1、第 2 课时直线的方向向量和法向量课标解读课标要求素养要求1.理解直线的方向向量、法向量的概念.2.会求直线的方向向量和法向量.3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用.直观想象能利用直线的方向向量、法向量确定直线.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一直线的方向向量1.直线方向向量的定义一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线 平行或重合，则称向量为直线 l 的一个方向向量，记作 .2.直线方向向量的性质（1）如果为直线 l 的一个 方向向量，那么对于任意的实数 0，向量都是的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量一定 共线.（2）如果(1,1),(2,2
2、)是直线上两个不同的点，则=(2 1,2 1)）是直线的一个 方向向量3.直线的方向向量与倾斜角，斜率的关系一般地，如果已知=(,)为直线的一个方向向量，则:（1）当=0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为 90（2）当 0时，直线的斜率是存在的，而且此时(1,)与=(,)都是直线的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1 =，从而=，因此可知倾斜角满足 tan=要点二直线的法向量1.直线法向量的定义一般地，如果表示非零向量 v 的有向线段所在直线与直线 垂直，则称向量为直线的一个法向量，记作 .直线法向量的性质（1）一条直线的 方向向量与法向量互相垂直.（2）当0与0不全为 0 时，因
3、为向量(,)与(,)是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线的一个方向向量，则另一个一定是直线的一个 法向量.自主思考1.若直线的斜率为，则直线的一个方向向量可以是(1,)吗?答案：提示可以.2.直线的一个方向向量=(2 1,2 1)与其斜率有什么关系?答案：提示当1 2，时，的纵坐标与横坐标的比2121就是直线的斜率;当1=2时，直线的斜率不存在.3.若为直线的一个法向量，则入（0）也是直线的一个法向量吗?答案：提示是.4.向量(0,0)与(0,0)为何是相互垂直的?答案：提示因为二者的数量积为(0,0)(0,0)=00 00=0，所以向量（(0,0)与(0,0)是相互垂直的.名师点睛1.任何
4、直线都有方向向量和法向量.倾斜角为90的直线的斜率不存在，但其方向向量一定存在;倾斜角为0的直线的斜率为 0，但其法向量所在的直线的斜率不存在.2.如果直线的倾斜角为，斜率为，如图所示，那么直线的一个方向向量为=(cos,sin).互动探究关键能力探究点一直线的方向向量及应用精讲精练例（1）直线过点(1,3)，(4,3 3)，求直线的一个方向向量、斜率和倾斜角（2）已知平面内三点(1,5)，(2,1)，(4,5)，证明：,三点共线答案：（1）解法一：由已知得=(4,3 3)(1,3)=(3,3)为直线的一个方向向量，=33，tan=33，=30故该直线的一个方向向量为(3,3)，斜率为33，倾
5、斜角为30.解法二：=(33)(3)41=33，tan=33,=30.直线的一个方向向量为(1,)=(1,33).故该直线的一个方向向量为(1,33)，斜率为33，倾斜角为30.（2）证明：=(2,1)(1,5)=(3,6),=(4,5)(1,5)=(5,10)=53 .，又与有公共点，,三点共线解题感悟直线的方向向量的求法（1）在直线上任找两点,，则()为直线的一个方向向量（2）已知直线的斜率为，则=(1,)为直线的一个方向向量（3）=(,0)(0)表示与轴平行或重合的直线的方向向量，=(0,)(0)表示与轴平行或重合的直线的方向向量.迁移应用1.经过(0,2),(1,0)两点的直线的一个方
6、向向量为(1,)，则的值是()A.1B.-1C.2D.-2答案：解析：由已知得=2001=2.2.若直线的一个方向向量是(3,6)，则其斜率为()A.36 B.36 C.23 D.23答案：解析：若直线的一个方向向量是(3,6)，则直线的斜率为63=23探究点二直线的法向量及应用精讲精练例已知菱形中,点(1,2),(2,1),直线的一个方向向量为=(3,6),直线的一个法向量为=(2,3),求点的坐标答案：设点的坐标为(0,0),则=(0 2,0 1)由题意得,则(0 2)6 3(0 1)=0,即20 0 3=0.又=(0+1,0+2),四边形为菱形,为直线的一个法向量,/，2(0+2)+3(
7、0+1)=0,即30 20 1=0.由解得0=50=7 点的坐标为(5,7)变式在本例中,若直线的法向量的大小为 18,求此法向量.答案：因为(1,2),(2,1),所以直线的一个方向向量为=(3,3),所以该直线的法向量可设为=(3,3),由题意可得92+92=18,解得=1,所以直线的法向量为(-3,3)或(3,-3).解题感悟直线的法向量的求法若直线的方向向量为=(0,0),则直线的法向量=(0,0),即要求直线的法向量,只需求出直线的方向向量即可迁移应用1.已知直线的倾斜角为120,它的一个法向量为=(,+1),则的值为()A.1-3B.3+1C.3+32D.-3+32答案：D 解析：
8、由题意得,=tan 120=3,直线的一个方向向量为=(1,3),又=(,+1),3(+1)=0解得=3+32.2.若直线的一个法向量为=(1,1),则该直线的倾斜角为.答案：4解析：解析设直线的倾斜角为,因为直线 l 的一个法向量为=(1,1),所以该直线的一个方向向量为=(1,1),则tan=1,又因为 0,),所以=4.评价检测素养提升课堂检测1.过点(2,3),(0,2)的直线的一个法向量为()A.(5,2)B.(2,5)C.(5,2)D.(5,2)答案：2.直线的一个方向向量为=(3,3),则该直线的倾斜角为()A.45 B.60 C.120 D.150答案：3.直线的一个法向量为=
9、(3,3),则直线的倾斜角为答案：3素养演练数学运算直线的方向向量与斜率1.已知向量=(,2+1)(0),直线的一个方向向量为,若与共线,则直线的斜率的取值范围是答案：(,2 2,+)解析：与共线,=(,2+1)(0)为直线的一个方向向量,=2+1=+1.当0时,+1 2,当且仅当=1时取等号,所以+1 2,+)当0时,+1=()+1 2,当且仅当=1时取等号,所以+1(,2故直线 AB 的斜率的取值范围是(,2 2,+)素养探究：本题考查直线的方向向量与直线的斜率的关系,解答本题的关键是由直线的方向向量求出直线的斜率的表达式,然后利用基本不等式求其取值范围,在此过程中体现了数学运算的核心素养.
