1、 数学（四） （导数及其应用）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.，则（ ）A B C D 2.若的定义域为，恒成立，则解集为（ ）A B C D 3.设为实数，函数的导数是，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（ ）A B C D 4. 已知为常数，函数有两个极值点，则（ ）A B C D5.已知函数，对于上的任意，有如下条件：；.其中能使恒成立的条件序号是（ ）A B C D6.已知函数，下列结论中错误的是（ ）A B函数的图象是中心对称图形 C若是的极小值点，则在区间单调递减 D若是的极小值点，则 7.正项等比数
2、列中的是函数的极值点，则（ ）A1 B2 C D8. （理）一辆汽车在高速公路上行使，由于遇到紧急情况而刹车，以速度已知集合（的单位：，的单位：）行使至停止，在此期间汽车继续行使的距离（单位：）是（ ）A B C D（文）函数的导数为（ ）A B C D9. 设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A B是的极小值点 C是的极小值点 D是的极小值点 10. 设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）A B C D11.设函数.若存在的极值点满足，则的取值范围是（ ）A B C D12. 已知为自然对数的底数，设函数，则（ ）A当时，在处取得极小值 B当时，在处取得极大值 C当
3、时，在处取得极小值 D当时，在处取得极大值二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. （理）曲线与直线在第一象限内所围成的图形的面积为 .（文）设曲线在点处的切线方程为，则 .14. 若在上是减函数，则的取值范围是 .15. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 .16.（理）设 ，则函数中的系数是 . （文）已知函数是定义在上的奇函数，（），则不等式的解集是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设为曲线：在点处的切线.（1）求的方程；（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方.18. 已知函数和.其中
4、且.（1）若函数与图象的一个公共点恰好在轴上，求的值；（2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，.19.设函数，.（1）求证：函数在上单调递增；（2）设，（，），若直线轴，求两点间的最短距离.20.设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在上的最大值.21.已知函数（）.（1）当时，求证：；（2）在区间上恒成立，求实数的范围.22. （理）已知函数（）.（1）求的单调区间；（2）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（文）已知（），（）.（1）判断函数的单调性，给出你的结论；（2）讨论函数的图象与直线（）公共点的个数.参考答案一、选择题：
5、本大题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案CBADBCACDBCA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（理）；（文）； 14； 15； 16（理）；（文）. 三、解答题：本大题共6个题，共70分17解：（1）设，则. ，的方程为.（2）令，则除切点之外，曲线在直线的下方等价于（，）.满足，且.当时，故单调递减；当时，故单调递增.（，）.除切点之外，曲线在直线的下方.，.当时，即.又，且，综上，.19（1）证明：当时，函数在上单调递增.（2）解：，两点间的距离等于，设（），则（），记（），则，在上单调递增，即两点间的最短距离等于.20解：（1）当
6、时，令得，.函数的单调递增区间为：和，递减区间为.（2），令得，令，则，在上单调递增.，从而，.当时，；当时，；.令，则，令，则，在上单调递减，而存在，使得，且当时，；当时，.在上单调递增，在上单调递减.，在上恒成立，当且仅当时取“”.综上，函数在上的最大值.21解：（1）证明：设，则，令，则，易知在处取得最小值，故，即.（2）由得，即.令，则.令，则，故在上单调递增，所以.因为，所以，即在上单调递增，则，即，所以的取值范围为.22.解：（1）函数的定义域为，即，令，解得或.当时，故的单调递增区间是.当时，随的变化情况如下：所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，随的变化情况如下：所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.（2）当时，的极大值等于.理由如下：当时，无极大值.当时，的极大值为，令，即，解得或（舍）.当时，的极大值为.因为，所以.因为，所以的极大值不可能等于.综上所述，当时，的极大值等于.22.（文）解：（1）求导，由得.当时，；当时，所以在上是增函数，在是减函数.（2）当时，函数的图象与直线公共点的个数等价于曲线与直线公共点的个数.令，则，所以.当时，则上是增函数；当时，则上是减函数；所以在上的最大值为，且，如图， 于是当时，函数的图象与直线有2个公共点；当时，函数的图象与直线有1个公共点；当时，函数的图象与直线有0个公共点.
