1、课时提升作业(二十四)用二分法求方程的近似解(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.如图,函数的图象与x轴均有交点,其中不宜用二分法求交点的横坐标的是()A.B.C.D.【解析】选D.图中零点左侧与右侧的函数值符号相同,不宜用二分法求零点,当然也不宜用二分法求交点的横坐标.2.(2014松原高一检测)用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选C.因为f(-1)=2-1-3=-0,f(0)=20-3=-20,f(1)=2-3=-10,f(3)=23-3=50,所以f(1)f(2)0,所以f(x)
2、=2x-3的零点x0(1,2).【变式训练】用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取初始区间是()A.-2,-1B.-1,0C.0,1D.1,2【解析】选A.因为f(-2)=(-2)3+5=-30,f(0)=03+5=50,f(1)=13+5=60,f(2)=23+5=130,所以f(-2)f(-1)0,所以初始区间可选为-2,-1.3.在用二分法求函数f(x)的零点近似值时,第一次所取的区间是-2,4,则第三次所取的区间可能是()A.1,4B.-2,1C.-2,D.-,1【解析】选D.因为第一次所取的区间是-2,4,所以第二次所取的区间可能是-2,1,1,4,所以第三次所取的区间可能是-
3、2,-,-,1,1,4.故选D.4.在用二分法求函数f(x)在区间(a,b)上的唯一零点x0的过程中,取区间(a,b)的中点c=,若f(c)=0,则函数f(x)在区间(a,b)上的唯一零点x0()A.在区间(a,c)内B.在区间(c,b)内C.在区间(a,c)或(c,b)内D.等于【解析】选D.根据二分法求方程近似解的方法和步骤,函数f(x)在区间(a,b)上的唯一零点等于,即x0=.5.(2014桂林高一检测)下列函数中,不适合用二分法求零点的是()A.f(x)=2x+3B.f(x)=lnx+2x-9C.f(x)=x4-2x3+x2D.f(x)=2x-3【解析】选C.因为f(x)=x4-2x
4、3+x2=x2(x-1)2,所以函数f(x)的图象与x轴有两个公共点(0,0)和(1,0),除此两点外,其图象完全在x轴上方,所以函数f(x)=x4-2x3+x2不适合用二分法求零点,A,B,D均适合用二分法求零点.6.函数y=与函数y=lgx的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是()A.1.7125B.1.8025C.1.8125D.1.8775【解析】选C.设f(x)=lgx-,经计算f(1)=-0,所以方程lgx-=0在1,2内有解,设为x=x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)-0.1775,因为f(1.5)f(2)0,所以x0(1.5,2).取区间(1.
5、5,2)的中点x2=1.75,用计算器算得f(1.75)-0.0543,因为f(1.75)f(2)0,所以x0(1.75,2).取区间(1.75,2)的中点x3=1.875,用计算器算得f(1.875)0.0004,因为f(1.75)f(1.875)0,所以x0(1.75,1.875).取区间(1.75,1.875)的中点x4=1.8125,用计算器算得f(1.8125)-0.0264,因为f(1.8125)f(1.875)0,所以x0(1.8125,1.875).由于|1.875-1.8125|=0.06250.1,所以函数f(x)=lgx-的零点即y=与y=lgx图象交点的横坐标的近似值可
6、取1.8125.二、填空题(每小题4分,共12分)7.在用二分法求方程f(x)=0在0,1上的近似解时,经计算,f(0.625)0,f(0.6875)0,即可得出方程的一个近似解为(精确度为0.1).【解析】因为|0.75-0.6875|=0.06250.1,所以原方程的近似解可取为0.75.答案:0.75(答案不唯一)8.(2014南京高一检测)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为.【解析】设f(x)=x3-2x-1,其零点为x0,则f(1)=13-21-1=-20.取区间(1,2)的中点x1=1.5,计算f(
7、1.5)=1.53-21.5-1=-0.6250,因为f(1.5)f(2)0,所以x0(1.5,2).答案:(1.5,2)(说明:写成闭区间也算对)【变式训练】用二分法求方程lnx=在1,2上的近似解,取中点c=1.5,则下一个有根区间为.【解析】令f(x)=lnx-.f(1)=-1ln1=0,f(1.5)=ln1.5-=(ln1.53-2)因为1.53=3.375,e241.53,故f(1.5)=(ln1.53-2)(lne2-2)=0,f(1.5)f(2)0,所以下一个有根区间是(1.5,2).答案:(1.5,2)9.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值的参考数据
8、如下表:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)-0.984f(1.375)-0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似的正数根(精确度0.1)为.【解析】由于精确度是0.1,而|1.4375-1.375|=0.06250.1,故可得方程x3+x2-2x-2=b的一个近似的正数根为1.4375.答案:1.4375(答案不唯一)【拓展延伸】用二分法求函数零点应注意的两个问题(1)求函数的近似零点时,所要求的精确度不同,得到的结果也不相同.(2)求函数零点的近似值时,由于所选取的起始区间不同,最后得到的结果可以不
9、同,但它们都是符合所给定的精确度的.三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014天津高一检测)借助计算机或计算器,用二分法求方程log2(x+4)=2x的一个正根的近似值.(精确度0.1)【解析】令f(x)=log2(x+4)-2x,其零点为x0,借助计算机作出函数f(x)的图象如图所示.取正区间1,2,f(1)0.322,f(2)-1.415.取区间1,2的中点x1=1.5,计算f(1.5)-0.369,所以f(1)f(1.5)0,所以x0(1,1.5).再取区间(1,1.5)的中点x2=1.25,计算f(1.25)0.014,所以x0(1.25,1.5).同理可得x0(1.25,1
10、.375),x0(1.25,1.3125),因为|1.3125-1.25|=0.06250.1,故可取1.3125作为此函数的一个零点,所以方程log2(x+4)=2x精确度为0.1的正根的近似值为1.3125.11.(2014石家庄高一检测)判断函数y=x3-x-1在区间1,1.5内有无零点,如果有,求出一个近似零点.(精确度0.1)【解题指南】由题目可获取以下主要信息:判断函数在区间1,1.5内有无零点,可用根的存在性定理判断;精确度0.1.解答本题在判断出在1,1.5内有零点后可用二分法求解.【解析】因为f(1)=-10,且函数y=x3-x-1的图象是连续的曲线,所以它在区间1,1.5内
11、有零点,用二分法逐次计算,列表如下:区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.25-0.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 5-0.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08由于|1.375-1.3125|=0.06250.1,所以函数的一个近似零点为1.3125.【变式训练】求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个正数零点.(精确度0.1)【解析】由于f(1)=-60,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:区间中点值中点函数近似值(1,2)1.5-2.625(1.5,2)1.750.234 4(1.5,1
12、.75)1.625-1.302 7(1.625,1.75)1.687 5-0.561 8(1.687 5,1.75)1.718 75-0.170 7由于|1.75-1.6875|=0.06250.1,所以可将1.6875作为函数零点的近似值.所以函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个正数零点为1.6875.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.下列的函数中,有零点但不宜用二分法求零点近似值的是()y=3x2-2x-5;y=y=+1;y=x2-2x+3;y=x2+4x+8.A.B.C.D.【解析】选D.要用二分法求零点的近似值必须满足以下两点:(1)函数在区间(a,b)上连
13、续无间断点;(2)函数图象必须在零点穿过x轴,即该零点不能是二重零点.有二重零点,故符合题意.2.(2014宁德高一检测)设函数f(x)=4x3+x-8,用二分法求方程4x3+x-8=0的近似解,则方程的解落在下列哪个区间上()A.(1,1.5)B.(1.5,2)C.(2,2.5)D.(2.5,3)【解析】选A.因为f(x)=4x3+x-8的图象在1,3上连续不断,且f(1)f(3)0,所以f(1)f(2)0,所以f(1)f(1.5)0,故x0(1,1.5).3.若函数f(x)在a,b上图象连续不断,且同时满足f(a)f(b)0,则()A.f(x)在上有零点B.f(x)在上有零点C.f(x)在
14、上无零点D.f(x)在上无零点【解析】选B.因为f(a)f(b)0,所以f(b)f0,又f(x)在上图象连续不断,所以f(x)在上有零点.4.(2014南阳高一检测)已知f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内有唯一零点x0,用二分法求得一系列含零点x0的区间,这些区间满足:(a,b) (a1,b1)(a2,b2)(ak,bk),若f(a)0,则f(bk)的符号为()A.正B.负C.非负D.正、负、零均有可能【解题指南】所有区间左端点函数值f(a1),f(a2),f(ak)与f(a)同号,右端点函数值f(b1),f(b2),f(bk)与f(b)同号.【解析】选A.由二分法求函数
15、零点近似值的方法可知f(ak)与f(a)同号,f(bk)与f(b)同号,故f(bk)0.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014武汉高一检测)用二分法求方程lnx-2+x=0在区间1,2上零点的近似值,先取区间中点c=,则下一个含根的区间是.【解析】设f(x)=lnx-2+x,其零点为x0,则f(1)=ln1-2+1=-10,所以f(1)f(2)0,x0(1,2).取区间(1,2)的中点x1=,计算f=ln-2+=ln-,因为e,所以,所以lnln=,所以f=ln-0,所以ff(2)e2,所以lnln2,ln-ln20,即+ln0,f(1)=ln1+2-1=10,结合图象知内有一个原方
16、程的解.f(2)=ln2+2-2=ln20,f(3)=ln3+2-3=ln3-10,f(4)=ln4+2-4=ln4-20,结合图象知(3,4)内有一个原方程的解.综上可知,方程lnx+2-x=0在区间和(3,4)上有解.6.(2014福州高一检测)已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点.(精确度为0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数一般为次.【解析】区间长度为0.1,等分1次区间长度变为0.05,等分2次,区间长度变为0.025,等分3次,区间长度变为0.0125,等分4次,区间长度变为0.006250.01,符合条件
17、.答案:4三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知函数f(x)=lnx+2x-6.(1)证明:f(x)有且仅有一个零点.(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.【解析】(1)因为函数y=lnx,y=2x-6在(0,+)上都是增函数,所以f(x)=lnx+2x-6在(0,+)上是增函数,所以f(x)至多有一个零点,由f(2)=ln2-20,所以f(2)f(3)0,所以f(x)在(2,3)内至少有一个零点,所以f(x)有且仅有一个零点.(2)因为f(2)0,取x1=,f=ln+5-6=ln-10,所以f(3)f0,所以ff0,f(2)=1.32-log1.32-0.950,且f(x)在(1,2)上是连续函数,所以方程1.3x=log1.3x在(1,2)上有实数解,设为x=x0.取区间中点x1=1.5,f(1.5)-0.060,所以f(1)f(1.5)0,所以f(1.25)f(1.5)0,所以x0(1.25,1.5).同理可得x0(1.375,1.5),x0(1.4375,1.5),x0(1.46875,1.5).因为|1.5-1.46875|0.030.1,可取x0=1.5作为函数f(x)的零点的近似解,1.31.51.5,故两个函数的交点是(1.5,1.5).