1、2020届高三数学下学期名校领军考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（ ）A. 3+3iB. 1+3iC. 33iD. 13i【答案】B【解析】【分析】化简得到，得到共轭复数.【详解】由，得z（1i）（2i）2i2i113i，.故选：B【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.2.已知集合，则（ ）A. ABx|2x1B. ABx|1x2C. ABx|x2D. ABx|x1【答案】C【解析】【分析】计算到Ax|2x2，Bx|x1，再计算交集并集得到答案.【详解】Ax|2x2，
2、Bx|x1，ABx|1x2，ABx|x2.故选：C.【点睛】本题考查了集合的交集并集计算，意在考查学生的计算能力.3.已知角的终边经过点P（3，1），则cos2（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数定义得到，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】角的终边经过点P（3，1），cos，则cos22cos2121，故选：C.【点睛】本题考查了三角函数定义，二倍角公式，意在考查学生的计算能力.4.已知变量x，y的关系可以用模型拟合，设z = lny，其变换后得到一组数据下：由上表可得线性回归方程，则c =（ ）A. -4B. C. 109D. e109【答案】D【解析】【
3、分析】根据回归直线方程过样本中心点，求得，再根据对数运算求得的值.【详解】，代入得，解得.所以.由，得，令，则， ，则故选：D【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查非线性回归有关计算，属于基础题.5.双曲线C：的两条渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取双曲线的一条渐近线方程为y，圆心坐标为（1，0），半径为，计算，化简得到答案.【详解】取双曲线C：一条渐近线方程为y，即bxay0.化圆为，则圆心坐标为（1，0），半径为.由题意可得：，即，则c25a2，得e.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化
4、能力.6.已知实数x，y满足约束条件，则3xy的取值范围是（ ）A B. C. 2，2D. 2，3【答案】A【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】由约束条件作出可行域如图：令z3xy为y3xz，A（2，2）；，D（1，）.当直线y3xz过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4，当直线y3xz过时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为.3xy的取值范围是，4.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.7.的展开式中的常数项为（ ）A. 77B. 37C. 3D. 23【答案】B【解析】【分析】的展开式的通项为，计算得
5、到答案.【详解】的展开式的通项为：.的展开式中，（x23）的常数项为3，（1）5展开式的常数项为1；x23的x2项的系数为1，（1）5展开式中项的系数：2240.所以的展开式中常数项的系数为：3+4037.故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.已知f（k）k+（1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（ ）A. s3？B. s5？C. s10？D. s15？【答案】C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得：k1，s1，s1，不满足判断框内的条件，执行循环体，k2，s4，不满足判
6、断框内的条件，执行循环体，k3，s6，不满足判断框内的条件，执行循环体，k4，s11，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为4.因此判断框内的条件可填：s10？故选：C.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，过点A及C1D1中点作与直线 平行的平面，则平面与该正方体 ABCD- A1B1C1D1各面交线长度之和为（ ）A. 5B. 2C. 2+3D. 5【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，找出截面，求解三角形得答案【详解】如图，为的中点，则，得平面，由及，可得，则，求得， 平面与该正方体各面交线长度
7、之和为故选：B【点睛】本小题空间线段长度的计算，考查空间想象能力，属于基础题.10.已知a0且，若f（x）有最大值，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当x时，函数f（x）为增函数，f（x）有最大值为3，再讨论0a1和a1两种情况，计算最大值得到23，解得答案.【详解】当x时，函数f（x）8x1在（，上为增函数，f（x）有最大值为3；当0a1时，函数f（x）2+logax在（，+）上为减函数，要使f（x）有最大值，则23，即0；当a1时，函数f（x）2+logax在（，+）上为减函数，且当x+时，f（x）+，不合题意.a的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考
8、查了根据分段函数最值求参数，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力，转化能力.11.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： (a0)的蒙日圆，a=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得的值【详解】因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为，则两条切线分别是，这两条切线相互垂直，且两条直线的交点为，而在蒙日圆上
9、，所以，解得.故选：A【点睛】本小题主要考查利用给定的定理进行计算，考查椭圆的切线方程，属于基础题.12.关于函数有下述四个结论：f（x）是周期函数；f（x）的图象关于直线x2k（kZ）对称，f（x）在（，0）上没有零点；f（x）的值域为，其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】计算f（x+2）f（x），正确，f（x）是偶函数，即图象关于y轴对称，且周期为2，正确，计算f（）0，错误，x0，时，f（x），2，正确，得到答案.【详解】对于，因为f（x+2）|sin（x+2）|cos（x+2）|sinx|+cosxf（x），所以f（x）是周期函数，故正确
10、；对于，因为f（x）是偶函数，即图象关于y轴对称，且周期为2，则图象关于直线2k（kZ）对称，故正确；对于，因为f（）|sin（）|cos（）（）0，即x时f（x）在（，0）上的零点，故错误；对于，函数f（x）是偶函数且周期为2，则f（x）值域即为f（x）在0，上的值域，当x0，时，f（x）sinxcosx2sin（x），则x，所以f（x），2，故正确，故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称，零点，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的图象在x1处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求导得到f（x）ex1，计算得到f
11、（1）1-1=0，切点为（1，1），得到答案.【详解】的导数为f（x）ex1，可得f（x）的图象在x1处的切线斜率为110，切点为（1，1），则切线的方程为y1.故答案为：y1.【点睛】本题考查了函数的切线方程，意在考查学生的计算能力.14.如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量，满足（）0，则t_.【答案】【解析】【分析】向量（1，2），（3，1），（4，4），（）0，计算得到答案.【详解】由题意知，向量（1，2），（3，1），（4，4）；又（）0，即0，所以（3+2）+t（12+4），解得t.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.15.已知
12、ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC2ccosB，c2，且ABC面积为1，则sin2B_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理得到sinBcosC2sinCcosB，故a，b，根据面积公式计算得到答案.【详解】ABC中，由bcosC2ccosB，得sinBcosC2sinCcosB，所以sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC3cosBsinC；由c2，可得，所以a，b；所以ABC的面积为：SABCabsinCsinC2sinB6sinBcosB3sin2B1，所以sin2B.故答案是：.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综
13、合应用能力.16.已知三棱锥PABC中PAAB3，AC5，BC7，PB3，PC.则三棱锥PABC的外接球表面积为_.【答案】【解析】【分析】证明PA平面ABC，根据余弦定理得到sin，GA，设三棱锥PABC的外接球的球心为O，连接OP，则，得到答案.【详解】如图，由已知可得，PA2+AB2PB2，PA2+AC2PC2，则PAAB，PAAC，则PA平面ABC，在ABC中，由AB3，AC5，BC7，故cosBAC，sin，设ABC的外心为G，连接GA，则由正弦定理可得2GA，即GA.设三棱锥PABC的外接球的球心为O，连接OP，则.三棱锥PABC的外接球表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查了三棱
14、锥外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题：共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列an满足a1+a2+anan+12.（1）若a12，求数列an的通项公式；（2）若数列1，a2，a4，b1，b2，bn，成等差数列，求数列bn的前n项和为Sn.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）Snan+12，计算得到Snan+12，根据等比数列公式计算得到答案.（2）根据1，a2，a4成等差数列，得到a2，得到数列bn是首项为，公差为的等差数列，计算得到答案.【详解】（
15、1）由题意，可知Snan+12，则a2S1+2a1+24.当n2时，anSnSn1an+12（an2），整理，得an+12an，时，满足.数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，an2n，nN*.（2）由题意，可知a1a22，a1+a2a32，a3a1+a2+2a22+a2+22a2.1，a2，a4成等差数列，2a2a4+1，即a42a21a1+a2+a3a42，a22+a2+2a22a212，解得a2.设等差数列的公差为d，则da211.b11（41）.数列bn是首项为，公差为的等差数列.Sn（）n2n.【点睛】本题考查了等比数列，等差数列公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18
16、.如图，在四棱锥PABCD中ADBC，DAAB，AD2，ABBC1，CD，点E为PD中点.（1）求证：CE平面PAB；（2）若PA2，PD2，PAB，求平面PBD与平面ECD所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取AP的中点F，连接EF，FB，证明平行四边形EFBC，得到证明.（2）以A为原点，以AP为x轴，过A垂直于AP的直线为y轴，以AD为z轴建立空间直角坐标系，平面PBD的法向量为，平面ECD的法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）取AP的中点F，连接EF，FB，则EFAD，且EF，由ADBC，且BC，故EFBC，且EFBC，故平行四边形EFBC，由
17、EC平面PAB，BF平面PAB，故EC平面PAB；（2）PA2，PD2，AD2，所以ADAP，由DAAB，易知AD平面PAB，以A为原点，以AP为x轴，过A垂直于AP的直线为y轴，以AD为z轴建立空间直角坐标系，P（2，0，0），B（，0），D（0，0，2），C（），E（1，0，1），设平面PBD的法向量为，由，得，设平面ECD的法向量为，由，得，由cos，故平面PBD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.已知过点P（4，0）的动直线与抛物线C：交于点A，B，且（点O为坐标原点）.（1）求抛物线C的方程；（2）当直线
18、AB变动时，x轴上是否存在点Q使得点P到直线AQ，BQ的距离相等，若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）轴上存在点，使得点到直线，的距离相等.【解析】【分析】（1）设过点的动直线为，联立抛物线的方程，设，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标表示，化简可得，进而得到抛物线方程；（2）轴上假设存在点符合题意，由题意可得，运用直线的斜率公式和韦达定理，化简可得的值，即可判断存在性【详解】（1）设过点的动直线为，代入抛物线，可得，设，可得，由可得，解得，则抛物线的方程为；（2）当直线变动时，轴上假设存在点使得点到直线，的距离相等，由角平分线判定定理可得为的角平分线，即有，由（
19、1）可得，则，化为，即为，化简可得，则轴上存在点，使得点到直线，的距离相等【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查考查抛物线中的定点问题，考查运算求解能力，属于中档题.20.2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了10月1日7：0023：00这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7：0011：00，11：0015：00，15：0019：00，19：0023：00，依次记作7，11），11，15），15，19），19，23.（1）求该天顾客购买商品时刻的中位数t与
20、平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图可以近似认为国庆节假期期间该商场顾客购买商品时刻服从正态分布N（，2），其中近似为，3.6，估计2019年国庆节假期期间（10月1日10月7日）该商场顾客在12：1219：24之间购买商品的总人次（结果保留整数）；（3）为活跃节日气氛，该商场根据题中的4个时间段分组，采用分层抽样的方法从这5000个样本中随机抽取10个样本（假设这10个样本为10个不同顾客）作为幸运客户，再从这10个幸运客户中随机抽取4人每人奖励500元购物券，其他幸运客户每人奖励200元购物券，记获得500元购物券的4人中在15：0019：00之间购买商品
21、的人数为X，求X的分布列与数学期望；参考数据：若TN（，2），则P（T+）0.6827；P（2T+2）0.9545；P（3T+3）0.9973.【答案】（1）16,15.8；（2）23895；（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）中位数t（15，19），4（0.025+0.075）+（t15）0.1000.5，再计算平均值得到答案.（2）根据正态分布得到P（12.2T19.4）0.6827，计算得到答案.（3）X可能取值为0，1，2，3，4，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）根据题意，中位数t（15，19），由4（0.025+0.075）+（t15）0.1000.5
22、，得t16，4（90.025+130.075+170.100+210.050）15.8；（2）商场顾客购买商品时刻服从正态分布N（15.8，3.62），12.2，+19.4，所以2019年国庆节假期期间，商场顾客在12：1219：24之间购买商品的概率为：P（12.2T19.4）0.6827，所以人数为50000.6827723895；（3）根据题意X可能取值为0，1，2，3，4，P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），P（X4），X的分布列如下X 0 12 3 4P E（X）012.【点睛】本题考查了中位数，平均值，概率，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.
23、已知函数.（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）f（x）lnx有2个不同的极值点x1，x2（x1x2），求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求导得到，讨论四种情况得到单调性.（2）g（x）alnxx1，得到x1+x2a，x1x2a，f（x1）+f（x2）2x1x2alna+lna2a2，设g（a）alna+lna2a2，（a4），根据函数的单调性得到答案.【详解】（1），x0，（i）若a1，0恒成立，故f（x）在（0，+）单调递减，（ii）当a1时，x（0，1）时，f（x）0，函数单调递减，当x（1，a），f（x）0，函数单调递增，当x（a，+），f（
24、x）0，函数单调递减，（iii）0a1时，x（0，a）时，f（x）0，函数单调递减，当x（a，1），f（x）0，函数单调递增，当x（1，+），f（x）0，函数单调递减，（iv）当a0时，x（0，1）时，f（x）0，函数单调递增，当x（1，+），f（x）0，函数单调递减.（2）g（x）f（x）lnxalnxx1，由题意可得，x2ax+a0与2个不同的根x1，x2（x1x2），则x1+x2a0，x1x2a，a24a0，所以a4，f（x1）+f（x2）2x1x2a（lnx1+lnx2）+a（）+（lnx1+lnx2）（x1+x2）22x1x2alna+lna2a2，令g（a）alna+lna2a2，
25、（a4），则2lna10，即g（a）在（4，+）上单调递增，所以g（a）g（4）5ln4105（ln42）5（ln4lne2）5.得证.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值点问题，证明不等式，意在考查学生计算能力，转化能力，综合应用能力.22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数，aR).在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.（1）若点A(0，4)在直线l上，求直线l的极坐标方程；（2）已知a0，若点P在直线l上，点Q在曲线C上，若|PQ|最小值为，求a的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将直线l参数方程转化为直角坐标方程
26、，再将A点坐标代入即可求出a值，进而求出极坐标方程.（2）设直线m平行于直线l，则直线m与曲线C的切点到直线l的距离即为|PQ|最小值，计算求解即可.【详解】（1）由直线l的参数方程为 (t为参数，aR)可得，直线l的直角坐标方程为，因为点A(0，4)在直线l上，代入方程，得则直线l的直角坐标方程为，将代入，得即直线l的极坐标方程为（2）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得，设直线，则直线m与曲线C的切点（靠近直线l）到直线的距离即为|PQ|最小值，将直线m代入曲线C中，得，由相切，得，即（舍负），由于直线m与直线l的距离为，则， 【点睛】本题主要考查直角坐标方程、参数方程与极坐标方程之间
27、的转化，难度较易；解决此类直线到曲线上最大（小）值问题时，可以联立利用求解，也可以通过将曲线转化为参数方程在代入点到直线距离公式求解.23.已知（1）求不等式的解集；（2）若f(x)的最小值为M，且a+b+c=M(a，b，cR)，求证：【答案】（1）或 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式性质，进行分类讨论即可；（2）由题知f(x)的最小值为M=1，再根据基本不等式推理论证即可证明.【详解】（1）由题可知，则的解集为或综上，不等式的解集为或（2）由题可知，f(x)的最小值为M=1（时取得），即，由柯西不等式，得，同理，得到相加，得得证（等号成立条件）【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用柯西不等式的简单证明，难度一般，利用基本、柯西不等式证明结论时，注意等号成立条件.
