1、第二讲 参数方程四、渐开线与摆线A级基础巩固一、选择题1关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A只有圆才有渐开线B渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C正方形也可以有渐开线D对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同答案：C2.(为参数)表示的是
2、()A半径为5的圆的渐开线的参数方程B半径为5的圆的摆线的参数方程C直径为5的圆的渐开线的参数方程D直径为5的圆的摆线的参数方程解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.答案：B来源:学科网3下列各点中，在圆的摆线(为参数)上的是()A(，0)B(，1)C(2，2) D(2，0)解析：当时，xsin ，y1cos 112，当2时，x2sin 22，y1cos 2110，故选D.来源:学科网答案：D4圆(为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()AB3C6D10解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为(为参数)，把y0代入，得cos 1，所以2k(kZ)，故x33sin 6k(kZ)答
3、案：C5已知一个圆的参数方程为(为参数)，那么圆的摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为()来源:学科网A.1 B. C. D. 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(为参数)，把代入参数方程中可得即A，所以|AB| .答案：C二、填空题6已知一个圆的摆线的参数方程是(为参数)，则该摆线一个拱的高度是_解析：由圆的摆线的参数方程(为参数)知圆的半径r3，所以摆线一个拱的高度是326.答案：67渐开线(为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为_解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2y236，把横
4、坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程y236，即1，对应的焦点坐标为(6，0)和(6，0)，它们之间的距离为12.答案：128我们知道关于直线yx对称的两个函数互为反函数，则摆线(为参数)关于直线yx对称的曲线的参数方程为_解析：关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于直线yx的对称曲线的参数方程，只需把其中的x与y互换答案：(为参数)三、解答题来源:学科网9已知一个圆的摆线方程是(为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程来源:Zxxk.Com解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16，该圆对应的渐开线参数方程是(
5、为参数)10已知圆的渐开线的参数方程为(是参数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4，对应圆的摆线方程为(是参数)B级能力提升1.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫作“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是()A3B4C5 D6解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2.所以曲线AEFGH的长是5.答案：C2摆线(t为参数，0t2)与直线y4的交点的直角坐标为_解析：由题设得44(1cos t)得cos t0.因为t0，2)，所以t1，t2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(24，4)，(64，4)答案：(24，4)，(64，4)3已知圆C的参数方程(为参数)和直线l的普通方程xy60.(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线满足什么关系？(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程解：(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线xy60的距离d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是(为参数)