1、2.3.1直线与平面垂直的判定课后训练案巩固提升1.已知m,n是两条不同直线,是三个不同平面,下面命题正确的是()A.若,则B.若m,n,则mnC.若m,n,则mnD.若m,m,则解析:选项A中,与平行或相交,A不正确;选项C中,m,nm与n平行、相交或异面,C不正确;选项D中,m,m与平行或相交,D不正确.故选B.答案:B2.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交解析:取BD的中点O,连接AO,CO,则BDAO,BDCO,BD平面AOC,BDAC.又BD,AC异面,选C.答案:C3.如图,在正方
2、形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()A.AHEFH所在平面B.AGEFH所在平面C.HFAEF所在平面D.HGAEF所在平面解析:原题图中ADDF,ABBE,所以折起后AHFH,AHEH,FHEH=H,所以AHEFH所在平面.答案:A4.在四面体P-ABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的()A.内心B.外心C.垂心D.重心解析:如图所示:PO底面ABC,POOA,POOB,POOC.在RtPOA和RtPOB中,P
3、A=PB,PO=PO,POAPOB,OA=OB.同理可证OB=OC,O是ABC的外心.故选B.答案:B5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA平面ABCD,且PA=6,则PC与平面ABCD所成角的大小为()A.30B.45C.60D.90解析:如图,连接AC.PA平面ABCD,PCA就是PC与平面ABCD所成的角.AC=2,PA=6,tanPCA=PAAC=62=3.PCA=60.答案:C6.已知ABC所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影是ABC的.解析:P到ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影到ABC三顶点的距离都相等
4、,所以是外心.答案:外心7.导学号96640050(2016浙江杭州高二联考)如图,在三棱柱ABC-ABC中,底面ABC是正三角形,AA底面ABC,且AB=1,AA=2,则直线BC与平面ABBA所成角的正弦值为.解析:如图所示,取AB的中点D,连接CD,BD.底面ABC是正三角形,CDAB.AA底面ABC,AACD.又AAAB=A,CD侧面ABBA,CBD是直线BC与平面ABBA所成角.等边三角形ABC的边长为1,CD=32,在RtBBC中,BC=BB2+BC2=5,直线BC与平面ABBA所成角的正弦值=CDBC=1510.答案:15108.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PCB
5、D,则平行四边形ABCD一定是.解析:因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.因为PCBD,且PC平面PAC,PA平面PAC,PCPA=P,所以BD平面PAC.又AC平面PAC,所以BDAC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.答案:菱形9.如图,ACB=90,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,点P到角的两边AC,BC的距离都等于23 cm,则PC与平面ABC所成角的大小为.解析:过P作PO平面ABC于点O,连接CO,则CO为ABC的平分线,且PCO为PC与平面ABC所成的角,设其为,连接OF,易知CFO为直角三角形.又PC=4,PF=23,CF=2,CO
6、=22,在RtPCO中,cos =COPC=22,=45.答案:4510.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是.(填序号)BD平面CB1D1;AC1BD;AC1平面CB1D1;异面直线AD与CB1所成的角为60.解析:由于BDB1D1,BD平面CB1D1,B1D1平面CB1D1,则BD平面CB1D1,所以正确;因为BDAC,BDCC1,ACCC1=C,所以BD平面ACC1,所以AC1BD.所以正确;可以证明AC1B1D1,AC1B1C,所以AC1平面CB1D1,所以正确;由于ADBC,则BCB1=45是异面直线AD与CB1所成的角,所以错误.答案:11.在正方体ABCD-
7、A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,A1D1的中点,求:(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值;(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.解:(1)如图,连接DB.D1D平面ABCD,DB是D1B在平面ABCD内的射影.则D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.DB=2AB,D1B=3AB,cosD1BD=DBD1B=63,即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为63.(2)E是A1A的中点,A1A平面A1B1C1D1,EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.在RtEA1F中,F是A1D1的中点,EFA1=45.12.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,AB
8、=AC=1,AA1=2,B1A1C1=90,D为BB1的中点.求证:AD平面A1DC1.证明:AA1底面ABC,平面A1B1C1平面ABC,AA1平面A1B1C1,A1C1AA1.又B1A1C1=90,A1C1A1B1.而A1B1AA1=A1,A1C1平面AA1B1B,AD平面AA1B1B,A1C1AD.由已知计算得AD=2,A1D=2,AA1=2.AD2+A1D2=AA12,A1DAD.A1C1A1D=A1,AD平面A1DC1.13.导学号96640051(2016湖南张家界高一期末)如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)证明:直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABC,BB1AD,AB=AC,D是BC的中点,ADBC.又BCBB1=B,AD平面BCC1B1.(2)解:连接C1D.由(1)AD平面BCC1B1,则AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.在RtAC1D中,AD=32,AC1=2,sinAC1D=ADAC1=64,即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为64.