1、2016-2017学年陕西省汉中市南郑中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题只有1个正确答案，请把正确答案涂在答题卷（卡）相应位置1已知x0，函数y=+x的最小值是（）A5B4C8D62ABC中，若a=1，c=2，B=60，则ABC的面积为（）ABC1D3古代中国数学辉煌灿烂，在张丘建算经中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金多少斤？（）ABC2D4不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为R，那么（）Aa0，0Ba0，0Ca0，0
2、Da0，05设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A5B3C7D86在ABC中，a=80，b=100，A=45，则此三角形解的情况是（）A一解B两解C一解或两解D无解7对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A若ab，c0，则acbcB若ab，则ac2bc2C若ac2bc2，则abD若ab，则8在ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）ABCD9设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于（）A6B7C8D910下列说法错误的是（）A如果命题“p”与命题“pq”都是真命题，那么命题q一定是真命
3、题B命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a0，则ab0”C若命题p：x0R，x02+2x030，则p：xR，x2+2x30D“sin=”是“=30”的充分不必要条件11数列an满足an+1=，若a1=，则a2016的值是（）ABCD12给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1（0，1），由关系式an+1=f（an）得到的数列an满足an+1an（nN*），则该函数的图象是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13不等式1的解集是14若在ABC中，A=60，b=1，SABC=，则=15已知数列an的前n项和为Sn满足Sn=an+，则an的通项公式16已
4、知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则ABC面积的最大值为三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知公差不为零的等差数列an的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列（）求通项公式an（）设bn=，求数列bn的前n项和Sn18在ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x22x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1求：（1）角C的度数；（2）边AB的长19已知数列f（x1），f（x2），f（xn），是公差为2的等差数列，且x1=a2其中函数f（x）=logax（a为常数且a0，a1）（）求数列x
5、n的通项公式；（）若an=logaxn，求证+120根据下列算法语句，将输出的A值依次记为a1，a2，an，a2015；已知函数f（x）=a2sin（x+）（0，|）的最小正周期是a1，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称（）求函数y=f（x）表达式；（）已知ABC中三边a，b，c对应角A，B，C，a=4，b=4，A=30，求f（B）21某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用an的信息如图（1）求an；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？22设等比数列a
6、n的前n项和为Sn，已知a1=2，且4S1，3S2，2S3成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设bn=|2n5|an，求数列bn的前n项和Tn2016-2017学年陕西省汉中市南郑中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题只有1个正确答案，请把正确答案涂在答题卷（卡）相应位置1已知x0，函数y=+x的最小值是（）A5B4C8D6【考点】基本不等式【分析】由于 x0，利用基本不等式求得函数的最小值【解答】解：x0，函数2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，故函数的最小值是4，故选：B2ABC中，若a=1，c=2，B=60，则ABC的面积为（）ABC1D【考点】三角形的
7、面积公式【分析】利用三角形面积公式SABC=即可得出【解答】解：SABC=故选B3古代中国数学辉煌灿烂，在张丘建算经中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金多少斤？（）ABC2D【考点】等差数列的通项公式【分析】设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列an构成等差数列，设公差为d，则每
8、一等人比下一等人多得d斤金，由题意得，即，解得d=，a1=该问题中未到三人共得金=a5+a6+a7=3a1+15d=斤故选：D4不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为R，那么（）Aa0，0Ba0，0Ca0，0Da0，0【考点】二次函数的性质【分析】由不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为R，知a0，且=b24ac0【解答】解：不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为R，a0，且=b24ac0，综上，不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为的条件是：a0且0故选A5设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A5B3C7D8【考点】简单线性规划【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y
9、=3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=3x，将l0平移至过点A（3，2）处时，函数z=3x+y有最大值7故选C6在ABC中，a=80，b=100，A=45，则此三角形解的情况是（）A一解B两解C一解或两解D无解【考点】正弦定理【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，发现B的值有两种情况，即得到此三角形有两解【解答】解：由正弦定理得： =，即sinB=，则B=arcsin或arcsin，即此三角形解的情
10、况是两解故选B7对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A若ab，c0，则acbcB若ab，则ac2bc2C若ac2bc2，则abD若ab，则【考点】不等关系与不等式【分析】对于A、当c0时，不成立；对于B、当c=0时，不成立；D、当a0b0时，不成立，从而得出正确选项【解答】解：A、当c0时，不成立；B、当c=0时，不成立C、ac2bc2，c0，c20一定有ab故C成立；D、当a0b0时，不成立；故选C8在ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）ABCD【考点】余弦定理【分析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设a=2k
11、，b=3k，c=4k（k0），由余弦定理可求得答案【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k0）由余弦定理可得， =故选：D9设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于（）A6B7C8D9【考点】等差数列的前n项和【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2（11）+8d=6，解得d=2，所以，所以当n=6时，Sn取最小值故选A10下列说法错误的是（）A如果命题“p”与命题“pq”都是
12、真命题，那么命题q一定是真命题B命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a0，则ab0”C若命题p：x0R，x02+2x030，则p：xR，x2+2x30D“sin=”是“=30”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】由复合命题的真假和真值表，可判断A；由否命题的形式，既对条件否定，又对结论否定，可判断B；由含有一个量词的命题的否定形式，可判断C；根据充分必要的定义，结合诱导公式，即可判断D【解答】解：A如果命题“p”与命题“pq”都是真命题，则p为假命题，q一定是真命题，故A正确；B命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a0，则ab0”，故B正确；C若命题p：x0R，
13、x02+2x030，则p：xR，x2+2x30，故C正确；D=30可推出sin=，但sin=推不出=30，因为sin150=，故“sin=”是“=30”的必要不充分条件，故D错故选D11数列an满足an+1=，若a1=，则a2016的值是（）ABCD【考点】数列的概念及简单表示法【分析】由数列an满足an+1=，a1=，可得an+3=an【解答】解：数列an满足an+1=，a1=，a2=2a11=，a3=2a21=，a4=2a3=，an+3=an则a2016=a6713+3=a3=故选：C12给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1（0，1），由关系式an+1=f（an）得到的数列
14、an满足an+1an（nN*），则该函数的图象是（）ABCD【考点】数列的函数特性；函数的图象；数列递推式【分析】由关系式an+1=f（an）得到的数列an满足an+1an（nN*），根据点与直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方逐一分析不难得到正确的答案【解答】解：由an+1=f（an）an知f（x）的图象在y=x上方故选A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13不等式1的解集是x|2x【考点】其他不等式的解法【分析】把不等式右边的“1”移项到不等式左边，通分后根据分母不变只把分子相减计算后，在不等式两边同时除以1，不等号方向改变，然后根据两数相除，异号得
15、负，根据商为负数得到x+2与3x+1异号，可化为两个不等式组，分别求出两不等式组的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集【解答】解：不等式，移项得：0，即0，可化为：或，解得：2x或无解，则原不等式的解集是x|2x故答案为：x|2x14若在ABC中，A=60，b=1，SABC=，则=【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用【分析】又A的度数求出sinA和cosA的值，根据sinA的值，三角形的面积及b的值，利用三角形面积公式求出c的值，再由cosA，b及c的值，利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值【解答】解：由A=60，得到sinA=，cosA=，
16、又b=1，SABC=，bcsinA=1c=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=1+164=13，解得a=，根据正弦定理=，则=故答案为：15已知数列an的前n项和为Sn满足Sn=an+，则an的通项公式【考点】数列递推式【分析】由数列递推式求出数列首项，进一步得到数列an是以1为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式得答案【解答】解：由Sn=an+，得，解得a1=1；当n2时，由Sn=an+，得Sn1=an1+，两式作差可得，即an=2an1 （n2），数列an是以1为首项，以2为公比的等比数列，则故答案为：16已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，
17、C的对边，a=2且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则ABC面积的最大值为【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由正弦定理化简已知可得2ab2=c2bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc4，再利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：因为：（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC（2+b）（ab）=（cb）c2ab2=c2bc，又因为：a=2，所以：，ABC面积，而b2+c2a2=bcb2+c2bc=a2b2+c2bc=4bc4所以：，即ABC面积的最大值为故答案为：三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知公差不为零的等差数列an的前4项和为
18、10，且a2，a3，a7成等比数列（）求通项公式an（）设bn=，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（I）由题意可得，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由bn=23n5=，结合等比数列的求和公式即可求解【解答】解：（I）由题意可得，d0an=3n5（II）bn=23n5=数列bn是以为首项，以8为公比的等比数列=18在ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x22x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1求：（1）角C的度数；（2）边AB的长【考点】余弦定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】（1）根据三角形内角和可知cosC=cos（A+
19、B）进而根据题设条件求得cosC，则C可求（2）根据韦达定理可知a+b和ab的值，进而利用余弦定理求得AB【解答】解：（1）C=120（2）由题设：AB2=AC2+BC22ACBCcosC=a2+b22abcos120=19已知数列f（x1），f（x2），f（xn），是公差为2的等差数列，且x1=a2其中函数f（x）=logax（a为常数且a0，a1）（）求数列xn的通项公式；（）若an=logaxn，求证+1【考点】数列与函数的综合【分析】（）由已知可得f（x1）=2，利用等差数列的通项公式与对数的运算性质即可得出（）由（）可得：an=2n，可得=再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明
20、【解答】（）解：f（x1）=2，公差d=2f（xn）=2+2（n1）=2n，logaxn=2n，解得xn=a2n（）证明：由（）可得：an=logaxn=2n，=+=+=1120根据下列算法语句，将输出的A值依次记为a1，a2，an，a2015；已知函数f（x）=a2sin（x+）（0，|）的最小正周期是a1，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称（）求函数y=f（x）表达式；（）已知ABC中三边a，b，c对应角A，B，C，a=4，b=4，A=30，求f（B）【考点】伪代码；正弦定理【分析】（）由已知算法语句可知所求为2015个奇数的和；根据a1=1，a2=4，得到函数的周期，由对称轴x=，
21、结合|得到，从而求出三角函数解析式；（）由正弦定理计算B，即可求f（B）【解答】解：（）由已知，当n2时，an=1+3+5+（2n1）=n2而a1=1也符合an=n2，知a1=1，a2=4，所以函数y=f（x）的最小正周期为1，所以=2，则f（x）=4sin（2x+），又函数y=f（x）的图象关于直线x=对称所以+=k+（kZ），因为|，所以=，则f（x）=4sin（2x+）（）由正弦定理计算，sinB=，B为或，可得f（B）=4sin（+）或4sin（+） 21某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用an的信息如图（
22、1）求an；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？【考点】数列的求和；基本不等式；数列的函数特性【分析】（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：an=a1+2（n1）=2n（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=20nn225，由此能求出引进这种设备后第2年该公司开始获利（3）年平均收入为=20（n+）2025=10，由此能求出这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大【解答】解：（1）如图，a1=2，a2=4，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，an=a1+2（n1）=2n（2）设纯收入与年
23、数n的关系为f（n），则f（n）=21n2n+225=20nn225，由f（n）0得n220n+250，解得105n10+5，因为nN，所以n=2，3，4，18即从第2年该公司开始获利（3）年平均收入为=20（n+）2025=10，当且仅当n=5时，年平均收益最大所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大22设等比数列an的前n项和为Sn，已知a1=2，且4S1，3S2，2S3成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设bn=|2n5|an，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）根据4S1，3S2，2S3成等差数列根据等差中项6S2=4S1+2S3，化简整理求得q=2，写出通项公式；（）讨论当n=1、2时，求得T1=6，T2=10，写出前n项和，采用错位相减法求得Tn【解答】解：（）4S1，3S2，2S3成等差数列，6S2=4S1+2S3，即6（a1+a2）=4a1+2（a1+a2+a3），则：a3=2a2，q=2，；（）当n=1，2时，T1=6，T2=10，当n3，Tn=10+123+324+（2n5）2n，2Tn=20+124+325+（2n7）2n+（2n5）2n+1，两式相减得：Tn=10+8+2（24+25+2n）（2n5）2n+1，=2+2（2n5）2n+1，=34+（72n）2n+1，Tn=34（72n）2n+12016年12月19日
