1、第1讲 不等式的性质与一元二次不等式最新考纲1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知 识 梳 理1.两个实数比较大小的方法2.不等式的性质3.三个“二次”间的关系Rx|x1xx2诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)答案 B解析由x(x2)0得x0或x2；由|x|1得1x1，所以不等式组的解集为x|0 x1，故选C.答案 C4.已知不等式x22xk210
2、对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是_.5.(北师大必修5P83练习1改编)若关于x的一元二次方程x2(m1)xm0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_.考点一 不等式的性质及应用答案 C规律方法判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.答案(1)D(2)D考点二 一元二次不等式的解法
3、微题型1不含参数的一元二次不等式的解法答案x|x1规律方法解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式的符号；(3)若0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图像得出不等式的解集.微题型2含参数的一元二次不等式的解法【例22】解关于x的不等式ax222xax(aR).规律方法含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不
4、为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.答案A考点三 一元二次不等式的恒成立问题规律方法(1)在解决不等式ax2bxc0(或0)对于一切xR恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a0时是否满足题意.(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.【训练3】(1)设f(x)mx2mx1，求使f(x)0，且|m|1恒成立的x的取值范围.(2)已知f(x)x22ax2(aR)，当x1，)时f(x)a
5、恒成立，求a的取值范围.1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差变形判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解.4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a0的情况转化为a0时的情形.5.(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.易错防范1.对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形.2.当0(a0)的解集为R还是，要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.