1、2.2 直线及其方程2.2.1 直线的倾斜角与斜率第1课时直线的倾斜角与斜率课标解读课标要求素养要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.1.数学抽象能理解直线的倾斜角与斜率的概念.2.数学运算会用过两点的直线的斜率公式，并能用斜率解决有关问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一直线的倾斜角1.倾斜角的定义般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴 相交，将x轴绕着它们的交点按 逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为，则称为这条直线的倾斜角;如
2、果这条直线与x轴平行或 重合，则规定这条直线的倾斜角为0 .2倾斜角的取值范围倾斜角的取值范围是0,) .要点二直线的斜率1.斜率的定义一般地，如果直线l的倾斜角为，则当90时，称k=tan为直线l的斜率;当=90时，称直线l的斜率 不存在 .斜率的计算公式若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点，则当时x1=x2，直线l的斜率为k=y2-y1x2-x1，当x1=x2时，直线l的斜率 不存在 .自主思考1.为什么定义中要规定“最小正角”?答案：提示因为x轴在旋转的过程中可以得到无数多个角，只有规定了最小的正角，倾斜角才是唯一确定的，更有利于我们利用倾斜角来研究直线.2.斜率公
3、式中的k与A,B两点在该直线上的位置有关吗?答案：提示斜率公式中的k与A,B两点在该直线上的位置无关，即在直线1上任取不同的两点，斜率均不变.3.斜率公式中两个纵坐标和横坐标的次序可以调换吗?答案：提示斜率公式中两个纵坐标和横坐标的次序可以同时调换，也就是说，如果分子是y2-y1，那么分母必须是x2-x1 ;如果分子是y1-y2，那么分母必须是x1-x2，即k=y2-y1x2-x1=y1-y2x1-x2 . 名师点睛1.对倾斜角的理解（1）清楚定义中含有的三个条件：直线与x轴相交;绕直线与x轴的交点按逆时针方向旋转;与直线重合时所转的最小正角（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线
4、对x轴正方向的倾斜程度（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等2.倾斜角与斜率的关系（1）当倾斜角是90时，直线的斜率不存在，并不是直线不存在，此时，直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)（2）所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率（3）直线的斜率也反映直线相对于x轴的正方向的倾斜程度由k=tan的图像可知：当0,2)时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大;当(2,)时，斜率越大，倾斜角也越大互动探究关键能力探究点一直线的倾斜角精讲精练例（1）直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(090
5、)，则其倾斜角为( )A. B.180-C.180-或90- D.90+或90-（2）已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.090 B.90180C.90180 D.0180答案：（1）D（2）C解析：（1）如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90+ ;当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90- .故选D.（2）直线倾斜角的取值范围是0,180)，因为直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的取值范围是90180 .解题感悟（1）解答本类题要根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答.（2）求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图
6、形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.迁移应用1.（2021山东聊城高二期末）已知直线l的倾斜角为-25，则角的取值范围为( )A.25155 B.-25155C.0180 D.25205答案：D解析：因为直线l的倾斜角为-25,所以0-25180,所以25205 .2.如图所示，直线l1的倾斜角是150,l2l1,垂足为B,l1,l2与x轴分别交于点C,A,l3平分BAC,则l3的倾斜角为答案：30解析：因为直线l1的倾斜角为150,所以BCA=30,所以l3的倾斜角为12(90-30)=30探究点二直线的斜率精讲精练例已知A（3,3）,B（-4,2）,C（0,-2） .（1）求直线AB和
7、AC的斜率;（2）若点D在线段BC上（包括端点）移动，求直线AD的斜率的取值范围答案：（1）由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=2-3-4-3=17，直线AC的斜率kAC=-2-30-3=53（2）如图，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，直线AD的斜率的取值范围是17,53变式把本例中点A的坐标换为（-2,-4），其余条件不变，求直线AD的斜率的取值范围.答案：易知kAB=-4-2-2+4=-3,kAC=-4+2-2-0=1，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB减小，当直线AD与x轴垂直时，直线AD的斜率不存在，然后继续减小到kAC，所以直线AD的斜率的取值范围是(
8、-,-31,+) .解题感悟（1）由两点坐标求斜率运用两点的斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1x2)求解.（2）涉及直线与线段有交点的问题，通常数形结合利用公式求解.迁移应用 1.（2021北京西城高二期末）已知点A(m,-2)，B（3，0），若直线AB的斜率为12，则m=答案： -1解析：根据斜率公式得kAB=0+23-m=12，解得m=-1 .探究点三直线的倾斜角与斜率的综合应用精讲精练例（1）已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.045B.0180C.045或90180D.045或135180（2）若A(2,1),B(-2,m)
9、,C(6,8)三点在同一条直线上，则m的值为 .答案：（1）C（2）-6解析：（1）kAB=m2-11-2=-m2+11，易知当tan(-,1时，045或90180,故选C.（2）kAB=m-1-2-2=1-m4,kAC=8-16-2=74,A,B,C三点共线，kAB=kAC,即1-m4=74,m=-6 .解题感悟用斜率公式解决三点共线的方法迁移应用1.（2021四川棠湖中学高二月考）在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(12,a),C(-1,2)三点共线，则a的值为( )A.-2B.-12C.12 D.2答案：C解析：A（1，0），B(12,a)，C(-1,2)三点共线，kAB=kAC,
10、即a-012-1=2-0-1-1,解得a=12,故选C.2.（2021河北尚义第一中学高二期中）设直线l的斜率为k，且-1k3，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.0,3)(34,) B.0,6)(34,)C.(6,34) D.0,3)34,)答案：D解析：易知0,)，因为-1k3，所以-1tan3，结合正切函数的性质，可得0,3)34,)评价检测素养提升课堂检测1.下面选项中，由两点确定的直线的斜率不存在的是( )A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0)C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5)答案：D2.若过A(2,3),B(y,4)两点的直线的倾斜角
11、为45，则y的值为( )A.-32 B.32 C.-3D.3答案：D3.若直线l经过点（1，2）和点（0，1），则它的倾斜角是( )A.45 B.135C.135或225 D.0答案：A4.若A(-2,3)、B(-3,2)、C(12,m)三点共线，则m的值为答案：112素养演练直观想象利用数形结合的方法求分式的最值1.已知实数x,y满足y=-2x+8，且2x3，求yx的最大值和最小值.答案：由题意得点(x,y)满足关系式2x+y=8,且2x3可表示为点P(x,y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别为(2,4),(3,2)，如图所示，由于yx的几何意义是直线OP的斜率，且kOA=2,kOB=23，所以yx的最大值为2，最小值为23 .素养探究：由斜率公式k=y2-y1x2-x1，可知y-bx-a的几何意义是过P(x,y)与P(a,b)两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来解决此类最值问题，在此过程中体现了直观想象的核心素养.
