1、第四讲 数学归纳法证明不等式4.2 用数学归纳法证明不等式A级基础巩固一、选择题1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步应验证()An1Bn2Cn3 Dn4解析：由题意n3知应验证n3.答案：C2用数学归纳法证明“1n，(nN，n1)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是()A2k1 B2k1C2k D2k1解析：增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k.故选C.答案：C3用数学归纳法证明不等式1(nN)成立，其初始值至少应取()A7B8 C9D10解析：左边12，代入验证可知n的最小值是8.答案：B4用数学归纳法证明“(nN*)”时，由nk到nk1时
2、，不等式左边应添加的项是()A.B.C.D.解析：当nk时，不等式为.当nk1时，左边.比较nk与nk1的左边，可知应添加的项为.答案：C5若不等式对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A12 B13C14 D不存在解析：令f(n)，取n2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，所以f(n)max，所以由f(2)，求得m的值故应选B.答案：B二、填空题6设x1，且x0，n为大于1的自然数，则(1x)n_解析：由贝努利不等式知(1x)n1nx.答案：1nx7设通过一点的k个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成f(k)个部分，则k1个平面将空间分
3、成f(k1)f(k)_个部分答案：2k8在应用数学归纳法证明“1(nN*)”时，从nk到nk1，不等式左边增加的项是_解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当nk时，尾项的分母为(k1)2，nk1时尾项的分母为(k2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，(n1)这些数都是连续相差1时因此，从nk到nk1只增加了一项，即(kN)答案：三、解答题9求证：1.证明：(1)当n1时，左边1，右边1，左式右式当n2时，左边1，右边，左边右边故当n1或n2时，不等式成立(2)假设当nk(k1)时，有1.则当nk1时，左边1.因为0，所以右边由不等
4、式的传递性可得：左边右边故当nk1时不等式也成立由(1)(2)知，对一切nN*原不等式都成立10设0a1，定义a11a，an1a.求证：对于任意的nN*，都有1an.证明：(1)当n1时，a11，又a11a，显然命题成立(2)假设nk(kN)时，不等式成立即1ak.当nk1(kN)时，由递推公式可知ak1a(1a)a1.同时ak1a1a.所以当nk1(kN)时，命题也成立，即1ak1.由(1)(2)可知对于任意的nN，都有1an.B级能力提升1用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN)的过程中，由nk到nk1时，左边增加了()A1项 Bk项C2k1项 D2k项解析：1，共增加了2k项答案：
5、D2设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1，2，3，)，则它的通项an_解析：可用两种方法求解法一：分别令n1，2，3求出a2，a3，通过不完全归纳法知，an.法二：对已知等式因式分解得(n1)an1nan(an1an)0.由an0知，再由累乘法求得an.答案：3设a11，an1b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN成立？证明你的结论解：法一：a22，a31.再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而 (an1)2是首项为0公差为1的等差数列，故(an1)2n1，即an1(nN*)
6、法二：a22，a31.可写为a11，a21，a31.因此猜想an1.下用数学归纳法证明上式：当n1时结论显然成立假设nk时结论成立，即ak1，则ak1111.这就是说，当nk1时结论成立所以an1(nN*)(2)设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，则c1，解得c.下用数学归纳法证明加强命题a2nca2n11.当n1时，a2f(1)0，a3f(0)1，所以a2a21，结论成立假设nk时结论成立，即a2kca2k11.易知f(x)在(，1上为减函数，从而cf(c)f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k1a2.再由f(x)在(，1上为减函数得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31.故ca2k31，因此a2(k1)11.这就是说，当nk1时结论成立综上，符合条件的c存在，其中一个值为c.