1、福建省莆田第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质结合特殊值法对A、B二个选项进行判断，利用作差比较法对选项C、D进行判断.【详解】A：根据不等式的性质可知当，时，能得到.例如当，显然，成立，但是不成立，故本选项说法不正确；B：当时，显然不成立，故本选项说法不正确；C：，故本选项说法不正确；D：，故本选项说法是正确的.故选：D【点睛】本题考查了不
2、等式的性质应用，考查了作差比较法的应用，考查了数学运算能力.2.已知集合A=-2,-1,0,1,2,3,B=x|x2-2x-30,则AB=()A. -1,0B. 0,1,2C. -1,0,1D. -2,-1,0【答案】B【解析】【详解】【分析】由x22x30解得，故B=x|又A=，0，1，2，3，AB=0，1，2选B3.在中，若，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由利用正弦定理可得，结合可得结果【详解】利用正弦定理化简，得：，故选A【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边
3、的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.4.在数列中，且，则（ ）A. 22B. -22C. 16D. -16【答案】C【解析】【分析】由数列的递推关系，带入，即可求出，再将带入，即可求出【详解】令，则，又，所以；再令，则，所以，故选C【点睛】本题考查数列的递推公式，对赋值，求解数列中的项，属于简单题5.在 中，若，则 是（ ）A. 锐角三角形；B. 直角三角形；C. 钝角三角形；D. 直角三角形或钝角三角形【答案】B【解析】分析：由利用两角和的正弦公式，得到，可得，从而可得结果.详解：中，若，
4、则， ，故三角形是直角三角形，故选B.点睛：判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.6.若x，y满足 则x + 2y的最大值为A. 1B. 3C. 5D. 9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目
5、标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.7.在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值【详解】由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，所以或（舍），故选A【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题8.已知不
6、等式的解集是,则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据所给的不等式的解集，并结合一元二次方程根与系数的关系求出的值，然后再解不等式即可【详解】不等式的解集是，是方程的两根，解得不等式为，解得，不等式的解集为故选A【点睛】本题考查二次不等式的解法，解题时注意结合“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方程的根与二次函数图象与x轴交点横坐标间的关系，解题的关键是根据条件求出的值9. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：时，故A错；，中等号不成立，故B错；，中等号也取不到，故C错；故选D.考点：基本
7、不等式.【易错点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件10.已知数列的前项和为，且，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用数列通项与前项和的关系，结合可得的递推公式，进而得到为等比数列并求得通项，从而求得的通项公式即可.【详解】因为，故，故当时，-有，化简可得，故是以为首项，2为公比的等比数列.故，故.故选：A【点睛】本题
8、主要考查了根据数列通项与前项和的关系求解数列的递推公式，进而证明等比数列并求出通项公式的方法.属于中档题.11.设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为( )A. 1009B. 1010C. 1011D. 1012【答案】C【解析】分析】对任意正整数，都有，为数列中的最小的正数项或最大的负数项，根据已知结合前项和公式，即可得出结论.【详解】等差数列中，所以对任意正整数，都有，则的值为故选：C.【点睛】本题考查等差数列的前项和公式以及等差数列的性质，考查计算求解能力，属于中档题.12.在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
9、【分析】根据余弦定理得到，再根据正弦定理得到，故，计算得到答案.【详解】由余弦定理及可得，即，得，整理得.，得.由正弦定理得，又，整理得.易知在锐角三角形中， ， 且.， ，当且仅当时等号成立.故选：B.【点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若正数满足，则的最小值是_.【答案】5【解析】【详解】试题分析：，当且仅当，即时取等号考点：基本不等式14.若不等式对一切恒成立，则的最小值是_【答案】.【解析】试题分析：不等式对一切成立，等价于对于一切成立设，则因为函数在区间上是增函数，所
10、以，所以，所以的最小值为考点：1、不等式的解法；2、函数的单调性【方法点睛】利用分离参数法求解不等式的恒成立问题，前提条件是参数较易从变量中分离出来，基本的解题程序一般分三步：(1)分离参数，得到(或)；(2)求函数的最值，得到)；(3)极端原理，即()，把不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题15.在内角的对边满足，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理结合基本不等式求解即可.【详解】根据题意，由得：由余弦定理得当且仅当，即时取等号故答案为【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用以及基本不等式的应用，属于中档题.16.设数列的前项和为，若，且，则_.【答案】-2020【解析】【分
11、析】将代入条件等式，得出成等差数列，即可求出结论.【详解】，是为首项，公差为的等差数列，.故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义，注意通项公式与前项和关系的应用，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.(1)求B的大小(2)若，求b.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据正弦定理可解得角B；（2）由余弦定理，将已知代入，可得b【详解】解：（1）由，得，又因B为锐角，解得(2)由题得，解得【点睛】本题考查正，余弦定理解三角形，属于基础题18.已知等
12、差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列中，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件求出等差数列的公差，即可求出的通项公式；（2）根据条件求出等比数列的通项公式，结合等差数列和等比数列的前项和公式，即可得出结论.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，（2）设等比数列的公比为，且.，或.又，.【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式基本量的计算以及前项和公式，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.19.已知数列的前项和为，且.（1）求证：为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【
13、解析】【分析】(1) 利用数列的通项与前项和的关系，结合可得的递推公式，进而得到为等比数列并求得通项.(2)根据(1)可得，代入可得，再利用裂项求和求解数列的前项和即可.【详解】（1）当时，则当时，即.数列是以1为首项，2为公比的等比数列，.（2）【点睛】本题主要考查了根据数列通项与前项和的关系求解数列的递推公式，进而证明等比数列并求出通项公式的方法.同时也考查了裂项相消求和的方法，属于基础题.20.如图，在四边形中，且，.（1）求的面积；（2）若，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，再根据，求得，然后结合，由求解.（2）由（1）求得，然后利用余弦定理求得，设，结合，利
14、用余弦定理，由求解.【详解】（1），又，.（2）由（1）得，由余弦定理可得，设，整理得，解得或（舍去）.的长为.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB = y km，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB = AC + 1，且ABC = 60o（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/
15、km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？【答案】（1）（x 1）；（2）时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得函数的解析式，其定义域是. (2)结合(1)的结论求得利润函数，由均值不等式的结论即可求得当km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元.试题解析：（1）在中,所以.在中，由余弦定理，得，即 ，所以 . 由， 得. 又因为，所以.所以函数定义域是. (2) .因为（）， 所以即 . 令则. 于是 ， 由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号. 答：当km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价为490万元. 22.已知数列的前项和为，数列满足，点在直线上（1）求数列，的通项和；（2）令，求数列的前项和；（3）若，求对所有的正整数都有成立的的范围【答案】（1），；（2）（3）【解析】【详解】(1)解: ，,当时，是首项为，公比为2的等比数列，因此，当时，满足，所以，因为在直线上，所以，而，所以.(2)，因此，-得：，(3)证明:由(1)知，数列为单调递减数列；当时，即最大值为1，由可得，而当时，当且仅当时取等号，.