1、黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2021届高三数学上学期第二次月考试题 理一、单选题1已知集合, 则（ ）ABCD2命题：，的否定是（ ）A，B，C，D，3的值等于（ ）ABCD4若，则（ ）ABCD5下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）ABCD6祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等.甲、乙为两个同高的几何体，甲、乙在等高处的截面积不恒相等，甲、乙的体积不相等，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既充分也不必要条件7，则下列命题成立的是（ ）A BC D8函数的定义域为R，对
2、任意的，有，且函数为偶函数，则（ ）ABCD9函数在上的（ ）A最小值为0，最大值为B最小值为0，最大值为C最小值为1，最大值为D最小值为1，最大值为10设函数在处可导，且，则等于（ ）ABC1D-111已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD12已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）ABCD二、填空题13= _ 14函数的单调递增区间为_15函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_16已知定义在上的函数，对任意的实数都有，若时，则_.三、解答题17已知全集，集合，.（1）求；（2）若集合，满足，求实数的取值范围.18已知是第四象限角，.（1）化简.（2）若
3、，求的值.19已知函数（）若，求在处的切线方程（）求在区间上的最小值（）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围20已知函数 .（1）求的单调区间；（2）若对一切恒成立，求的取值范围.21某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，.（1）求直方图中的值；（2）如果上学路上所需时间不少于60分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）现有名上学路上时间小于分钟的新生，其中人上学路上时间小于分钟. 从这人中任选人，设这人中上学路上时间小于分钟人数为,求的
4、分布列和数学期望22在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位.圆的方程为被圆截得的弦长为.（1）求实数的值；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，且，求的值.参考答案1D【解析】，所以，所以， ，故选D.2C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可判断结果【详解】由特称命题的否定可知： 命题的否定是“， 故选：C【点睛】本题考查特称命题的否定，属基础题3A【解析】【分析】根据诱导公式化简可得选项.【详解】因为，故选：A.【点睛】本题考查诱导公式的应用于求三角函数值，属于基础题.4A【解析】因为，所以，由于
5、，所以，应选答案A 5D【解析】【分析】利用函数的奇偶性判断和函数的零点的求法求解.【详解】A. 因为，所以是非奇非偶函数，故错误；B. 因为，所以是奇函数，故错误；C.因为函数的定义域为，所以是非奇非偶函数，故错误；D.因为，所以是偶函数，令，解得，故正确；故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的零点，属于基础题.6B【解析】【分析】根据之间的推出关系可得正确的选项.【详解】设甲为正方体，其棱长为，体积为，乙为长方体，底面为边长为的正方形，高为，显然甲、乙在等高处的截面面积不相等，不能推出 若甲、乙的体积不相等，则甲、乙在等高处的截面积不恒相等，能推出，所以是必要不充分条件故选：B
6、【点睛】两个条件之间的关系判断，可依据命题“若则”、“若则”真假来判断，属基础题.7D【解析】试题分析:由于是单调递减函数,故应选D考点：基本初等函数的单调性及运用8C【解析】【分析】由函数单调性的定义可得在上单调递减，由偶函数的性质可得，再由函数的单调性即可得解.【详解】因为对任意的，有，所以对任意的，与均为异号，所以在上单调递减，又函数为偶函数，即，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性的定义及应用，考查了函数奇偶性的应用，属于基础题.9D【解析】【分析】由在恒成立，可知 在上单调递增，从而可求最值.【详解】解：令，解得，由，得，则随 的变化如下表， 0 则 在上单调递增，由得
7、最小值为，最大值为.故选:D.【点睛】本题考查了运用导数求函数的最值.求函数的最值时，常用的方法有函数图像法、结合单调性、导数法、基本不等式.10A【解析】【分析】对已知极限式子进行变形，结合导数的定义可得，从而可求出.【详解】解：由题意知，所以，故选:A.【点睛】本题考查了导数的定义，属于基础题.11A【解析】函数，若，可得，解得或，则实数的取值范围是，故选A.12A【解析】【分析】构造函数，由已知条件可判断出在R上单调递减，所求不等式可整理得，即，由单调性即可得到结果.【详解】构造函数，则，因为，所有，可得在R上单调递减，又，则，不等式即得，即，因为在R上单调递减，故得，故选：A【点睛】本
8、题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解题的关键，考查运算能力，属于中档题.13【解析】【分析】利用积分运算得，计算可得答案.【详解】因为.故答案为：.【点睛】本题考查积分的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.14【解析】【分析】求出函数的定义域，然后利用复合函数法可求出函数的单调递增区间.【详解】令，解得或，函数的定义域为.内层函数的减区间为，增区间为.外层函数在上为增函数，由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.故答案为.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15【解析
9、】【分析】求出，利用在恒成立可求实数a的取值范围.【详解】，因为在区间上是增函数，故在恒成立即在恒成立，故在恒成立，故.故答案为：.【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则16【解析】【分析】根据题意，确定函数周期，进而可求出结果.【详解】由，得，所以，所以的周期为4，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查根据函数周期性求函数值，属于基础题型.17（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由题，再根据集合的补集与交集的定义求解即可；（2）由得，由得，再根据包含关系求解即可【详解】解：（1）由题，或，或；（2）由得，则，解得，由得，则
10、，解得，实数的取值范围为【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及集合的包含关系，属于基础题18（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及同角三角函数关系式化简即可；（2）先将已知条件化简，然后代入化简后的结论即可【详解】（1）（2）因为，所以因为是第四象限角，所以，所以【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式的运用，属于基础题19（）（）见解析（）【解析】试题分析：（1）把a=2代入可得，进而可得方程，化为一般式即可；（2）可得x=为函数的临界点，分1，1e，三种情形来讨论，可得最值；（3）由（2）可知当0a1或ae2时，不合题意，当1ae2时，需，解之可得a的范
11、围试题解析：（）当时，在处的切线方程为，即（）由于及定义域为，所以令得若，即，则时，在上单调递增，在区间上的最小值为若，即，则时，单调递减，当时，单调递增，在区间上的最小值为若，即，则时，在上单调递减，在区间上的最小值为综上所述，当时，；当时，；当时，（）由（）可知当或时，在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点当，要使在区间上恰有两个零点，则，即，故所以，的取值范围为点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个
12、平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.20（1）减区间为，增区间为；（2）.【解析】试题分析：（1）求出，令，在定义域内，求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；（2）设，则，通过讨论的范围，分别确定函数的单调性，求出函数的最小值，从而确定的具体范围可.试题解析：(1)函数的减区间为，增区间为；（2）令，则，若，显然有在上单调递增，所以符合题意；若，由与图象的位置关系知存在，使得时，此时在上单调递减；当时，与题意矛盾，综上的取值范围是.21（1）0.025 （2）120 （3）【解析】试题分析：（1）由直方图可得：；（2）不少于分钟的频率为：名新生中有名学生
13、可以申请住宿；（3）的可能取值为，从而求出分布列和期望.试题解析： （1） 由直方图可得：.所以.（2）新生上学所需时间不少于分钟的频率为：因为所以名新生中有名学生可以申请住宿.（3）的可能取值为.所以的可能取值为所以的分布列为：考点：1、频率分布直方图；2、分布列；3、数学期望.【方法点晴】本题主要考查频率分布直方图、分布列、数学期望，涉及必然与或然思想和转化与化归思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算等核心素养，具有一定的综合性，属于中档题型.第三小题的可能取值为，再根据超几何分布求出，从而求出分布列和期望.22（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）先将圆C的方程化成
14、直角坐标方程，直线l化成普通方程，再由圆心到直线的距离以及勾股定理列式可得；（2）法1：联立直线l与圆C的方程，根据韦达定理以及参数的几何意义可得；法2：联立直线l与圆C的方程，根据点的坐标计算可得【详解】（1）由得即. 直线的普通方程为， 被圆截得的弦长为，所以圆心到的距离为，即解得. （2）法1：当时，将的参数方程代入圆的直角坐标方程得，即，由于，故可设是上述方程的两实根，所以又直线过点，故由上式及的几何意义得， . 法2：当时点，易知点在直线上. 又，所以点在圆外.联立消去得，.不妨设，所以.【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于基础题.