1、专题强化练6直线方程的直线系问题一、选择题1.(2020 湖北宜昌部分示范性高中协作体高二上期末,)无论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点()A.1,-12B.(-2,0)C.(2,3)D.(9,-4)2.(2020四川成都双流中学高二上期末,)若点(5,a)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则整数a的值为()A.5B.4C.-5D.-43.(2021福建厦门一中高二上摸底考试,)设mR,动直线l1:x+my-1=0过定点A,动直线l2:mx-y-2m+3=0过定点B,若直线l1与l2相交于点P(异于点A,B),则PAB周长的最大值为()A.2+
2、2B.22+1C.2+1D.22+2二、填空题4.(2020黑龙江齐齐哈尔高一上期末,)直线l经过直线l1:2x+3y+2=0与l2:3x-4y-2=0的交点,且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则直线l的方程为.5.(2021上海浦东高二上期末,)如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成梯形的面积为4,则l2的方程为.6.(2021上海交大附中高二开学考试,)设M(x1,y1),N(x2,y2)为不同的两点,直线l:ax+by+c=0,=ax1+by1+cax2+by2+c,以下结论中正确的序号为.(1)无论为何值,点N都不在直线
3、l上;(2)若=1,则过M,N的直线与直线l平行;(3)若=-1,则直线l经过线段MN的中点;(4)若1,则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交.三、解答题7.(2020河南平顶山鲁山一中高一上期末,)已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l的方程,使得:(1)l与l平行,且过点(-1,3); (2)l与l垂直,且l与两坐标轴围成的三角形面积为4.8.()已知过点P(m,n)的直线l与直线l:x+2y+4=0垂直.(1)若m=12,且点P在函数y=11-x 的图象上,求直线l的一般式方程;(2)若点P(m,n)在直线l上,判断直线l0:mx+(n-1)y+n+5=0是否
4、经过定点.若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.9.(2020河南林州高一上期中,)已知点M(-1,2),N(3,4),P(-3,0).(1)是否存在过点P的直线l与线段MN垂直相交?若存在,请求出直线l的方程;若不存在,请说明理由;(2)若直线m过点P,且M,N到直线m的距离相等,求直线m的方程.专题强化练6直线方程的直线系问题1.D2.B3.D一、选择题1.D直线方程可化为m(x+2y-1)-x-y+5=0,由x+2y-1=0,-x-y+5=0,解得x=9,y=-4,所以直线过定点(9,-4).故选D.名师指点题设中的方程实际上是一条过两条直线交点的直线系方程.直线系是指具有某种共同
5、属性的一类直线的集合,它的方程称为直线系方程.几种常见的直线系方程:(1)过已知点P(x0,y0)的直线系方程y-y0=k(x-x0)(k为参数).(2)斜率为k的直线系方程y=kx+b(b是参数).(3)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+=0(为参数,C).(4)与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx-Ay+=0(为参数).(5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(为参数).2.B设过点(5,a)且与两直线平行的直线系方程为3x-4y+c=0c12且c5,把(
6、5,a)代入直线的方程,解得c=4a-15,所以过点(5,a)且与两直线平行的直线的方程为3x-4y+4a-15=0,由题意知,该直线在y轴上的截距4a-154满足184a-15454,解得318a1,则B(b,0),C(0,b),A(1,0),D(0,1),所以S梯形ABCD=SOBC-SOAD=12b2-12=4,解得b=3,又b1,故b=3,故直线l2的方程为x+y-3=0.6.答案(1)(2)(3)(4)解析(1)因为=ax1+by1+cax2+by2+c中,ax2+by2+c0,所以点N(x2,y2)不在直线l上,故正确.(2)当b0时,根据=1,得到ax1+by1+cax2+by2
7、+c=1,化简得y2-y1x2-x1=-ab,即直线MN的斜率为-ab,又直线l的斜率为-ab,且由(1)可知点N不在直线l上,所以直线MN与直线l平行;当b=0时,根据=1,得到ax1+by1+cax2+by2+c=1,化简得x1=x2,此时直线MN与直线l的斜率不存在,都与y轴平行,由(1)知点N不在直线l上,故直线MN与直线l平行.综上,当=1时,直线MN与直线l平行,故正确.(3)当=-1时,得到ax1+by1+cax2+by2+c=-1,化简得ax1+x22+by1+y22+c=0,而线段MN的中点坐标为x1+x22,y1+y22,所以直线l经过线段MN的中点,故正确.(4)当1时,
8、得到ax1+by1+cax2+by2+c1,即(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)0,所以点M、N在直线l的同侧,且|ax1+by1+c|ax2+by2+c|,即点M与点N到直线l的距离不等,所以线段MN的延长线与直线l相交,故正确.所以结论中正确的序号为(1)(2)(3)(4).三、解答题7.解析(1)设直线l的方程为3x+4y+m=0(m-12),由点(-1,3)在l上,得-3+12+m=0m=-9.直线l的方程为 3x+4y-9=0.(2)设直线l的方程为4x-3y+=0,令y=0,得x=-4,令x=0,得y=3.则l与两坐标轴围成的三角形面积S=12-43=4,即2=96=46
9、,直线l的方程是4x-3y46=0.8.解析(1)由m=12,且点P在函数y=11-x的图象上,得n=11-m=11-12=2,即点P12,2,因为直线l与直线l:x+2y+4=0垂直,所以设满足条件的直线l的方程为2x-y+C=0.将点P12,2代入可得,C=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.(2)因为点P(m,n)在直线l上,所以m+2n+4=0,即m=-2n-4,代入mx+(n-1)y+n+5=0中,整理得n(-2x+y+1)-(4x+y-5)=0,此方程表示的是过直线-2x+y+1=0与直线4x+y-5=0交点的直线系方程,联立-2x+y+1=0,4x+y-5=0,解得x=1,y
10、=1,故直线mx+(n-1)y+n+5=0必经过定点,且定点坐标为(1,1).9.解析(1)由题意得kMN=12,所以直线MN的方程为x-2y+5=0,故可设垂直于直线MN的直线系方程为2x+y+a=0,将点P(-3,0)代入可得,a=6,故直线l的方程为2x+y+6=0,由2x+y+6=0,x-2y+5=0,得x=-175,因为-175-1,3,所以不存在过点P的直线l与线段MN垂直相交.(2)因为M,N到直线m的距离相等,所以直线m过线段MN的中点或与直线MN平行. 当直线m过线段MN的中点时,易得线段MN的中点为(1,3),所以由直线的两点式方程可得直线m的方程为3x-4y+9=0; 当直线m与直线MN平行时,设经过点P且与直线MN平行的直线系方程为x-2y+b=0(b5),将点P(-3,0)代入可得,b=3,所以直线m的方程为x-2y+3=0.综上,直线m的方程为3x-4y+9=0或x-2y+3=0.