1、第2课时 不等式的性质 必备知识自主学习 不等式的性质 导思不等式有哪些性质?名称 式子表示 性质1 对称性 abbb,bcac 性质3 可加性 aba+cb+c 性质4 可乘性 ab,c0acbc ab,c0acb,cda+cb+d 名称 式子表示 性质6 同向同正不等式可乘 _ 性质7 正数不等式乘方 ab0_(nN,n1)性质8 正数不等式开方 ab0 (nN,n2)ab0cd0 nnabacbd anbn【思考？】若a,bR,ab,那么a3b3一定成立吗?提示:一定成立,因为函数f(x)=x3在R上是增函数,所以ab时,a3b3.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1
2、)若ab,则ac2bc2.()(2)若ab,cd,则acbd.()(3)若ab,则anbn(nN,n1).()提示:(1).当c=0时不成立.(2).同向同正不等式可乘.(3).当ab0时成立.2.已知ab,cd,且cd0,则()A.adbc B.acbc C.a-cb-d D.a+cb+d【解析】选D.a,b,c,d的符号未确定,排除A,B两项;同向不等式相减,结果未必是同向不等式,排除C项,故选D项.3.(教材二次开发:习题改编)若|a|1).【解析】因为|b|a|0,所以由不等式的性质可得 .答案:b,cd,则ac B.若acbc,则ab C.若 ,则ab,则|a|b|22abcc2.若
3、a,b,cR,ab,则下列不等式成立的是()222211A.abB.ababC.c1c1D.a cb c3.若 0,则下列不等式:a+b|b|;a0,所以ab,且ab0,则 ,A中少条件ab0,故A不成立.若ab0,则a2b2,B中少条件b0,故B不成立.因为ab,且 0,所 以 ,故C成立.D中少条件c0,故D不成立.3.由 0,得a0,b0,故a+b0,所以a+bab,即正确;由|a|,故错误;由知|b|a|,a0,bb,故错误.答案:1 22abcc11ab21c122abc1c111ab11ab11ab【解题策略】运用不等式的性质判断真假的技巧(1)首先要注意不等式成立的条件,不要弱化
4、条件,尤其是不能凭想当然随意捏造性质.(2)解决有关不等式选择题时,也可采用特值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.【补偿训练】1.若ab0,则下列结论正确的是()A.a2b2 B.abbc baab【解析】选C.当abb2,故A错误,当abb2,故B错误,当ab0时,0 1,则 bc不成立,故D错误.baabbaab2.设a1b-1,b0,则下列不等式中恒成立的是()A.B.C.ab2 D.a22b 11ab11ab【解析】选C.当a=2,b=-时,满足条件.但 不成立,故A错误;当a1b0时,故B错误;因为1b-1,b0,所以0b2b2,
5、故C正确;当a=1.1,b=0.9时,满足条件,但a22b不成立,故D错误.1211ab11ab类型二 利用不等式的性质证明不等式(逻辑推理、数学运算)【典例】已知cab0,求证:.abcacb【解题策略】利用不等式的性质证明不等式的两注意 (1)记准、记熟:利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)注意条件:应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.【跟踪训练】1.ab0,cb0,所以ab0,0.于是a b ,即 .由cb0
6、,cd0,e0.求证:.【证明】因为cd-d0,又因为ab0,所以a+(-c)b+(-d)0,即a-cb-d0,所以0 ,又因为eb及cd,推不出acbd;由ab,推不出a2b2等.【拓展训练】若ab0,cd0,e0,求证:.【解题指南】结合不等式的性质化简证明.【证明】因为cd-d0,又ab0,所以a-cb-d0,则(a-c)2(b-d)20,即 又e0,求证:.【证明】abcdbdbcad0bcad1bd00bdcacacdababcd11.dbdbdbbd类型三 利用不等式的性质求范围(逻辑推理、数学运算)角度1 利用性质直接求范围 【典例】已知-1ab1,则a-b的取值范围是 .【思路
7、导引】利用不等式的性质构造a-b求范围.【解析】因为-1a1,-1b1,所以-1-b1,所以-1-1a-b1+1,所以-2a-b2,又ab,所以a-b0.答案:(-2,0)【变式探究】将本例的条件改为“-ab ”,试求 的取值范围.【解析】因为-ab ,所以-,-,所以-,所以-.又ab,所以 0,所以-0.22ab222a424b424b424 ab222ab2ab22角度2 整体构造求范围 【典例】已知 +,-,则2-的取值范围是 .【思路导引】利用+,-表示出2-后求范围.543【解析】令2-=x(+)+y(-),即2-=(x+y)+(x-y),所以 因为 所以-2-.答案:1xxy22
8、xy13y.2 ，解得，533()228222 ，8()8，【解题策略】利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.【题组训练】1.若,满足-,则2-的取值范围是()A.-2-0 B.-2-C.-2-D.02-22322【解析】选C.因为-,所以-2 ,又-,所以-,所以-2-.又-0,所以2-.故-2-b且cR,则下列不等式中一定成立的是()A.acbc B.a2b2 C.a+cb
9、+c D.ac2bc2【解析】选C.对于A,当cab时不成立;对于D,当c=0时不成立;C正确.2.已知-A ,-B ,则2A-B的取值范围是 .【解析】因为-A ,所以-2A.因为-B ,所以-B .所以-2A-Bb0,cd0,则 .【解析】因为ab0,cd0,所以acbd,所以 -=0,则 .答案:adbcadbcacbddcadbc4.已知1a3,-4b2,则a+|b|的取值范围是 .【解析】因为-4b2,故0|b|4,又1a3,所以1a+|b|7.答案:1,7)【新情境新思维】已知实数a,b满足等式2 017a=2 018b,下列关系式不可能成立的是()A.0ab B.ab0 C.0b
10、b0,ab0,a=b=0.而0ab不可能成立.课时素养评价 十七 不等式的性质【基础通关】(20分钟 35分)1.如果-1ab0,则有()A.b2a2 B.a2b2 C.b2a2 D.a2b2 11ba11ba11ab11ab【解析】选A.取a=-,b=-,分别计算出 =-3,=-2,b2=,a2=,由此能够判断出 ,b2,a2的大小.1b1a121319141b1a2.若 b2 B.C.D.aebbea(e2.718 28)11abba11122ba2ab【解析】选D.因为 0,所以ba-a0,所以(-b)2(-a)2,所以a21,故B错误;又 所以 2,故C错误;又 11abx12ba11
11、22222baba2abab20ababab（），baabbaae01 01be ，所以 又beabea,故D正确.baa e1b e ，3.已知-,则 不属于的区间是()A.(-,)B.C.(-,0)D.(0,)222 2 2，【解析】选D.因为-,所以 0且-,所以-bc,则下列不等式成立的是()A.B.C.acbc D.acbc,所以a-cb-c0.所以 .11acbc【补偿训练】若ab,xy,下列不等式不正确的是()A.a+xb+y B.y-a|a|y D.(a-b)x(a-b)y【解析】选C.当a0时,|a|0,|a|x|a|y,当a=0时,|a|x=|a|y,故|a|x|a|y.5
12、.若8x10,2y4,则 的取值范围是 .xy【解析】因为2y4,所以 因为8x10,所以2 5.答案:(2,5)111.4y2 xy【补偿训练】设 则2-的范围是()A.B.C.(0,)D.0022，350 6，56 6，6，【解析】选D.02 bc,求证:1110.abbcca【证明】原不等式变形为:又因为abc,所以a-ca-b0,所以 ,又 0,所以 ,即 0.111.abbcac11abac1bc111abbcac111abbcca+【能力进阶】(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设xa0,则下列不等式一定成立的是()A.x2axaxa2 C.x2a2a2ax【
13、解析】选B.因为xaa2,x2ax,所以x2axa2.2.已知xyz,且x+y+z=1,则下列不等式中成立的是()A.xyyz B.xyxz C.xzyx D.x|y|z|y|【解析】选B.因为xyz,且x+y+z=1,所以x0,所以xyxz.3.已知ab0,c0且c1,则下列不等式一定成立的是()A.logcalogcb B.cacb C.acbc D.ccab【解析】选C.因为ab0,所以当0c1时,logcalogcb,ca1时logcalogcb,cacb,所以acbc,.ccabbc0,则ab B.若ab0,则acbc C.若ab,c0,则acbc D.若ab,则ac2bc2【解析】
14、选C.对于A,当c0时,不等式不成立,故A不正确;对于B,当cb,c0,所以acbc,故C正确;对于D,当c=0时,不等式不成立,故D不正确.5.若x(e-1,1),a=ln x,b=2ln x,c=ln3x,则()A.abc B.cab C.bac D.bca【解析】选C.因为 x1,所以-1ln x0.令t=ln x,则-1t0,所以ab.c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1),又因为-1t0,所以0t+11,-2t-10,所以ca,所以cab.1e【补偿训练】设0a -c C.D.ac2 -c,因为 当c=0时,ac2=bc2,所以D不成立.12x1122ab1x1b1
15、a2 baa2aa2a0b2bb2 bb2b，所以，二、填空题(每小题5分,共15分)6.若-1xy0,则 ,x2,y2的大小关系为 .1 1x y，【解析】因为-1xy-x-y0,xy0,所以x2y2,.因为y20,y2 .答案:x2y2 11xy11xy11xy1x【补偿训练】若abc0,则 c从小到大的顺序是 .abbcac，【解析】,因为abc0,所以 因为 所以c，2cbcacab，bcacabcbcacab7.已知-12x-11,则 -1的取值范围是 .2x【解析】-12x-110 x1 2 -11.答案:(1,+)1x2x2x【补偿训练】已知2ba-b,则 的取值范围为 .ab【
16、解析】因为2ba-b,所以2b-b,所以b0.所以 答案:ba2ba12.bbbb，即 a12b 8.已知-1a+b3且2a-b4,则2a+3b的取值范围是 .【解析】设2a+3b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,所以 所以m=,n=-.所以2a+3b=(a+b)-(a-b).因为-1a+b3,2a-b4,所以-(a+b),-2-(a-b)-1,所以-(a+b)-(a-b),即-2a+3b .答案:-2a+3bb,求证:ab0.11ab【证明】因为 ,所以 0,即 b,所以b-a0.11ab11abbaab10.已知函数f(x)=ax2-c,-4f(1)-1,-1f(2
17、)5,求f(3)的取值范围.【解析】因为f(x)=ax2-c,所以 即 解得 所以f(3)=9a-c=f(2)-f(1).又因为-4f(1)-1,-1f(2)5,所以 所以-1 f(2)-f(1)20,即-1f(3)20.f1acf24ac.（），（）acf14acf2（），（）1af2f1314cf2f133 （）（），（）（），835355208840f1f2333333（），（），8353【补偿训练】已知x,y为正实数,且1lg(xy)2,3lg 4,求lg(x4y2)的取值范围.xy【解析】由题意,设a=lg x,b=lg y,所以lg(xy)=a+b,lg =a-b,lg(x4y2)
18、=4a+2b.设4a+2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,所以 解得 又因为33(a+b)6,3a-b4,所以64a+2b10,所以lg(x4y2)的取值范围为6,10.xymn4mn2，m3n1.，【创新迁移】1.已知三个不等式ab0;bcad.若以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成 个正确命题.cdab【解析】,.(证明略).:由得 0,又由得bc-ad0.所以ab0.所以可以组成3个正确命题.答案:3 bcadab2.设abc,且1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,求 的取值范围.ca【解析】因为1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,所以a+b+c=0,因为 abc,所以a0得b=-a-c,因为abc,即a-a-cc,即 得 因为a0,则不等式等价为 即 aacacc 2aca2c ，c2a2c1a ，c2ac1a2 ，得-2 ,综上,的取值范围为-2 .c1a2 c1a2 ca