1、立体几何专 题 四 121定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体称为棱柱特殊棱柱直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫棱柱做正棱柱；平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；长方体：底面是矩形的直平行六面体叫做长方体，长方体的一条体对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱的长的平方和正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体 3()棱柱的性质侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面 对角面 是平行四边形；直棱柱的性质：直棱柱的侧棱长和
2、高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形 1322定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥特殊棱锥：正棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥正棱棱锥锥的性质()()4棱锥的高、斜高及斜高在底面上的射影 底面的边心距 组成一个直角三角形，这个直角三角形的一个锐角是侧面与底面的夹角；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影 底面正多边形外接圆半径 也组成一个直角三角形，这个直角三角形的一个锐角是侧棱与底面的夹角一般棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积比等于截得的棱锥的高和
3、已知棱锥的高的平方比；截得棱锥与已知棱锥的侧面积之比也等于它们相应的高的平方比 2212.3dRrrRd定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面球面所围成的几何体叫做球体，简称球球的截面的性质：球的截面是圆面；球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离 与球半径 及截面圆半径的关系是球 23344.4.3RSRVR球球两点间的球面距离：在球面上，两点之间的最短路线，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面的距离球的表面积：设球的半径为，则球的表面积为球的体积公式：/452 224.PABCDEPAABCDEAB CDAC EDAE BCABCA
4、BBCAEPABPCDPAC如图，在五棱锥中，平面，三角形是等腰三角形求证：平面平面例1.考点1 以棱柱或棱锥为载体考查空间平行与垂直的证明分析：欲证平面PCD平面PAC，只须证明CD平面PAC，即证AB平面PAC，进一步证明ABAC与ABPA，而证明ABAC可通过勾股定理解决，ABPA由PA平面ABCDE可证明222222452 24(2)42 2 24cos4582 2./.ABCABBCABCACACABACBCABACPAABCDEPAABPAACAABPACAB CDCDPACCDPCDPCDPAC 因为，在中，由余弦定理得：，解得所以，即，又平面，所以，又，所以平面，又，所以平面，
5、又因为平面，所以平面平面证明:【评析】本题的证明充分体现了线线垂直、线面垂直、面面垂直相互转化证明的思想方法，同时还可体会通过计算证明的方法解答此类试题注意利用条件的垂直与平行关系，以及注意结合棱柱与棱锥中的垂直与平行关系 12/.PABCDABACPAABCDPAABEPDACPBPBAEC如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点 是的变式题：中点求证：；求证：平面 1.PAABCDPAACABACABPAAACPABACPB因为平面，所以，又因为，所以平面，所以证明：2/.BDACOEOABCDOBDEPDEO PBPBAECEOAECPBAEC连结，与相交于，连结，因为四边形是平
6、行四边形，所以 是的中点，又 是的中点，所以，又平面，平面，所以平面 6123PABCDABCDPAABCDPAABEPBADPBCADAECD如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点 是棱的中点求直线到平面的距离；若，求二面角的平面角例2.的余弦值考点2 用以棱柱或棱锥为载体考查空间角和距离的计算分析：(1)由AD平面PBC，将直线AD到平面PBC的距离转化为求点A到平面PBC的距离，根据条件可证明AE平面PBC，即AE就是所求距离，然后通过解三角形可求得AE；(2)通过计算易知CDE为等腰三角形，因此可考虑取CE的中点F，然后过F作FGAC于G，则DFG为所求二面角的平面角，再通过计算证明G为
7、AC中点，最后通过解三角形可求得DFG./.1ABCDADPBCADPBCAPBCPAABCDPAABPABEPBAEPBABCDBCABABPBABCD如图，在矩形中，平面，故直线到平面的距离即为点 到平面的距离因为底面，故由知，为等腰三角形，又点 是棱的中点，故又在矩形中，而是解析：在底面内的射影，22.3Rt611.22BCPBPBAEEBCPABBCAEAEPBCAEADPBCPABPAABAEPBPAAB由三垂线定理得，又，从而平面，故从而平面，故之长即为直线到平面的距离在中，所以 22221/6Rt62DDFCECEFFFGACACGDFGBCPABAD BCADPABADAEDE
8、AEADCBECEBEBC过点 作，交于，过点 作，交于，则为所求的二面角的平面角由知平面，又，得平面，故，从而，在中，2222263 2sin.321/232Rt113.2226cos.23.63CDCDEFCEDFCDAEPBCAECEFGACFGAEFGGACDGADCDGACADCDDFFGDGDFGDF FADGEC由，所以为等边三角形，故 为的中点，且因为平面，故，又，知，从而，且 点为的中点连二面角的平面角的余结弦，则在中以以值为，所所 1()2求线到平面的距离一般通过平行关系转化为求点到平面的距离，转化时注意将问题转化到已知量比较多，易解的三角形 特别是直角三角形 中解决；求二
9、面角的关键是作出二面角的平面角，而平面角的作法主要有定义法、三垂线法等，而用得比较多的是利用三垂线【评析】定义作变式题：如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底边BC的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=2C1N.求：(1)二面角B1AMN的平面角的余弦值；(2)点B1到平面AMN的距离 1111112211.,151142MBCAMBCAMCCAMBCC BAMB M AMNMB MNBAMNB MB BBM因为是边的中点，所以又，所以平面，从而，所以为二面角的平面角易析知解：，222211111122211111145.4961101.935cos.552.5B
10、AMNMNMCCNB NB NB CC NB MNB MMNB NB MNB M MN连结，得在中，由余弦所求二面角的平面角的余弦值故为定理得 111111111111111.51Rtsin11.2512.BBCC BB HMNHAMBCC BAMB HB HAMNB HBAMNB MHB HB MB MHBAMN过 在平面内作直线，为垂足因为平面，所以于是平面，故即故点 到平为点 到平面面的距的距离在中，离为2222()7A B.311C.D 53aaaaa设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 .例3考点3 关于球的体积、表面积及球面距离的计算分析：考
11、虑利用球心到底面中心的距离、球心到棱柱顶点的距离(半径)、底面中心到棱柱顶点的距离满足勾股数求得球的半径 22222223313232317()()32123B74.POAPaaOPaRRaaaSRa球如图，为三棱柱底面中心，为球心，易知，所以球的半径解为 满足：，故，故析：选本题是一道棱柱与球相接的组合体问题，解答的关键是抓住接点与球心确定球的半径，以及利用图形中的特殊三角形进【评析】行计算16()3A 4 B 8C 12 D 16P ABCDPABCDABCDOPVO如图，正四棱锥底面的四个顶点，在球的同一个大圆上，点 在球面上，如果，则球 的表面积是变 式题：22162311623.D2
12、316ABCDPABCDPABCDABCDOPPOABCDPORSRVRRRO正方形正四棱锥底面的四个顶点，在球 的同一个大圆上，点 在球面上，所以底面，所以，解得，所以球 的表面积是解，故析：选3903 22()A.B34C.D 23ABCABCBABCOABCBC如图，在半径为 的球面上有、三点，球心到平面的距离是，则、两点的球面距离是 备题：选例223 23 2333 22233.3.ACOOACO CACBCBCOBOCBOCCB 因为是小圆的半径，所以过球心 作小圆的垂线，垂足是的中点因为，则解析：、两点的球面，所以距为，即离所以，则 1231()解答以棱柱与棱锥为载体的证明问题，通
13、常从以下几个方面考虑：从底面、侧面、棱、高和截面等多方面去研究线面关系；利用直棱柱、正棱柱的特殊线 如高、侧棱、底面棱等 相互之间的平行与垂直关系、侧棱与底面的垂直关系、侧面和对角面与底面的垂直关系及两底面的平行关系等；利用正棱锥的高与底面对角面与底面之间的垂直关系，中截面与底面之间的平行关系等 12342解答以棱柱与棱锥为载体的空间角和距离的计算问题，主要考虑以下几个方面：先要证明有关空间线面位置关系，正确作出空间角的平面角，或空间距离对应的线段，然后在三角形中求解，体现作、证、求三个步骤；如果求解的问题与正棱锥有关，则可以考虑将已知条件与结论中相关因素集中到底面边长、边心距、高、侧棱、斜高
14、、底面半边长构成的含有四个直角三角形中进行解决；求点到平面的距离可以考虑利用等体积法；为了减少思维量，可以考虑利用空间向量求解等 23431有关球体的计算在高考中主要是表面积、体积球面距离、截面面积的计算等解答时要抓住几点：将问题化归到由球的半径、截面圆半径及球心到截面的距离构成的直角三角形中；求球面距离应用弧长等于球心角的弧度数与球半径的积公式；与球有关的组合体问题要注意分析图形结构，明确切点和接点的位置，并作出合适的截面图；求球的表面积与体积的关键是求出球的半径4与球的组合问题主要体现相切与相接问题，发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解对于与球的相切体问题，常常通过抓多面
15、体中过球心的对角面来解决；对于与球相接问题的关键是抓住接点，利用多面体的对角面、对称面作出截面来解决1212121212A1.(2011)BCDVVVVVVVVVV 设球的体积为，它的内接正方体的体积为，下列说法中最合适的是 比大约多一半 比大约多两倍半 比大约多一倍 比大湖北卷约多一倍半333432343133.222 3 4322 3 4()33333rVrrrVrrr设球的半径为，所以球的体积为；球的内接正方体的对角线就是球的直径，所以正方体的棱长为，正方体的体积为：以析，所解1111122.(2 1/1).0/ABCDA B C DABEADFCDEFAB CEF福建 如图，正方体中，点 为的中点，点 在上，若平面，则线段的长度等于_卷112/1.2EFAB CEFABCDAB CABCDACEF ACEADFCDFCDEFAC因为平面，平面，平面平面，所以，又点 为的中点，点 在上，所以点 是的中点，所以解析：