1、第三节解三角形及其实际应用举例复习目标学法指导1.用正、余弦定理解决实际问题中的长度问题.2.用正、余弦定理解决实际问题中的角度问题.1.能够把现实生活中求距离、长度、角度、方向问题转化为解三角形问题.2.正确认识生活中的一些角对解决问题有很大帮助.3.注意问题中正、余弦定理的结合使用.解三角形问题中的一些角1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图).2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图).3.方向角相对于某一方向的水平角(如图).(1)北偏东:指北方向向东旋转到达目标方向.(2)东北方向:指北偏东45
2、.(3)其他方向角类似.4.坡角和坡比坡角:坡面与水平面的夹角(如图,角为坡角).坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i为坡比).1.概念理解(1)在解三角形时要找边角关系,而在实际问题中,角的探求往往是解决问题的关键.(2)求角和距离时,要找准合适的三角形通过正余弦定理求解,有时正余弦定理反复使用才能解决.2.与应用举例相关联的结论易混淆方位角与方向角概念:方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角,而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.1.ABC中,B=C=30,AB=AC=1,点E是线段AB的中点,CE的中垂线交线段AC于D点,则AD=.解析:依题意,A=120,设
3、AD=x,则在ADE中,DE=,又DE=DC,AD+DC=1,因此x+=1,解得x=,即AD=.答案:2.如图所示,B,C,D三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为和(0),则年总产值为4k800(4sin cos +cos )+3k1 600(cos -sin cos )=8 000k(sin cos +cos ),0,).设f()=sin cos +cos ,0,),则f()=cos2-sin2-sin =-(2sin 2+sin -1)=-(2sin -1)(sin +1).令f()=0,得=,当（0,）时,f()0,所以f()为增函数;当（,）时,f()0,
4、所以f()为减函数,因此,当=时,f()取到最大值.答:当=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 在平面图形中解三角形【例题】 四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求角C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.解:(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=13-12cos C,BD2=AB2+DA2-2ABDAcos A=5+4cos C,由得cos C=,因为C为三角形内角,故C=60,BD=.(2)四边形ABCD的面积S=ABDAsin A+BCCDsin C=（12+32）sin 60=2.规范要求:选择余弦定理的策略是已
5、知哪个角(或求哪个角)就选择相应的公式;根据三角函数值求角时要标明角的取值范围;把四边形分割成易求面积的三角形,从而选择适当的公式求值.温馨提示:在平面图形中考查正弦、余弦定理是高考的一个热点,解这类问题既要抓住平面图形的几何性质,也要灵活选择正弦、余弦定理、三角恒等变换公式.此类题目求解时,一般有如下思路:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用定理、公式求解;(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.做题过程中,要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质,要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题.【规
6、范训练】 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45,沿倾斜角为30的斜坡前进1 000 m后到达D处,又测得山顶的仰角为60,则山的高度BC为m.解析:过点D作DEAC交BC于E,因为DAC=30,故ADE=150.于是ADB=360-150-60=150.又BAD=45-30=15,故ABD=15,由正弦定理得AB=500(+)(m).所以在RtABC中,BC=ABsin 45=500(+1)(m).答案:500(+1)类型一在平面图形中解三角形1.如图所示,已知树顶A离地面米,树上另一点B离地面米,某人在离地面米的C处看此树,则该人离此树米时,看A,B的视角最大.解析:过C作CFAB于点F
7、(图略),设ACB=,BCF=.由已知得AB=-=5(米),BF=-=4(米),AF=-=9(米).则tan(+)=,tan =,所以tan =tan(+)-=,当且仅当FC=,即FC=6米时,tan 取得最大值,此时取得最大值.答案:62.一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,P是此直线外一点,设APC=,BPC=.求证:=+.证明:因为SABP=SAPC+SBPC,所以PAPBsin(+)=PAPCsin +PBPCsin ,两边同除以PAPBPC,得=+.类型二在空间图形中解三角形3.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔
8、顶的仰角分别为45,30,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120,甲、乙两地相距500 m,求电视塔的高度.解:由题意画出示意图,设塔高AB=h m,在RtABC中,由已知得BC=h m,在RtABD中,由已知得BD=h m,在BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos BCD,得3h2=h2+5002+h500,解得h=500.故电视塔的高度为500 m.类型三易错易误辨析4.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行,已知河水速度为2 km/h,则经过 h,该船实际航程为.解析:如图所示,水流速和船速的合速度为v,在OAB中,OB2=OA2+AB2-2OAABcos 60,所以OB=|v|=2 (km/h).即船的实际速度为2 km/h,则经过小时,其路程为2=6(km).答案:6 km