1、黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，在本试卷上作答无效。2.请将选择题答案填涂在机读卡上，非选择题答案填写在第II卷答题纸上。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试题卷共23题, 全卷满分150分。考试用时120分钟。第I卷（选择题，共70分）一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数满足，则的虚部为（ ）A. B. C. D.2.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动
2、物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A.系统抽样 B.分层抽样 C.简单随机抽样 D.非以上三种抽样方法3.平面向量，则向量、夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 4.如图是一个由正四棱锥PA1B1C1D1和正四棱柱ABCDA1B1C1D1构成的组合体，正四棱锥的侧棱长为6，BB1为正四棱锥高的4倍.当该组合体的体积最大时，点P到正四棱柱ABCDA1B1C1D1外接球表面的最小距离是（ ）A.
3、 B. C. D. 5.已知在锐角三角形中，角，所对的边分别为，若，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.已知平面、平面、平面、直线以及直线，则下列命题说法错误的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则7.平行四边形中，为中点，点在对角线1上，且，若，则（ ）A. B. C. D.8.已知直三棱柱ABCA1B1C1中，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 9.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.1现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被1分
4、配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执1勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ）A. B. C. D. 10.如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底（公元前470年公1元前410年）用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以为直径构造半圆，为弧的中点，为线段的中点，再以为直径构造半圆，则由曲线和曲线所围成的图形为月牙形，在图形内任取一点，则该点在月牙形内的概率为（ ）A. B. C. D. 11.已知平面与所成锐二面角的平面角为，P为，外一定点，过点P的一条直线与和所1成的角都是，则这样的直线有且仅有（ ）A. 1条 B
5、. 2条C. 3条 D. 4条12.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，11则的最小值为（ ）A. B. 2C. 1 D. 13.的展开式中，项的系数为-10，则实数a的值为（）A. B. 2C. 2D. 14.已知在R上的函数满足如下条件：函数的图象关于轴对称；对于任意，；当时，；函数，若过点(1,0)的直线与函数的图象在上恰有8个交点，在直线斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共80分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.15.若向量，则向量与的夹角等于_.16.的展开式中的系数为_.（用数字作答）17.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都
6、为直角三角形的四面体称为鳖儒.如图，在鳖臑ABCD中，平面BCD，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线与所成的角的余弦值为_.18.已知函数，且，则关于的方程实根个数的判断正确的是_.当时，方程没有相异实根当或时，方程有1个相异实根当时，方程有2个相异实根当或或时，方程有4个相异实根三、解答题：共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19.（本题满分12分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若_.（1）求角B；（2）若，求ABC周长的最小值，并求出此时ABC的面积.20.（本题满分12分）在全球抗击新
7、冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口1罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个1口罩，再从中抽取3个，求恰好取到一级口罩个数为2的概率；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型
8、号口罩的某网络购物平台上分别参加 1A、B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假1定甲、乙两人在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲、乙两人抢购1成功的订单总数量、口罩总数量分别为，.求的分布列及数学期望；求当的数学期望取最大值时正整数n的值.21.（本题满分12分）如图，三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，把平面沿旋转至平面的位置，记点A旋转后对应的点为P（不在平面内），、分别是、的中点.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积的最大值.22.（本题满分12分）（1）已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1:4，求的值.（2）记，求；设，求和：.2
9、3.（本题满分12分）设，b为常数，函数，（1）设，已知，求函数f(x)的所有极值的和；已知，函数f(x)在区间0,1上恒为非负数，求实数a的最大值；并判断a取最大值时函数在R上的零点的个数；（2）求证：无论如何变化，只要函数同时存在极大值和极小值，那么所有这些极值的和1就是与无关的常数.绝密启用前 试卷类型A哈尔滨市第三中学20202021学年度第二学期期末考试高一数学试卷参考答案及评分标准评分说明： 1 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变
10、该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、 选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分40分。题号123456789101112答案DBABCDABCDDA题号1314答案BA二、 填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。15. 16.420 17. 18.三、解答题：本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.（1）选，由正弦定理得，即，.选，由正弦定理可得，.选，由已知结合正弦定理可得，
11、.（2），即，解得，当且仅当时取等号，ABC周长的最小值为6，此时ABC的面积.20.（1）按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6、2，所以恰好取到一级口罩个数为2的概率（2）由题知，X的可能取值为0，1，2，；所以X的分布列为012因为，所以令，设，则，因为所以当时，所以在区间上单调递增；当时，所以在区间上单调递减；所以当即时取最大值，所以所以取最大值时，n的值为621.（1）如图，连接、，因为，是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以因为为边长为2的正三角形，所以，又，所以由勾股定理可得，又，则，所以为直角三角形，且，又、分别是、的中点，所以，所以
12、；（2）如图，连接、，因为三棱锥与三棱锥为同一个三棱锥，且的面积为定值，所以当三棱锥的体积最大时，则平面平面，则，为的中点，则，平面平面，平面平面，平面，平面，此时点到平面的距离为，在中，因为，所以， 所以的最大值为，所以三棱锥的体积的最大值为22.（1）的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，即，解得.（2）由题意，令，得；由题意，又，.23.解：（1）因为，所以，所以，由得或；同理，由得所以函数的单调性如下表：x+0-0+极大极小所以，时，函数，在区间上恒为非负数，即，因为，所以，（i）当时，所以在上单调递减，所以，解得，这与矛盾；（ii）当时，因为，所以在区间上递减，在区间上递
13、增，所以，因为，所以，所以综上所述，a的最大值为当时，解不等式得或，所以在区间和上单调递增，同理在区间上单调递减，所以，所以在R上恰有两个零点（2）证明：因为，（i）当且n为奇数时，为偶数，所以在R上恒成立，函数在R上单调递增，不存在极值；（ii）当且n为偶数时，为奇数，由得，由得，函数的单调性如下表：x+0-极小由上表可知，函数仅存在极小值，不合题意；（iii）当且n为偶数时，为正奇数，由得，由得，函数的单调性如下表：x+0-极小由上表可知，函数仅存在极小值，不合题意；（iv）当且n为奇数时，正偶数，由得或，由得，函数函数的单调性如下表：x+0-0+极大极小由上表可知，函数在区间和上单调递增
14、，同理在区间上单调递减，因此，时，函数取得极大值M，时，取得极小值N因为，所以，证毕附：4.【分析】设正四棱锥的高为，由条件可得，然后该组合体的体积为，然后利用导数求出当时体积取得最大值，此时，然后算出正四棱柱外接球的半径，然后点到正四棱柱外接球表面的最小距离为点到球心的距离减去半径，即可得到答案.【详解】设正四棱锥的高为，由正四棱锥的侧棱长为6可得，该组合体的体积为，令，则，所以可得在上单调递增，在上单调递减，所以当时取得最大值，即该组合体的体积最大,此时,所以正四棱柱的外接球半径为:,点到正四棱柱外接球表面的最小距离为点到球心的距离减去半径，即,故选：B【点睛】本题考查的知识点有：几何体的
15、体积公式，利用导数解决最值问题，几何体的外接球问题，属于较难题.5.【解析】由及余弦定理，可得正弦定理边化角，得是锐角三角形，即，那么：则，故选：10.【解析】记月牙形的面积为，曲线与弦围城的弓形面积为，设，则,则.所以图形的面积为,所以， 故选：D11.【解析】如图，过作的垂线,其确定的平面与棱交于，若二面角为，与平面成角，则 ，与成角，因此问题转化为过点与直线所成角为的直线有几条.,所以这样的直线有4条. 故选：D12.【解析】因为，即，所以，因为，所以，由余弦定理，可得，再由正弦定理得，因为，所以，所以或，得或（舍去）.因为是锐角三角形，所以，得，即，所以，当且仅当，取等号. 故选:A1
16、4.【分析】先由条件，得到函数是周期为的周期函数；根据求出函数在一个周期上的表达式为，根据得到的周期为，其图象可由的图象压缩为原来的得到，作出的图象，结合图象，即可求出结果.【详解】因为函数是偶函数，由得，即，所以函数是周期为的周期函数；若，则；因为当时，所以时，因为函数是偶函数，所以，即，则函数在一个周期上的表达式为，因为，所以函数，故的周期为，其图象可由的图象压缩为原来的得到，作出的图象如图：易知过的直线斜率存在，设过点的直线的方程为，则要使直线与的图象在上恰有8个交点，则，因为，所以，故.故选：A.【点睛】求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到的图象，再由函数交点个数，利用数
17、形结合的方法，即可求解.18.【分析】先依据题意求出的解析式，然后将复合函数进行分解，令，则，求解出，再研究即可【详解】当时，因为（1），所以，所以，所以，图象如图所示：当时，则，当且仅当时等号成立，所以函数在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，故恒成立故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增令，则，解得：或，当即时，当时，无解，当即时，当时，无解，故方程没有相异实根，故正确；当时，由可知：，解得，当时，由上可知在时取得极大值为，结合图象可知，此时与有且仅有一个交点，故正确；当时，或，若，结合图象可知与有三个不同的交点，若，此时与有一个交点，故方程有4个相异实根，故错误；当时，由可知此时有三个不等实根，当时，或，当时，由图可知有两个不等实根，当时，由图可知有一个实根，当时，或，当时，由图可知有两个不等实根，当时，由图可知有一个实根，故此时方程共有9个不等实根，故错误故答案为：
