1、第2课时 函数y=Asin（x+）的性质及其应用互动探究关键能力探究点一 由函数图象求解析式精讲精练例 函数y=Asin(x+)(A0,0,|2) 的部分图象如图所示,求此函数的解析式答案：由题图易知A=3 ,点(3,0) 和(56,0) 分别是“五点法”作图中的第3个点和第5个点,所以3+=,56+=2, 解得=2=3 所以y=3sin(2x+3) .解题感悟给出函数y=Asin(x+) 图象的一部分,确定A , , 的方法：(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A 和 ,那么求时,选取“五点法”中的“第一个点”的数据代入“x+0 ”求解(要注意正确判断哪一点是“第一个点”),或选取最大值点
2、代入x2+2k,kZ, 或选取最小值点代入x=322k,kZ 求解.(2)待定系数法：将若干特殊点代入函数解析式,可以求得相关待定系数A , , .这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式(3)图象变换法：运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asinx ,再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数迁移应用1.已知函数f(x)=Asin(x+)+B 的部分图象如图所示,若A0,0,|2 ,求f(x) 的解析式.答案：1.由题图可知f(x)min=0,f(x)max=4 .所以A=4-02=2,B=4+02=2 .由周期T=2=4(512-6) 知=2 .由f
3、(6)=4 得2sin(26+)+2=4 ,所以sin(3+)=1 ,所以3+=2k+2,kZ ,所以=2k+6,kZ ,又|2 ,所以=6 .所以f(x)=2sin(2x+6)+2 .探究点二 函数y=Asin(x+)图象的对称性精讲精练例已知函数f(x)=4sin(x+3)(0) 的最小正周期是3 ,将其图象上所有的点向左平移6 个单位长度后得到的函数图象的一个对称轴的方程是( )A.x=6 B.x=3C.x=56 D.x=1912答案：例D解析：例由函数f(x)=4sin(x+3)(0) 的最小正周期是3 ,得T=2=3 ,解得=23 ,则函数f(x)=4sin(23x+3) ,将其图象
4、上所有的点向左平移6 个单位长度后得到的函数图象的解析式为y=4sin23(x+6)+3=4sin(23x+49) ,令23x+49=k+2(kZ) ,得x=32k+12(kZ) ,当k=1 时,x=1912 ,即所得到的函数图象的一个对称轴方程为x=1912 .解题感悟函数y=Asin（x+） 图象的对称轴方程由x+=k+2 ,kZ 求得,为x=k+2- ，kZ ；对称中心由x+=k,kZ 求得,为(k-,0),kZ迁移应用1.已知函数f(x)=sin(x+3)(0) 的最小正周期为 ,则该函数图象( )A.关于点(3,0) 对称B.关于直线x=4 对称C.关于点(4,0) 对称D.关于直线
5、x=3 对称答案：1.A探究点三 三角函数性质的综合问题精讲精练例已知函数f(x)=12sin(2x+6)+54 .（1）求f(x) 的最小正周期及单调递增区间;（2）求f(x) 图象的对称轴方程和对称中心;（3）求f(x) 的最小值及取得最小值时x 的取值集合.答案：（1）函数f(x) 的最小正周期T=22= .令2k-22x+62k+2(kZ) ,得k-3xk+6(kZ) ,所以f(x) 的单调递增区间为k-3,k+6(kZ) .（2）令2x+6=k+2(kZ) ,则x=k2+6(kZ) ,所以函数f(x) 图象的对称轴方程为x=k2+6(kZ) .令2x+6=k(kZ) ,则x=k2-1
6、2(kZ) ,所以函数f(x) 图象的对称中心为(k2-12,54)(kZ) .（3）令sin(2x+6)=-1 ,则2x+6=-2+2k(kZ) ,所以x=-3+k(kZ) 时,f(x) 取得最小值,所以f(x) 的最小值为34 ,此时x 的取值集合是x|x=-3+k,kZ .解题感悟确定函数f(x)Asin(x)(A0,0) 单调区间的方法：采用“换元法”整体代换,将x+ 看作一个整体,令“z=x+ ”,即通过求yAsinz 的单调区间从而求出函数的单调区间迁移应用1.已知函数f(x)=sin(x+)(0,0) 是R 上的偶函数,其图象关于点M(34,0) 对称,且在区间0,2 上具有单调
7、性,求 和 的值.答案：1.由f(x) 是偶函数,得函数f(x) 的图象关于y 轴对称,所以f(x) 在x=0 处取得最值,即sin=1或sin=-1 ,即=k+2,kZ ,因为0 ,所以=2 .由f(x) 的图象关于点M 对称,可知sin(34+2)=0 ,即34+2=k,kZ ,解得=4k3-23,kZ .又f(x) 在0,2 上具有单调性,所以T ,即2 ,所以2 .又0 ,所以当k=1 时,=23 ;当k=2 时,=2 .故=2,=2或=23 .评价检测素养提升课堂检测1.若函数f(x)=2sin(2x-3+) 是偶函数,则 的值可以是( )A.56 B.2 C.3 D.-2答案：1.
8、A2.若f(x)=3sin2x+1(0) 在区间-32,2 上单调递增,则 的最大值为 .答案：2.16解析：2.由题意可得-322-2 ,且222 ,解得16 ,故 的最大值为16 .3.已知函数f(x)=sin(2x+)(-0) 图象的一条对称轴是直线x=6 ,则 的值为 .答案：3.-56解析：3.由题意知26+=2+k,kZ ,则=6+k,kZ ,又-0 ,所以=-56 .4.函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|2) 的部分图象如图所示,则其解析式为 .答案：4.f(x)=2sin(2x+4)解析：4.由题图知,A=2,T=78-(-8)= ,所以=2 ,又函数图象过点(-8,
9、0) ,所以2sin(-4+)=0 ,所以-4+=k,kZ ,所以=4+k,kZ ,故 可取4 ,所以f(x)=2sin(2x+4) .素养演练直观想象数形结合思想在函数中的应用1.已知关于x 的方程2sin(2x+6)+m-1=0 在0,2 上有两个不同的实数根,则m 的取值范围是 答案：1.(-1,0 .解析：1.方程2sin(2x+6)+m-1=0 在0,2 上有两个不同的实数根等价于方程-m+1=2sin(2x+6) 在0,2 上有两个不同的实数根,即函数y=2sin(2x+6) 的图象与直线y=-m+1 在0,2 上有两个不同的交点.如图,需满足1-m+12 ,解得-1m0 ,即实数
10、m 的取值范围为(-1,0 .审：本题根据方程在闭区间上有两个不同的实数根求参数的取值范围.联：函数y=2sin(2x+6) 的图象与直线y=-m+1 在0,2 上有两个不同的交点.思：本题是将方程根的问题转化为函数图象和直线交点的问题,再利用数形结合思想进行求解,充分体现数形结合、转化与化归的数学思想.迁移应用1.已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|2) 在一个周期内的图象如图所示.若方程f(x)=m 在区间0, 上有两个不同的实数解x1,x2 ,则x1+x2 的值为( )A.3 B.23或43 C.43 D.3或43答案：1.D解析：1.要使方程f(x)=m 在区间0, 上有两个不同的实数解,只需函数y=f(x) 的图象与直线y=m 在区间0, 上有两个不同的交点,由题图知,两个交点关于直线x=6 或直线x=23 对称,因此x1+x2=26=3或x1+x2=223=43 .