1、知识点一 函数的零点 1定义对于函数yf(x)(xD)，把使_f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点2函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得_f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区
2、间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x)()2(必修1P92A组第5题改编)函数f(x)lnx的零点所在的大致范围是(B)A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(4，)解析：易知f(x)在(0，)上为增函数，由f(2)ln210，得f(2)f(3)0，所以f(x)在R上单调递增，又f(1)30，因此函数f(x)有且只有一个零点知识点二 二分法 1二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且_f(a)f(
3、b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证_f(a)f(b)0，给定精确度；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算f(x1)；若_f(x1)0，则x1就是函数的零点；若_f(a)f(x1)0，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若_f(x1)f(b)0，则令ax1(此时零点x0(x1，b)；第四步，判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步温馨提示：用二分法求一个方程的近似解时，
4、选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|ab|0)在区间(，和，)上单调递增，在区间(，0)和(0，)上单调递减 考向一 函数零点的判断与求解 方向1判断函数零点所在区间【例1】(1)设x0是方程x的解，则x0所在的范围是()A. B.C. D.(2)设f(x)lnxx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)(2)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)lnx，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)故选B.【答案】(1)D(2)B方向2判断函数零点的个数【例2】(1)f(x)的零
5、点个数为()A3 B2C1 D0(2)(2019天津河东一模)函数f(x)|x2|lnx在定义域内的零点的个数为()A0 B1C2 D3【解析】(1)解法1：由f(x)0得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点解法2：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点(2)由题意可知f(x)的定义域为(0，)，在同一直角坐标系中画出函数y1|x2|(x0)，y2lnx(x0)的图象，如图所示由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.【答案】(1)B(2)C(1)解方程法：所对应方程f(x)0有几个不同的实数解就有几个零点.(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函
6、数的性质进行判断.(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.1(方向1)(2019河南十校联考)命题p：a1，命题q：函数f(x)2xa在(1,2)上有零点，则p是q的(C)A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：由题意得函数f(x)2xa在(1,2)上单调递增，又函数f(x)在(1,2)上有零点，f(1)f(2)(1a)a0，解得a0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个
7、数为2，故选B.解法2：函数f(x)lnx2x6的定义域为(0，)f(x)2，令f(x)0，得x，当0x0，当x时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减因为f()40，f(e2)82e20，所以函数f(x)在(，)，(，e2)上各有一个零点，所以函数f(x)的零点个数为2，故选B.考向二 函数零点的应用 方向1二次函数的零点问题【例3】函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C. D.【解析】当ff(3)0时，函数在区间上有且仅有一个零点，即(103a)0，解得a；当时，函数在区间上有一个或两个零点，解得2a；当a时，函
8、数的零点为和2，符合题意；当a时，函数的零点为或3，不符合题意综上，a的取值范围是.【答案】D方向2求参数的取值范围【例4】(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)【解析】函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选C.【答案】C方向3由函数零点探求函数的特征【例5】(2019石家庄质量检测)已知M是函数f(x)e8cos(x)在x(0，)上
9、的所有零点之和，则M的值为() A3 B6C9 D12【解析】函数f(x)e8cos(x)在(0，)上的所有零点之和，即e8sinx在(0，)上的所有实数根之和，即e8sinx在(0，)上的所有实数根之和令g(x)e，h(x)8sinx，易知函数g(x)e的图象关于直线x对称，函数h(x)8sinx的图象也关于直线x对称，作出两个函数的大致图象，如图所示由图象知，两个函数的图象有4个交点，且4个交点的横坐标之和为6，故选B.【答案】B已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域
10、问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.1(方向1)已知函数f(x)2mx2x1在区间(2,2)上恰有一个零点，则m的取值范围是(D)A. B.C. D.解析：当m0时，函数f(x)x1有一个零点x1，满足条件当m0时，函数f(x)2mx2x1在区间(2,2)内恰有一个零点，需满足f(2)f(2)0或或解得m0或0m；无解，解得m.综上可知a时有一个解，由x2得a2；由x23x20得x1或x2，则由xa得a1.综上，a的取值范围为1,2)故选D.3(方向3)(2019惠州市调研考试)已知函数f(x)若函数f(x)的图象上关于原点对称
11、的点有2对，则实数k的取值范围是(D)A(，0) B(0，)C(0，) D(0,1)解析：依题意，函数f(x)的图象上存在关于原点对称的点，如图，可作出函数yln(x)(x0)的图象，使得它与直线ykx1(x0)的交点个数为2即可，当直线ykx1与ylnx的图象相切时，设切点为(m，lnm)，又ylnx的导数为y，则解得可得切线的斜率为1，结合图象可知k(0,1)时，函数ylnx的图象与直线ykx1有2个交点，即函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对，故选D.用换元法解决复合函数的零点问题关于复合函数方程f(g(x)a的零点个数问题，可先换元解套tg(x)，则f(t)a，g(x)t，从而先
12、由f(t)a确定t的解(或取值范围)，再由g(x)t并数形结合确定x的解的个数典例已知函数f(x)若关于x的函数yf2(x)bf(x)1有8个不同的零点，则实数b的取值范围为()A(2,8)B2，)C(2， D(2,8【分析】本题应先求方程t2bt10的根，设为t1，t2，再根据t1f(x)，t2f(x)的解的个数确定函数yf2(x)bf(x)1的零点个数已知函数yf2(x)bf(x)1有8个不同的零点，先确定两个实数t的范围，再转化为一元二次方程t2bt10根的分布问题来解决【解析】因为函数f(x)作出f(x)的简图，如图所示由图象可得，f(x)在(0,4上任意取一个值，都有四个不同的x值与
13、之对应再结合题中函数yf2(x)bf(x)1有8个不同的零点，可得关于t的方程t2bt10有两个不同的实数根t1，t2，且0t14,0t24，所以解得2b.【答案】C归纳总结本题结合图象可知，一元二次方程t2bt10的两个根0t14,0t24，结合二次函数图象的特点可知，对称轴00，另外t0时的函数值为正，t4时的函数值非负当涉及二次方程根的分布问题时，一般结合图象从判别式、对称轴位置以及特殊点函数值的符号来讨论 若函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，且f(x1)x1，则关于x的方程3f2(x)2af(x)b0的不同实根的个数是(A)A3 B4C5 D6解析：f(x)3x22axb
14、，由极值点定义可得，x1，x2为3x22axb0的两根，观察到方程与3f 2(x)2af(x)b0结构完全相同，可得3f 2(x)2af(x)b0的两根为f1(x)x1，f2(x)x2，其中f(x1)x1.若x1x1f(x1)，所以yf1(x)的图象与yf(x)的图象有两个交点，而yf2(x)的图象与yf(x)的图象有一个交点，共计3个交点(如图(1)所示)；若x1x2，可判断出x1是极小值点，x2是极大值点，且f2(x)x2x1f(x1)，所以yf1(x)的图象与yf(x)的图象有两个交点，而yf2(x)的图象与yf(x)的图象有一个交点，共计3个交点(如图(2)所示)综上所述，共有3个交点故选A.
