1、专题能力训练5基本初等函数、函数的图象和性质专题能力训练第16页一、能力突破训练1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是()A.f(x)=-x|x|B.f(x)=xsin xC.f(x)=1xD.f(x)=x12答案:A解析:函数f(x)=-x|x|=-x2,x0,x2,x0在其定义域上既是奇函数又是减函数,故选A.2.(2019全国,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca答案:B解析:因为a=log20.220=1,又0c=0.20.30.201,所以ac0,排除选项D.f(6)=26326+2-67,排除选项A.
2、故选B.4.若定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:对于任意的xR,都有f(x+1)=f(x-1);函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称;对于任意的x1,x20,1,都有f(x1)-f(x2)(x1-x2)0.则f32,f(2),f(3)从大到小的关系是()A.f32f(2)f(3)B.f(3)f(2)f32C.f32f(3)f(2)D.f(3)f32f(2)答案:D解析:对于任意的xR,都有f(x+1)=f(x-1),所以函数f(x)的周期为T=2;函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称;对于任意的x1,x20,1,都有f(x1)-f(x2
3、)(x1-x2)0,所以函数f(x)在区间(0,1)内单调递增.因为f(3)=f(1),f32=f12,f(2)=f(0),1120,所以f(3)f32f(2).5.已知偶函数y=f(x),当x(-1,0)时,f(x)=2-x.若,为锐角三角形的两个内角,则()A.f(sin )f(sin )B.f(sin )f(cos )C.f(cos )f(cos )D.f(cos )f(sin )答案:B解析:根据题意,得当x(-1,0)时,f(x)=2-x=12x,则f(x)在区间(-1,0)内为减函数.又f(x)为偶函数,则f(x)在区间(0,1)内为增函数.若,为锐角三角形的两个内角,则+90,即
4、90-,所以sin sin(90-)=cos ,所以f(sin )f(cos ).6.(2018全国,理11)已知f(x)是定义域为(-,+)内的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50答案:C解析:f(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f(x)的周期为4.f(x)为R上的奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0),f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=
5、0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.7.已知f(x)是R上的偶函数,fx+2=-f(x),当0x2时,f(x)=sin x,则函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是()A.12B.10C.6D.5答案:B解析:由fx+2=-f(x),可得函数f(x)的周期为,作出函数y=f(x)与y=lg|x|的图象,由图象可知,当x0时,两函数图象有5个交点.又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数,所以函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10.8.若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:f(x)是偶函数,f(-1)=f
6、(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=lna+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-ln a=ln(a+1+1),于是ln a=0,a=1.9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)2f(1),则a的取值范围是.答案:12,2解析:由题意知a0,又log12a=log2a-1=-log2a.f(x)是R上的偶函数,f(log2a)=f(-log2a)=f(log12a).f(log2a)+f(log12a)2f(1),2f(log2a)2f(1),即f(log2a)f(1).又f(x)
7、在区间0,+)内单调递增,|log2a|1,-1log2a1,a12,2.10.设奇函数y=f(x)(xR),满足对任意tR都有f(t)=f(1-t),且当x0,12时,f(x)=-x2,则f(3)+f-32的值等于.答案:-14解析:根据对任意tR都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-f(t)=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f-32 =f12=-14,所以f(3)+f-32=0+-14=-14.11.如图,边长为1的正方形ABCD,其中边DA
8、在x轴上,点D与坐标原点重合.若正方形沿x轴正向滚动,先以A为中心顺时针旋转,当B落在x轴上时,再以B为中心顺时针旋转,如此继续,当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时,则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点C(x,y)滚动时形成的曲线为y=f(x),则f(2 019)=.答案:0解析:由题意,得f(x)是周期为4的函数,所以f(2 019)=f(4504+3)=f(3).由题意,得当x=3时,点C恰好在x轴上,所以f(3)=0,故f(2 019)=0.12.若不等式3x2-logax0在x0,13内恒成立,求实数a的取值范围.解:由题意知3x21,函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象
9、的下方,所以不成立;当0a1时,由图可知,y=logax的图象必须过点13,13或在这个点的上方,则loga1313,所以a127,所以127a1.综上,实数a的取值范围为127a1.二、思维提升训练13.已知函数的图象如图所示,则该图象对应的函数解析式可能是()A.y=2x-x2-1B.y=2xsin xC.y=xlnxD.y=(x2-2x)ex答案:D解析:y=2xsin x为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B;函数y=xlnx的定义域为x|0x1,故排除C;对于y=2x-x2-1,当x=-2时,y=2-2-(-2)2-10,且a1)恰有3个零点,则a的取值范围是()A.0,14B.(1
10、,2C.(2,3D.(3,4答案:C解析:由题意,得方程f(x)=logax(a0,且a1)有3个解,所以函数y=f(x)和y=logax的图象有3个交点.因为对任意的xR,都有f(x+1)=f(x),所以函数y=f(x)是周期为1的函数.又当x(1,2时,f(x)=2-x,可画出函数y=f(x)的图象,如图所示.若函数y=logax的图象与函数y=f(x)的图象有交点,则需满足a1.结合图象可得,要使两函数的图象有3个交点,则需loga21,loga31,解得2f(-2),则a的取值范围是.答案:12,32解析:由题意知函数f(x)在区间(0,+)内单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(
11、2|a-1|)f(-2)可化为f(2|a-1|)f(2),则2|a-1|2,|a-1|12,解得12a32.17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1上,f(x)=ax+1,-1x0,bx+2x+1,0x1,其中a,bR.若f12=f32,则a+3b的值为.答案:-10解析:f32=f12,f12=f-12,12b+232=-12a+1,易求得3a+2b=-2.又f(1)=f(-1),-a+1=b+22,即2a+b=0,a=2,b=-4,a+3b=-10.18.对于函数y=f(x),y=g(x),若存在x0,使f(x0)=g(-x0),则称M(x0,f(x0),N(-x0,g
12、(-x0)是函数f(x)与g(x)图象的一对“雷点”.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,恒有f(x+1)=f(x),且当0x1时,f(x)=x.若g(x)=(x+1)2-a(-2x0),函数f(x)与g(x)的图象恰好存在一对“雷点”,则实数a的取值范围为.答案:-1,-14(0,1)解析:函数f(x)与g(x)的图象恰好存在一对“雷点”,即函数y=f(x)的图象与函数y=h(x)=(x-1)2-a在区间(0,2)内恰有一个交点,函数y=h(x)=(x-1)2-a的图象是将函数y=(x-1)2的图象向上或向下平移|-a|个单位长度.当曲线y=h(x)=(x-1)2-a的图象与直线
13、y=x-1相切时,(x-1)2-a=x-1,即x2-3x+2-a=0,则=9-4(2-a)=0,解得a=-14.由图可知-1-a0或14-a1,即实数a的取值范围为-1a-14或0a1.19.已知函数f(x)=ex-e-x(xR,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.解:(1)f(x)=ex-1ex,且y=ex是增函数,y=-1ex是增函数,f(x)是增函数.f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.f(x-t)+f(x2-t2)0对xR恒成立,f(x-t)f(t2-x2),t2-x2x-t,x2+xt2+t对xR恒成立.又t+122x+12min2对一切xR恒成立,t+1220,t=-12.即存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切x都成立.
