1、32.2对数函数(二)学习目标1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式知识点一ylogaf(x)型函数的单调区间思考我们知道y2f(x)的单调性与yf(x)的单调性相同，那么ylog2f(x)的单调区间与yf(x)的单调区间相同吗？答案ylog2f(x)与yf(x)的单调区间不一定相同，因为ylog2f(x)的定义域与yf(x)的定义域不一定相同梳理形如函数f(x)logag(x)的单调区间的求法(1)先求g(x)0的解集(也就是函数的定义域)(2)当底数a大于1时，g(x)0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)
2、的单调增区间，g(x)0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间(3)当底数a大于0且小于1时，g(x)0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反知识点二对数不等式的解法思考log2xlog23等价于x3吗？答案不等价log2xlog23成立的前提是log2x有意义，即x0，log2xlog230x3.梳理对数不等式的常见类型当a1时，logaf(x)logag(x)当0a1时，logaf(x)logag(x)知识点三不同底的对数函数图象的相对位置思考ylog2x与ylog3x同为(0，)上的单调增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？答案可以通
3、过描点定位，也可令y1，对应x值即底数梳理一般地，对于底数a1的对数函数，在(1，)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0a1的对数函数，在(1，)区间内，底数越小越靠近x轴类型一对数型复合函数的单调性命题角度1求单调区间例1求函数y(x22x1)的值域和单调区间解设tx22x1，则t(x1)22.yt为单调减函数，且00，由二次函数的图象知1x0，由二次函数的图象知0x2.当0x2时，yx22x(x22x)(0,1，(x22x)10.函数y(x22x)的值域为0，)(2)设ux22x(0x2)，vu，函数ux22x在(0,1)上是单调增函数，在(1,2)上是单调减函数，vu是单调减函数，由复
4、合函数的单调性得到函数f(x)(x22x)在(0,1)上是单调减函数，在(1,2)上是单调增函数命题角度2已知复合函数单调性求参数范围例2已知函数y(x2axa)在区间(，)上是增函数，求实数a的取值范围解令g(x)x2axa，g(x)在上是单调减函数，00在x(，)上恒成立，即2a2(1)，故所求a的取值范围是2，2(1)反思与感悟若a1，则ylogaf(x)的单调性与yf(x)的单调性相同，若0a0，所以u6ax是单调减函数，那么函数ylogau就是单调增函数，所以a1，因为0,2为定义域的子集，所以当x2时，u6ax取得最小值，所以62a0，解得a3，所以1a0可得2x0，得bx0可得x
5、R，所以函数的定义域为R且关于原点对称，又f(x)lg(x)lglglg(x)f(x)，即f(x)f(x)所以函数f(x)lg(x)是奇函数方法二由x0可得xR，f(x)f(x)lg(x)lg(x)lg(x)(x)lg(1x2x2)0.所以f(x)f(x)，所以函数f(x)lg(x)是奇函数类型三对数不等式例4已知函数f(x)loga(1ax)(a0，且a1)解关于x的不等式：loga(1ax)f(1)解f(x)loga(1ax)，f(1)loga(1a)1a0.0a1.不等式可化为loga(1ax)loga(1a)即0x1.不等式的解集为(0,1)反思与感悟对数不等式解法要点(1)化为同底l
6、ogaf(x)logag(x)(2)根据a1或0a1去掉对数符号，注意不等号方向(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)0且g(x)0.跟踪训练4已知Ax|log2x2，Bx|3x，则AB等于_答案(0，)解析log2x2，即log2xlog24, 等价于A(0,4)3x，即313x，1x，B(1，)，AB(0，)1.如图所示，曲线是对数函数f(x)logax的图象，已知a取，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为_答案，2如果xy0，那么x，y,1的大小关系为_答案1y0，解得2m0，且a1)在同一坐标系中的图象只可能是_(填序号)答案解析当a1时，指数函数yax为单调增函数，而对数函
7、数ylogaxlogx为单调减函数故填.3已知loga1时，由loga，故a1；当0a1时，由logalogaa知0a，故0a0解得定义域为x|x1，又ylog2x在定义域上单调递增，yx21在(1，)上单调递增，函数的单调增区间为(1，)5已知函数ylog2(x22kxk)的值域为R，则k的取值范围是_答案(，01，)解析令tx22kxk，由ylog2(x22kxk)的值域为R，得函数tx22kxk的图象一定恒与x轴有交点，所以4k24k0，即k0或k1.6已知函数yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是_答案(1,2)解析由已知可得a1，当x0,1时，2ax0恒成立，a
8、2.1a0，且a1)在区间(1,2)上是单调增函数，则f(x)在区间(2，)上的单调性为_答案单调减函数解析当1x2时，函数f(x)loga|x2|loga(2x)是单调增函数，所以0a1；函数f(x)loga|x2|在区间(2，)上的解析式为f(x)loga(x2)(0af(lg)，则x的取值范围为_答案(0，)(10，)解析f(x)为偶函数，f(1)f(lg)f(1)f(|lg|)又f(x)在0，)上是单调减函数，式等价于|lg|1，即|lg|1，|lgx|1，lgx1或lgxlg10或lgxlg，或解得解集为(0，)(10，)10已知函数f(x)lg(x1)，则不等式0f(12x)f(x
9、)1的解集为_答案(，)解析不等式0f(12x)f(x)1，即0lg(22x)lg(x1)lg1.由得1x1.由0lg1，得10，所以x122x10x10，解得x.由得x1时，yax与yloga(x1)在0,1上是单调增函数，f(x)maxaloga2，f(x)mina0loga11，aloga21a，loga21，a(舍去)；当0a1)的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M(a,0)，N(b,0)(ba1)，线段BN与函数g(x)logmx(mc1)的图象交于点C，且AC与x轴平行(1)当a2，b4，c3时，求实数m的值；(2)当ba2时，求的最小值；(3)已知h(x)ax，(x)b
10、x，若x1，x2为区间(a，b)内任意两个变量，且x1x2，求证：hf(x2)f(x1)(1)解由题意得A(2，log32)，B(4，log34)，C(4，logm4)，因为AC与x轴平行，所以logm4log32，所以m9.(2)解由题意得A(a，logca)，B(b，logcb)，C(b，logmb)，因为AC与x轴平行，所以logmblogca，因为ba2，所以mc2，所以21，所以当1时，取得最小值1.(3)证明因为ax1x21，所以logcalogcx1logcx21，b1，所以alogcx2alogcb，blogcablogcx1，又因为logcblogcalogcalogcb，所以logcalogcblogcblogca，所以alogcbblogca，所以alogcx2blogcx1，即hf(x2)f(x1)