1、2015-2016学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（文科）一.选择题.（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题的四个选项中仅有一项符合题目要求）1复数=（）A1+iB1iC1iD1+i2sin210的值为（）ABCD3数列an满足an+1=，a1=，则a3=（）A1B2C1D4已知集合A=x|x|1，B=x|2x1，则AB=（）A（1，0）B（1，1）C（0，）D（0，1）5从区间0，内随机取一个实数x，则sinx的概率为（）ABCD6已知p：函数f（x）=|x+a|在（，1）上是单调函数；q：函数g（x）=loga（x+1）（a0且a1）在（1，+）上是增函数，则p成立是q成立
2、的（）A充分不必要B必要不充分C充要条件D既不充分也不必要7按右图所示的程序框图运算，若输入 x=200，则输出 k 的值是（）A3B4C5D68已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx3与平面区域D有公共点，则k的取值范围是（）A3，3B（，+）C（，33，+）D9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD10若两个非零向量，满足|+|=|=2|，则向量+与的夹角是（）ABCD11已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，顶角为120，则E的离心率为（）AB2CD12若0ab，当a取最小值时，a+b=（）A4B5C6D7二.填空题.（本大题共4
3、小题，每题5分，共20分）13设函数f（x）=x4+ax，若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为1，那么a=_14已知ABC中，A、B、C的对边分别为 a、b、c，且a2=b2+c2+bc，则A=_15设、为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：若，则，若，且=l，则l若直线l与平面内的无数条直线垂直则直线l与平面垂直，若内存在不共线的三点到的距离相等则平面平行于平面上面命题中，真命题的序号为_（写出所有真命题的序号）16已知函数f（x）为偶函数，又在区间0，2上有f（x）=，若F（x）=f（x）a在区间2，2恰好有4个零点，则a的取值范围是_三.解答题.（解答应写出文字说明，证明过
4、程或演算步骤）17为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示组别候车时间人数一0，5）2二5，10）6三10，15）4四15，20）2五20，251（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率18已知=（2cosx，sinx），=（cosx，sinxcosx），设函数f（x）=（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）求f（x）在，上的值域19如图，五面体ABCC1B1中，AB1=4底面ABC 是正三角形
5、，AB=2四边形BCC1B1是矩形，二面角ABCC1为直二面角（）D在AC上运动，当D在何处时，有AB1平面BDC1，并且说明理由；（）当AB1平面BDC1时，求二面角CBC1D余弦值20已知函数f（x）=lnxax2+（a2）x（）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（）求函数y=f（x）在a2，a上的最大值21如图，O为坐标原点，A和B分别是椭圆C1： +=1（ ab0）和C2： +=1（mn0）上的动点，满足=0，且椭圆C2的离心率为当动点A在x轴上的投影恰为C的右焦点F时，有SAOF=（1）求椭圆C的标准方程；（2）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴等长，求|2的取值范围
6、选修4-4：坐标系与参数方程22已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（+）（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值（选修4-5；不等式选讲）23设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca；（2）+12015-2016学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题.（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题的四个选项中仅有一项符合题目要求）1复数=（）A1+iB1iC1iD1+i【考点】复数代数形式的乘除
7、运算【分析】据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，化简复数为a+bi（a、bR）形式【解答】解：复数 =故选C2sin210的值为（）ABCD【考点】运用诱导公式化简求值【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可求出值【解答】解：sin210=sin=sin30=故选B3数列an满足an+1=，a1=，则a3=（）A1B2C1D【考点】数列递推式【分析】利用an+1=，a1=，分别取n=1，2即可得出【解答】解：an+1=，a1=，a2=2，a3=1，故选：C4已知集合A=x|x|1，B=x|2x1，则AB=（）A（1，0）B（1
8、，1）C（0，）D（0，1）【考点】交集及其运算【分析】利用绝对值不等式性质求出集合A，利用指数函数的性质求出集合B，再由交集定义能求出AB【解答】解：集合A=x|x|1=x|1x1，B=x|2x1=x|x0，AB=x|0x1=（0，1）故选：D5从区间0，内随机取一个实数x，则sinx的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】由题意，本题属于几何概型的运用，已知区间的长度为，满足sinx的x0，求出区间长度，由几何概型公式解答【解答】解：在区间0，上，当x0，时，sinx，由几何概型知，符合条件的概率为故选：B6已知p：函数f（x）=|x+a|在（，1）上是单调函数；q：函数g（x）=lo
9、ga（x+1）（a0且a1）在（1，+）上是增函数，则p成立是q成立的（）A充分不必要B必要不充分C充要条件D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】分别求出p，q成立时的a的范围，从而得到p成立时a1是q的充要条件【解答】解：由p成立，则a1，由q成立，则a1，所以p成立时a1是q的充要条件故选C7按右图所示的程序框图运算，若输入 x=200，则输出 k 的值是（）A3B4C5D6【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，k的值，当x=3215，k=4时满足条件x2015，退出循环，输出x的值为3215，k的值为4【解答】解：模拟执行程序框
10、图，可得x=200，k=0x=401，k=1不满足条件x2015，x=803，k=2不满足条件x2015，x=1607，k=3不满足条件x2015，x=3215，k=4满足条件x2015，退出循环，输出x的值为3215，k的值为4，故选：B8已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx3与平面区域D有公共点，则k的取值范围是（）A3，3B（，+）C（，33，+）D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，y=kx3过定点D（0，3），则kAD=，kBD=3，要使直线y=kx3与平面区域M有公共点，由图象可知
11、k3或k3， 故选：C9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，可得其体积【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为故选D10若两个非零向量，满足|+|=|=2|，则向量+与的夹角是（）ABCD【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公式求出两向量的夹角【解答】解：依题意，|+|=|=2|=， =3，cos，=，所以向量与的夹角是，故选C11已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，顶角为
12、120，则E的离心率为（）AB2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】设M在双曲线=1的左支上，由题意可得M的坐标为（2a， a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值【解答】解：设M在双曲线=1的左支上，且MA=AB=2a，MAB=120，则M的坐标为（2a， a），代入双曲线方程可得，=1，可得a=b，c=a，即有e=故选：D12若0ab，当a取最小值时，a+b=（）A4B5C6D7【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义【分析】由题意可得ba0，2ab0，从而化简a=（2ab）+（ba）+，再利用基本不等式化简即可【解答】解：0ab，ba0，2ab0；
13、a=（2ab）+（ba）+2+=+3；（当且仅当2ab=ba=1时，等号同时成立）；解得，a=2，b=3；故a+b=5；故选B二.填空题.（本大题共4小题，每题5分，共20分）13设函数f（x）=x4+ax，若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为1，那么a=3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=3【解答】解：函数f（x）=x4+ax的导数为f（x）=4x3+a，即有在x=1处的切线斜率为4+a=1，解得a=3故答案为：314已知ABC中，A、B、C的对边分别为 a、b、c，且a2=b2+c2+bc，则A=【考点】余弦定理【分析】由a2b
14、c=b2+c2，结合余弦定理：b2+c2a2=2bccosA，求出cosA，即可求得A【解答】解：由a2=b2+c2+bc，得：b2+c2a2=bc，由余弦定理得：b2+c2a2=2bccosA，cosA=，又A为三角形ABC的内角，A=故答案为：15设、为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：若，则，若，且=l，则l若直线l与平面内的无数条直线垂直则直线l与平面垂直，若内存在不共线的三点到的距离相等则平面平行于平面上面命题中，真命题的序号为（写出所有真命题的序号）【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】逐一分析各个选项，利用线面、面面之间的关系，应用有
15、关定理推论，举反例等手段，排除错误选项，得到真命题【解答】解：因为如2个平行平面中有一个和第三个平面垂直，则另一个也和第三个平面垂直，故正确若2个平面都和第三个平面垂直，则他们的交线也和第三个平面垂直，故正确直线l与平面内的无数条直线垂直，也不能保证直线l与平面内的2条相交直线垂直，故不正确内存在不共线的三点到的距离相等，这3个点可能在2个相交平面的交线的两侧，故不正确综上，正确答案为 16已知函数f（x）为偶函数，又在区间0，2上有f（x）=，若F（x）=f（x）a在区间2，2恰好有4个零点，则a的取值范围是（4，5）【考点】函数奇偶性的性质【分析】作出函数y=f（x）在2，2的图象，根据图
16、象，可得a的取值范围【解答】解：作出函数y=f（x）在2，2的图象，根据图象，F（x）=f（x）a在区间2，2恰好有4个零点，则a的取值范围是（4，5）故答案为：（4，5）三.解答题.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示组别候车时间人数一0，5）2二5，10）6三10，15）4四15，20）2五20，251（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率【
17、考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表【分析】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例，用60乘以比例，即得所求（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率【解答】解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60=32人（2）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1，2；“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a
18、2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12其中事件A包含基本事件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种，由古典概型可得P（A）= 18已知=（2cosx，sinx），=（cosx，sinxcosx），设函数f（x）=（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）求f（x）在，上的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象【分析】本题考了平面向量与三角函数的结合运算，由平面向量数量积运算求出函数f（x），将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）图象的对称方程；根据x，求f（x）的最大值和最小值，即可得f（x）的值域【
19、解答】解：（1）已知=（2cosx，sinx），=（cosx，sinxcosx），则函数f（x）=2cos2x+=cos（2x+（1）由：（kZ）解得：x=（kZ）所以：函数f（x）的对称轴方程为：x=（kZ）（2）由（1）得：f（x）=所以：当x时，解得：当时，有=当时，有f（x）的最大值和最小值故x，f（x）的f（x）的值域是19如图，五面体ABCC1B1中，AB1=4底面ABC 是正三角形，AB=2四边形BCC1B1是矩形，二面角ABCC1为直二面角（）D在AC上运动，当D在何处时，有AB1平面BDC1，并且说明理由；（）当AB1平面BDC1时，求二面角CBC1D余弦值【考点】二面角的平
20、面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（I）由题意连接B1C交BC1于O，连接DO由于四边形BCC1B1是矩形且O为B1C中点又D为AC中点，从而DOAB1，在由线线平行，利用线面平行的判定定理即可；（II）由题意建立空间直角坐标系，先求出点B，A，C，D及点C1的坐标，利用先求平面的法向量，在由法向量的夹角与平面的夹角的关系求出二面角的余弦值的大小【解答】解：（）当D为AC中点时，有AB1平面BDC1，证明：连接B1C交BC1于O，连接DO四边形BCC1B1是矩形O为B1C中点又D为AC中点，从而DOAB1，AB1平面BDC1，DO平面BDC1AB1平面BDC1（）建立空间直角坐标系Bxy
21、z如图所示，则B（0，0，0），A（，1，0），C（0，2，0），D（，0），C1（0，2，2），所以=（，0），=（0，2，2）设=（x，y，z）为平面BDC1的法向量，则有，即令Z=1，可得平面BDC1的一个法向量为=（3，1），而平面BCC1的一个法向量为=（1，0，0），所以cos，=，故二面角CBC1D的余弦值为20已知函数f（x）=lnxax2+（a2）x（）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（）求函数y=f（x）在a2，a上的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件【分析】（I）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则
22、f（1）=0，求出a的值，然后验证即可；（II）先求出a的范围，然后利用导数研究函数的单调性，当时，f（x）在a2，a单调递增，则fmax（x）=f（a），当时，f（x）在单调递增，在单调递减，fmax（x）=f（），当，即时，f（x）在a2，a单调递减，则fmax（x）=f（a2），从而求出所求【解答】解：（）f（x）=lnxax2+（a2）x，函数的定义域为（0，+） f（x）在x=1处取得极值，即f（1）=（21）（a+1）=0，a=1 当a=1时，在内f（x）0，在（1，+）内f（x）0，x=1是函数y=f（x）的极小值点a=1 （）a2a，0a1 x（0，+），ax+10，f（x）在
23、上单调递增；在上单调递减，当时，f（x）在a2，a单调递增，fmax（x）=f（a）=lnaa3+a22a； 当，即时，f（x）在单调递增，在单调递减，； 当，即时，f（x）在a2，a单调递减，fmax（x）=f（a2）=2lnaa5+a32a2 综上所述，当时，函数y=f（x）在a2，a上的最大值是lnaa3+a22a；当时，函数y=f（x）在a2，a上的最大值是；当1时，函数y=f（x）在a2，a上的最大值是2lnaa5+a32a221如图，O为坐标原点，A和B分别是椭圆C1： +=1（ ab0）和C2： +=1（mn0）上的动点，满足=0，且椭圆C2的离心率为当动点A在x轴上的投影恰为C
24、的右焦点F时，有SAOF=（1）求椭圆C的标准方程；（2）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴等长，求|2的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意，结合隐含条件可得关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b，c的值，则椭圆C1方程可求；（2）由C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴等长求得椭圆C2方程，当OA所在直线斜率存在且不为0时，写出OA、OB所在直线方程，分别与两椭圆联立，求出|OA|2、|OB|2，得到|AB|2，整理后利用基本不等式求得|2的取值范围，当线段OA的斜率不存在和斜率k=0时，|AB|2=4，由此求得答案【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c
25、，由题意可知，又椭圆C1的离心率=，且a2=b2+c2，联立以上三式可得：，椭圆C1的标准方程为；（2）由C1的长轴与C2的短轴等长，知n=a=，又C1与C2共焦点，可知，椭圆C2的标准方程为当线段OA的斜率存在且不为0时，设OA：y=kx，联立，解得，由=0，得OB：y=，联立，解得，|OB|2=，|AB|2=|OA|2+|OB|2=又（当时取等号），当线段OA的斜率不存在和斜率k=0时，|AB|2=4，综上，选修4-4：坐标系与参数方程22已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（+）（1）求圆心C
26、的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）由圆C的极坐标方程=2cos（+），展开化为2=，把代入配方即可得出；（2）利用勾股定理可得直线l上的点向圆C引切线长=，化简整理利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：（1）由圆C的极坐标方程=2cos（+），化为，展开为2=，化为x2+y2=平方为=1，圆心为（2）由直线l上的点向圆C引切线长=2，由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为2（选修4-5；不等式选讲）23设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca；（2）+1【考点】不等式的证明【分析】（1）a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca，由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证；（2）+b2a， +c2b， +a2c，运用累加法和条件a+b+c=1，即可得证【解答】证明：（1）由a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca，可得a2+b2+c2ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，即有3（ab+bc+ca）1，则ab+bc+ca；（2）+b2a， +c2b， +a2c，故+（a+b+c）2（a+b+c），即有+a+b+c（当且仅当a=b=c取得等号）故+12016年9月28日
