1、第2课时 单调性与最值课标解读课标要求素养要求1.掌握y=sinx,y=cosx 的单调性,并能利用单调性比较大小.2.会求函数y=Asin(x+) 及y=Acos(x+) (其中A, 为常数,且A0,0 )的单调区间.3.掌握y=sinx,y=cosx 的最大值与最小值,并会求简单函数的值域和最值.1.直观想象能利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小.2.数学运算会根据正弦函数、余弦函数的性质求解与单调性有关的问题.自主学习必备知识 教材研习教材原句要点一 单调性正弦函数在每一个闭区间-2+2k,2+2k(kZ) 上都 单调递增 ,其值从-1 增大 到1;在每一个闭区间2+2k,32+2k(
2、kZ) 上都 单调递减 ,其值从1 减小 到-1.余弦函数在每一个闭区间-+2k,2k(kZ) 上都 单调递增 ,其值从-1 增大 到1;在每一个闭区间2k,+2k(kZ) 上都 单调递减 ,其值从1 减小 到-1.要点二 最大值与最小值正弦函数当且仅当x=2k+2(kZ) 时取得最 大 值1,当且仅当x=2k-2(kZ) 时取得最 小 值-1;余弦函数当且仅当x=2k(kZ) 时取得最 大 值1,当且仅当x=2k+(kZ) 时取得最 小 值-1.自主思考1.函数y=sinx 和y=cosx 的单调递减区间为(m,n) （其中0mn2 ）,请求出m,n 的值.答案：提示 由正弦函数和余弦函数的
3、单调性可知m=2,n= .2.函数y=sinx,y=cosx 在图象的什么位置取得最大（小）值？答案：提示 函数y=sinx,y=cosx 在图象的波峰（波谷）取得最大（小）值.名师点睛1.函数y=sinx 的单调递增区间不唯一.2.函数y=sinx 的最大值唯一,取最大值时的x 的值不唯一.3.对正弦、余弦（型）函数最值的三点说明（1）明确正弦、余弦函数的有界性,即|sinx|1,|cosx|1 .（2）函数y=sinx,xD(y=cosx,xD) 的最值不一定是1或-1,要依据函数的定义域D 来决定.（3）求形如y=Asin(x+)(A0,0) 的函数的最值,通常利用“整体代换”,即令x+
4、=z ,将函数转化为y=Asinz 的形式求最值.互动探究关键能力探究点一 正弦、余弦（型）函数的单调性精讲精练 例 （1）函数y=sin(6-x),x0,2 的单调递减区间为 .（2）求函数y=2cos(2x-6) 的单调区间.答案：（1） 0,23,53,2解析：（1） y=sin(6-x)=-sin(x-6) ,令-2+2kx-62+2k,kZ ,解得-3+2kx23+2k,kZ ,又x0,2 ,所以0x23或53x2 ,即函数的单调递减区间为0,23,53,2 .答案：（2）令2k-2x-62k(kZ) ,即2k-562x2k+6(kZ) ,所以k-512xk+12(kZ) .所以单调
5、递增区间为k-512,k+12(kZ) .令2k2x-62k+(kZ) ,即2k+62x2k+76(kZ) ,所以k+12xk+712(kZ) ,所以单调递减区间为k+12,k+712(kZ) .所以函数y=2cos(2x-6) 的单调递增区间为k-512,k+12(kZ) ,单调递减区间为k+12,k+712(kZ) .解题感悟正弦、余弦（型）函数的单调区间的求解技巧（1）结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间 （2）确定函数yAsin(x+) （或y=Acos(x+)）,A0,0 的单调区间的方法：可采用“换元”法整体代换,若0, 则可利用诱导公式将x 的系数转变为正数迁移应用1.函
6、数f(x)=2sin(x-3) ,x-,0 的单调递增区间是( )A.-,-56 B.-56,-6C.-3,0 D.-6,0答案：D解析：令2k-2x-32k+2,kZ ,解得2k-6x2k+56,kZ ,又-x0 ,所以-6x0 ,故选D.2.函数y=3sin(3-2x) 的单调递减区间为 .答案： -12+k,512+k(kZ)解析：因为y=3sin(3-2x)=-3sin(2x-3) ,所以y=3sin(2x-3) 的单调递增区间就是y=3sin(3-2x) 的单调递减区间.令-2+2k2x-32+2k(kZ) ,解得-12+kx512+k(kZ) .所以函数y=3sin(3-2x) 的
7、单调递减区间为-12+k,512+k(kZ) .探究点二 比较三角函数值的大小精讲精练 例 比较下列各组数的大小（1）cos(-8) 与cos137 ;（2）sin194 与cos160;（3）sin(-207) 与cos(-103) .答案：（1） cos(-8)=cos8 ,cos137=cos(+67)=-cos67=cos7 .因为087 ,且y=cosx 在(0,) 上单调递减,所以cos8cos7 ,即cos(-8)cos137 .（2）sin194=sin(180+14)=-sin14,cos160=cos(180-20)=-cos20=-sin70 .因为0147090,且y=
8、sinx 在(0,2) 上单调递增,所以sin70sin14, 即-sin14-sin70 .故sin194cos160 .（3）sin(-207)=sin87=-sin7 ,cos(-103)=cos23=-cos3=-sin6 .因为函数y=sinx 在-2,2 上单调递增,而-2762 ,所以sin7sin6 ,所以-sin7-sin6 .故sin(-207)cos(-103) .解题感悟比较三角函数值大小的步骤（1）异名函数化为同名函数;（2）利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上;（3）利用函数的单调性比较大小迁移应用 1.比较下列各组数的大小.（1）sin220 与sin230;
9、（2）cos158 与cos149 ;（3）cos1 与sin2 .答案：（1）因为函数y=sinx 在(2,32) 上单调递减,且90220230270, 所以sin220sin230 .（2）cos158=cos(2-8)=cos8 ,cos149=cos(2-149)=cos49 .因为函数y=cosx 在0, 上单调递减,且0849 ,所以cos8cos49 ,故cos158cos149 .（3）因为10,2 ,所以cos1=sin(2+1) ,因为y=sinx 在2, 上单调递减,又2+1,22, ,且2+12 ,所以sin(2+1)sin2 ,即cos1sin2 .探究点三 正弦、
10、余弦（型）函数的最值问题精讲精练 例 已知函数y=cos2x+2sinx-2,xR .（1）求函数的值域;（2）求函数取得最小值时x 的取值集合答案： （1）y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2 .因为-1sinx1 ,所以-4y0 ,所以函数y=cos2x+2sinx-2,xR 的值域为-4,0 .（2）因为y=cos2x+2sinx-2=-(sinx-1)2 ,所以当sinx=-1 时,ymin=-4 ,此时x 的取值集合为xx=2k-2,kZ .解题感悟（1）形如yasinx （或yacosx) 的函数,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意
11、对a 正负的讨论（2）形如yAsin(x+)+B （或yAcos(x+)+B) 的函数,可先由定义域求得x+ 的范围,然后求得sin(x+) （或cos(x+) 的范围,最后求得值域（最值）（3）形如y=asin2x+bsinx+c(a0) 的函数,可利用换元思想,设tsinx ,转化为二次函数y=at2+bt+c 求最值t 的范围需要根据定义域来确定迁移应用 1.求下列函数的最大值和最小值.（1）f(x)=sin(2x-6),x0,2 ;（2）y=-2cos2x+2sinx+3,x6,56 .答案：（1）当x0,2 时,2x-6-6,56 ,由函数图象（图略）知,f(x)=sin(2x-6)
12、sin(-6),sin2=-12,1 .所以f(x) 在0,2 上的最大值和最小值分别为1,-12 .（2）y=-2(1-sin2x)+2sinx+3=2sin2x+2sinx+1=2(sinx+12)2+12 .因为x6,56 ,所以12sinx1 .当sinx=1 时,ymax=5;当sinx=12 时,ymin=52 .评价检测素养提升课堂检测1.y=2cos2x 的值域是( )A.-2,2 B.0 ,2C.-2,0 D.R答案： B2.函数y=-cosx 在区间-2,2 上( )A.单调递增B.单调递减C.先减后增D.先增后减答案： C3.函数y=3-4cos(2x+3) 的最大值为
13、,此时自变量的取值集合为 .答案：7; xx=3+k,kZ解析： 当2x+3=+2k,kZ ,即x=3+k,kZ 时,f(x)max=3+4=7 .4.sin35,sin45,sin910 从大到小排序为 .答案： sin35sin45sin910解析： 因为23545910 ,又函数y=sinx 在2, 上单调递减,所以sin35sin45sin910 .5.求函数y=-cos(x2-3) 的单调递增区间.答案： 函数y=-cos(x2-3) 的单调递增区间即为函数y=cos(x2-3) 的单调递减区间,令2kx2-32k+,kZ ,解得23+4kx83+4k,kZ ,故函数的单调递增区间为
14、23+4k,83+4k,kZ .素养演练直观想象正弦函数的对称性1.函数y=sin(2x+3) 的图象的对称轴方程是,对称中心的坐标是.审：已知函数解析式,求对称轴方程与对称中心的坐标.联：根据正弦函数的周期性知,过函数图象的最高点或最低点且与x 轴垂直的直线均是对称轴,而函数图象与x 轴的交点均为对称中心解：要使sin(2x+3)=1 ,则2x+3=k+2(kZ) ,所以x=k2+12(kZ) ,即对称轴方程为x=k2+12(kZ) ,而函数y=sin(2x+3) 的图象与x 轴的交点即为对称中心,所以令y=0 ,即sin(2x+3)=0 ,所以2x+3= k(kZ) ,即x=k2-6(kZ
15、) ,故函数y=sin(2x+3) 的图象的对称中心的坐标为 (k2-6,0)(kZ).解析：思：正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点,即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值;正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x 轴的交点,即此时的正弦值、余弦值为0.通过该类问题,培养直观想象的核心素养迁移应用 1.当x=4 时,函数f(x)=Asin(x+)(A0) 取得最小值,则函数f(34-x) 是( )A.奇函数且图象关于点(2,0) 对称B.偶函数且图象关于点(,0) 对称C.奇函数且图象关于直线x=2 对称D.偶函数且图象关于点(2,0) 对称答案： C解析：因为x=4 时函数f(x)=Asin(x+)(A0) 取得最小值,所以-A=Asin(4+) ,可得sin(4+)=-1 ,所以4+=2k-2,kZ ,解得=2k-34,kZ ,所以f(x)=Asin(x-34) ,所以f(34-x)=Asin(34-x-34)=-Asinx ,所以函数f(34-x) 是奇函数且图象关于直线x=2 对称,故选C.