简谐运动的物理量振动物体离开平衡位置的 最大距离，叫作振动的振幅。一个 完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期。物体完成全振动的次数与所用时间之比，叫作振动的频率。要点二 简谐运动的表达式做简谐运动的物体的位移x 与运
2、动时间t 之间满足 正弦函数关系，位移x 的一般函数表达式为 x=Asin(t+)。自主思考振幅就是指振子的最大位移吗？答案：提示 不是。振幅是标量，最大位移是矢量，它们在数值上相等。（1）物体两次通过平衡位置的过程是一个完整的振动过程吗？（2）一弹簧振子在B 、O 、C 间做简谐运动，如图所示，若弹簧振子从O 向右运动时开始计时。则怎样的过程表示一个完整的振动过程？答案：提示 （1）不一定。振动物体连续两次沿同一方向通过平衡位置的过程是一次全振动，因此，物体两次通过平衡位置的过程不一定是一个完整的振动过程。（2）从小球第一次经O 点向右运动到小球下次回到O 点且向右运动的过程，即OCOBO
3、。简谐运动的表达式一定是正弦函数吗？答案：提示 不一定，还可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。试写出表达式中各物理量的含义。答案：提示A 表示简谐运动的振幅。 是简谐运动的圆频率。它也表示简谐运动振动的快慢，=2T=2f 。t+ 代表简谐运动的相位， 是t=0 时的相位，称作初相位，或初相。名师点睛1.振幅是标量，表示振动强弱，对于同一振动系统，振幅越大表示振动越强。2.不管从哪儿作为开始研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。此时，位移、速度第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点。3.周期T 与频率f 的关系式：T=1f 。互动探究关键能力探究点一 描述简谐运
4、动的物理量之间的关系情境探究1.弹簧振子的周期与什么因素有关呢？如果改变弹簧振子的振幅，其振动的周期是否会改变呢？我们可以提出哪些猜想？怎样设计一个实验来验证这个猜想？答案：提示 猜想：影响弹簧振子周期的因素可能有：振幅、振子的质量、弹簧的劲度系数等。我们可以设计这样一个实验：弹簧一端固定，弹簧的另一端连着有孔小球，使小球在光滑的水平杆上滑动。通过分别改变振幅、振子的质量和弹簧的劲度系数，测量不同情况下振子的周期（注意在改变一个物理量的时候其他物理量应保持不变）。探究归纳1.对全振动的理解（1）振动过程：如图所示，从O 点开始，一次全振动的完整过程为OAOAO ；从A 点开始，一次全振动的完整
5、过程为AOAOA 。（2）一次全振动的四个特征物理量特征：位移(x) 、加速度(a) 、速度(v) 三者第一次同时与初始状态相同。时间特征：历时一个周期。路程特征：振幅的4倍。相位特征：增加2 。2.简谐运动中振幅和几个物理量的关系（1）振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移大小相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。（2）振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。（3）振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）是固定的，与
6、振幅无关。特别提示 振幅大，振动物体的位移不一定大，但其最大位移一定大。探究应用例 如图所示，弹簧振子在A 、B 间做简谐运动，O 为平衡位置，A 、B 间距离是20cm ，从A 点到B 点运动时间是2s ，则 ( )A.从OBO 振子做了一次全振动B.振动周期为2s ，振幅是10cmC.从B 点开始经过6s ，振子通过的路程是60cmD.从O 点开始经过3s ，振子处在平衡位置答案：C解析：振子从OBO 只完成半个全振动，选项A 错误；从AB 振子也只是半个全振动，半个全振动是2s ，所以振动周期是4s ，选项B 错误；t=6s=112T ，所以振子经过的路程为4A+2A=6A=60cm ，
7、选项C 正确；从O 点开始经过3s ，振子处在最大位移A 或B 处，选项D 错误。方法探究振动物体通过路程的计算方法（1）求振动物体在一段时间内通过路程的依据：振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n 个周期内通过的路程必为n4A 。振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。振动物体在T4 内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，T4 内通过的路程才等于一倍振幅。（2）计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。迁移应用1.一质点做简谐运动，振幅是4cm 、频率是2.5Hz ，某时刻该质点从平衡位置
8、向正方向运动，经2.5s 质点的位移和路程分别是( )A.4cm ，24cm B.-4cm ，100cmC.0 ，100cm D.4cm ，100cm答案：D解析：周期T=1f=12.5s=0.4s ，t=2.5s=614T ，质点在2.5s 时到达正向最大位移处，故位移为4cm ，路程为64A+A=25A=100cm ，D 正确。2.如图所示是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题：（1）振动的振幅；（2）振动的频率；（3）在t=0.1s 、0.3s 、0.5s 、0.7s 时质点的振动方向；（4）质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；（5）质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和
9、位置；（6）在t=0.6s 至t=0.8s 这段时间内质点的运动情况。答案：（1）振幅为最大位移的绝对值，从图像可知振幅A=5cm 。（2）从图像可知周期T=0.8s ，则振动的频率f=1T=10.8Hz=1.25Hz 。（3）由各时刻的位移变化过程可判断t=0.1s 、0.7s 时，质点的振动方向向上；t=0.3s 、0.5s 时，质点的振动方向向下。（4）质点在t=0.4s 时通过平衡位置，首次具有负方向的速度最大值。（5）质点在t=0.2s 时处于正向最大位移处，加速度首次具有负方向的最大值。（6）在t=0.6s 至t=0.8s 这段时间内，从图像上可以看出，质点沿负方向的位移不断减小，
10、说明质点正沿着正方向由负向最大位移处向着平衡位置运动，所以质点做加速运动。探究点二 简谐运动表达式的理解和应用探究应用1.简谐运动的表达式x=Asin(t+)的认识（1）x： 表示振动质点相对平衡位置的位移。（2）A： 表示振幅，描述振动的强弱。（3） ：表示圆频率，它与周期、频率的关系为=2T=2f 。可见 、T 、f 描述的都是振动的快慢。（4）t+： 表示相位，描述做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于三角函数中的角度，相位每增加2 ，意味着物体完成了一次全振动。（5） ：是t=0 时的相位，表示t=0 时振动质点所
11、处的状态，称为初相位或初相。2.简谐运动的表达式的理解和应用（1）由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A 、圆频率 和初相 。根据=2T 或=2f 可求出周期T 或频率f ，还可以求出某一时刻质点的位移x 。（2）相位差：即某一时刻的相位之差。两个具有相同 的简谐运动，设其初相分别为1 和2 ，其相位差=(t+2)-(t+1)=2-1 。它反映出两个简谐运动的步调差异。（3）关于两个相同频率的简谐运动的相位差的理解=2-1取值范围：- 。0 ，表明两振动步调完全相同，称为同相。 ，表明两振动步调完全相反，称为反相。0 ，表示振动2比振动1超前。0 ，表示振动2比振动1滞后。迁移应用1.物体A
12、 做简谐运动的振动位移为xA=3cos(100t+2)cm ，物体B 做简谐运动的振动位移为xB=5cos(100t+6)cm 。比较A 、B 的运动( )A.振幅是矢量，A 的振幅是6cm ，B 的振幅是10cmB.周期是标量，A 、B 的周期相等，为100sC.A 振动的频率fA 等于B 振动的频率fBD.A 振动的频率fA 大于B 振动的频率fB答案：C解析：振幅是标量，A 、B 的振幅分别是3cm 、5cm ，A 错误；周期是标量，A 、B 的周期相等，均为T=2=2100s=50s ，B 错误；因为A=B ，故fA=fB ，C 正确，D 错误。2.（多选）一弹簧振子A 的位移y 随时
13、间t 变化的关系式为y=0.1sin(2.5t)m 。则( )A.弹簧振子的振幅为0.2mB.弹簧振子的周期为1.25sC.在t=0.2s 时，振子的运动速度为零D.若另一弹簧振子B 的位移y 随时间变化的关系式为y=0.2sin(2.5t+4)m ，则振动A 滞后振动B 的相位为4答案：C ; D解析：由振动方程为y=0.1sin(2.5t)m ，可读出振幅A=0.1m ，圆频率=2.5rad/s ，周期T=2=22.5s=0.8s ，故A 、B 错误；在t=0.2s 时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C 正确；两振动的相位差=2-1=2.5t+4-2.5t=4 ，即振动B 超前振动A
14、 的相位为4 ，或者说振动A 滞后振动B 的相位为4 ，故D 正确。3.一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1=5sin(8t+14)cm 的规律振动。（1）求该振动的周期、频率、振幅和初相；（2）另一简谐运动的表达式为x2=5sin(8t+54)cm ，求它们的相位差。答案：（1）14s ; 4Hz ; 5cm ; 4 （2）解析：（1）已知=8rad/s ，由=2T 得T=14s ，f=1T=4Hz ，A=5cm ，1=4（2）由=(t+2)-(t+1)=2-1 得，=54-4=评价检测素养提升 课堂检测 1.有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x 后释放让它振动，第二次把弹
15、簧压缩2x 后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )A.11，11B.11，12C.14，14D.12，12答案：B解析：弹簧的压缩量即振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1:2 ；而对同一振动系统，其周期与振幅无关，故周期之比为1:1 ，B 正确。2.（多选）如图所示，弹簧振子以O 为平衡位置，在B 、C 间振动，则( )A.BOCOB 为一次全振动B.OBOCB 为一次全振动C.COBOC 为一次全振动D.OB 的大小不一定等于OC答案：A ; C解析：O 为平衡位置，B 、C 为两侧最远点，则从B 起始经O 、C 、O 、B ,路程为振幅的4倍，即
16、A 正确；若从O 起始经B 、O 、C 、B 路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B 错误；若从C 起始经O 、B 、O 、C 路程为振幅的4倍，即C 正确；因弹簧振子系统的摩擦不考虑，所以振幅一定，故D 错误。3.一个物体做简谐运动，下列说法中正确的是( )A.物体运动过程中相距最远的两点之间的距离等于振幅B.物体先后两次经过同一位置所经历的时间等于振动周期C.物体在1秒钟内完成全振动的次数等于振动频率D.物体在各个时刻所处的不同状态叫作初相位答案：C解析：偏离平衡位置最大的距离叫振幅，故A 错误；物体先后以相同的运动状态通过同一位置所经历的时间等于振动周期，故B 错误；物体在1秒钟内完成全
17、振动的次数等于振动频率，故C 正确；物体在各个时刻所处的不同状态叫作相位，故D 错误。4.两个简谐运动的表达式分别为x1=4sin4tcm 和x2=2sin2tcm ，它们的振幅之比、频率之比是( )A.21，21B.12，12C.21，12D.12，21答案：A解析：由题意知A1=4cm ，A2=2cm ，1=4rad/s ，2=2rad/s ，则A1:A2=2:1 ，f1:f2=1:2=2:1 ，故A 正确，B 、C 、D 错误。素养视角科学思维简谐运动的对称性和周期性1.对称性（1）瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称。以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点时，位移、速度
18、、加速度的大小均相等。（2）过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC=tCB ；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBC=tBC ，如图所示。2.（1）若t2-t1=nT(n=1,2,3,) ，则t1 、t2 两时刻，振动物体在同一位置，运动情况相同。（2）若t2-t1=nT+12T(n=1,2,3,) ，则t1 、t2 两时刻，描述运动的物理量(x,a,v) 均大小相等，方向相反。（3）若t2-t1=nT+14T(n=1,2,3,) 或t2-t1=nT+34T(n=1,2,3,) ，则当t1 时刻物体在最大位移处时，t2 时刻物体到达平衡位置；当t1
19、 时刻物体在平衡位置时，t2 时刻物体到达最大位移处；若t1 时刻物体在其他位置，t2 时刻物体到达何处就要视具体情况而定。素养演练1.一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10cm 的A 、B 两点，且由A 到B 的过程中速度方向不变，历时0.5s （如图）。过B 点后再经过t=0.5s ，质点以方向相反、大小相等的速度再次通过B 点，则质点振动的周期是( )A.0.5s B.1.0s C.2.0s D.4.0s答案：C解析：根据题意，由振动的对称性可知：AB 的中点（设为O ）为平衡位置，A 、B 两点对称分布于O 点两侧。质点从平衡位置O 向右运动到B 的时间应为tOB=12
20、0.5s=0.25s 。质点从B 向右到达最右方（设为D ）的时间tBD=120.5s=0.25s 。所以质点从O 到D 的时间tOD=14T=0.25s+0.25s=0.5s 。所以T=2.0s ，C 对。2.（多选）一弹簧振子做简谐运动，O 为平衡位置，当它经过O 点时开始计时，经过0.3s 第一次到达M 点，再经过0.2s 第二次到达M 点，则弹簧振子的周期为( )A.815s B.75s C.85s D.3s答案：A ; C解析：如图甲所示，OB( 或OC) 的长度代表振幅，若振子一开始从平衡位置向C 点运动，振子从OC 所需时间为T4 ，因为简谐运动具有对称性，所以振子从MC 所用时
21、间和从CM 所用时间相等，故T4=0.3s+0.22s=0.4s ，解得T=85s ；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向B 运动，设M 与M 关于O 点对称，则振子从M 经B 到M 所用的时间与振子从M 经C 到M 所需时间相等，为0.2s ，振子从O 到M 和从M 到O 及从O 到M 和从M 到O 所需时间相等，则振子从M 到O 所需时间为：(0.3s-0.2s)3=130s ，故周期为T=(0.5+130)s=1630s=815s 。故A 、C 正确，B 、D 错误。3.如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子经过a 、b 两点时的速度相同，若它从a 经O 到b 历时0.2s ，然后从b 再
22、回到a 的最短时间为0.4s ，则该振子的振动频率为( )A.1Hz B.1.25HzC.2Hz D.2.5Hz答案：B解析：振子经过a 、b 两点时的速度相同，根据弹簧振子的运动特点，可知a 、b 两点相对平衡位置O 一定是对称的，振子由b 经O 到a 所用的时间也是0.2s ，由于“从b 再回到a 的最短时间为0.4s ”，即振子运动到b 后第一次回到a 点所用时间为0.4s ，且Ob 不是振子的振动过程中相对平衡位置的最大位移。设图中的c 、d 点为振动过程中相对平衡位置的最大位移处，则振子从b 经c 到b 历时0.2s ，同理，振子从a 经d 到a 也历时0.2s ，故该振子的周期T=0.8s ，根据周期和频率互为倒数的关系，就可以确定该振子的振动频率为1.25Hz ，B 正确。技巧点拨此题利用振动的对称性解题。通过画草图讨论弹簧振子可能的运动情况，对于不是从平衡位置或不是从最大位移处开始计时的振动问题，分析的突破口是弄清从开始计时起的半个周期的轨迹或几个不规则的轨迹怎样组成一个振幅或若干个振幅。