1、一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于（ ）A B C D2【答案】B【解析】试题分析：，解得,选B.考点：复数的运算.2.已知集合，则为（ ）A B C D【答案】D考点：集合的表示方法与集合运算.3.已知随机变量服从正态分布，且，则实数的值为（ ）A1 B C2 D4【答案】A【解析】试题分析：正态分布曲线关于均值对称，故均值,选A.考点：正态分布与正态曲线.4.设为实数，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不
2、必要条件【答案】D考点：充分条件与必要条件及不等式的性质.5.若向量，且那么等于（ ）A-1 B1 C-2 D2【答案】D.Com【解析】试题分析：，选D.考点：平面向量数量积的坐标表示.6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：该几何体由底半径为的半圆锥与底面为边长等于正方形的四棱锥组成，且高都为，因此该几何体体积为，选A.考点：三视图与几何体的体积.7.如图是一个算法的程序框图，当输入的的值为7时，输出的值恰好是-1，则“？”处应填的关系式可能是（ ）A B C D【答案】A考点：程序框图中的循环结构.8.数列的前项和为，若，则（
3、）A B C D【答案】A 【解析】试题分析：由，得，所以，即，又，所以数列，因此.选A.考点：数列的递推公式与通项公式.9.过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线于点，若，且，则抛物线的方程为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：设，作垂直准线于点，则，又，得，所以，有.设，则，而，且，所以，解得，所以抛物线的方程为.选C.考点：直线与抛物线的位置关系.10.若，且，则实数的值为（ ）A1 B C1或 D1或10【答案】C考点：两角差的正切公式及对数运算.【方法点晴】本题主要考查了两角差正切公式和对数的运算，属于基础题.本题解答的关键是根据题目条件迅速找到解题的突破口，给出了的表
4、达式及，应联想两角差的正切公式，这样就把问题转化为以为变量的一元二次方程，求出的值，在根据对数的定义即可求得实数的值.11.已知函数，其中.若满足不等式的解的最小值为2，则实数的取值范围是（ ）A B C D或【答案】D【解析】试题分析：由得，即，令，则，由题意知是方程的解.，得，又，即，解得或.选D.考点：函数的最值与方程与不等式之间的关系.【方法点睛】本题考查了函数与方程及不等式之间的关系，考查转化的数学思想,属于中档题.解答本题先利用指数运算把不等式化简为，然后通过换元转化为一元二次不等式，再根据韦达定理及的最小值为，建立之间的关系式，通过的范围求出的范围.12.定义在上的单调函数，则方
5、程的解所在区间是（ ）A B C D【答案】C考点：函数的零点与函数性质的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数零点的存在性定理，导数的运算，考查了换元法、转化的数学思想，属于中档题.本题解答的入手点根据函数是单调函数，通过换元求出函数的解析式，求出其导函数，把方程转化为，再利用导数研究其单调性，最后根据函数零点的存在性定理求解.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）.Com13.在中，角所对的边分别是，则角的最大值是 .【答案】【解析】试题分析：，又因为，得.考点：余弦定理.14.定义在上的函数，则不等式的解集为 .【答案】考点：分段函数及不等式的解法.15
6、.已知圆与轴负半轴的交点为为直线上一点，过作圆的切线，切点为，若，则的最大值为 .【答案】【解析】试题分析：设，由可得，化简得，可转化为直线与圆有公共点，所以，解得.考点：曲线与方程及直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，曲线与方程，考查了转化的数学思想属于中档题.本题解答的难点是对条件“”的应用，实际上就是描述了动点的轨迹，到定点的距离是圆切线长的两倍，把几何条件转化为坐标关系即的的轨迹方程，把问题转化为直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离小于半径求出参数的范围，得其最大值.16.设变量满足约束条件，且目标函数的最大值为3，则 .【答案】考点：简单的线性规划.【
7、易错点睛】线性规划问题主要考查学生的作图能力和用图意识和数形结合的思想方法，属于基础题.作图时每作一条直线及时标注方程并判断区域，避免最后混淆，作目标函数时要注意比较其斜率与约束条件边界直线的比较作准倾斜度为正确找到最优点创造条件，最后就是注意“截距型”目标函数的截距与的符号是否一致，若符号相反，则截距最大，最小；截距最小，最大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列满足，数列满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求满足不等式的所有正整数的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证明数列是
8、等差数列，只需证明时常数，把给出的及代入整理即可得到结论；（2）根据（1）的结论可得到，根据等比数列前项和公式得到和，由此得到关于的不等式，解不等式即可得到正整数的值.试题解析：（1）由，得，则，代入中，得，即得.所以数列是等差数列；（2）因为数列是首项为，公差为的等差数列，则，则.从而，故则，由，得，即，得故满足不等式的所有正整数的值为2,3,4.考点：等差数列的定义、通项公式，等比数列的通项公式及前项和公式.18（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且.（1）求证：；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.考点：空间向量证明
9、直线与直线垂直及求解二面角.19.（本小题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求的值；（2）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望.【答案】（1）频率分布直方图见解析，；（2）分布列见解析，.第一组的人数为，频率为，所以第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以第四组的频率为，第四组的
10、人数为，所以.（2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，所以采用分层抽样法抽取18人，岁中有12人，岁中有6人.随机变量服从超几何分布.所以随机变量的分布列为0123所以数学期望.考点：频率分布直方图、超几何分布及离散型随机变量的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率为.（1）求的值；（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点.若，求面积的最大值；若的值与的位置无关，求的值.【答案】（1）；（2）面积的最大值；.（2）由（1）可得，椭圆的方程为设点，点，点若，则直线的方程为联立直线与椭圆的方程
11、，即.消去，化简得.解之得，从而，而，又设直线的方程为.将直线与椭圆的方程联立，即，消去，化简得解此方程可得，、，所以，因此的值与点的位置无关，即式取值与无关，故有，解得.考点：直线与椭圆位置关系的综合应用.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.求椭圆的方程通常用待定系数法，根据题意列出待定系数的方程组即可求出其方程；直线与圆锥曲线的位置关系本质上考查函数与方程的思想方法及运算能力，在整理方程组的基础上，利用韦达定理把要解答的问题转化为函数，利用函数或不等式的知识解决其最值问题.21.（本小题满分12分）已知函数，其中.（1）若，求的单调区间；（2）若，且当时
12、，总成立，求实数的取值范围；（3）若，若存在两个极值点，求证：.【答案】（1）的增区间为，减区间为；（2）；（3）证明见解析.（2）因为在有意义，所以若，则，所以若，则当时，当时，在上为减函数，在上为增函数，不成立，综上，；考点：利用导数研究函数的单调性、给定区间上的最值及不等式的证明.【方法点睛】本题考查了导数在研究函数单调性及给定区间上的最值等的综合应用，考查了基本不等式、分类讨论、不等式证明的放缩等数学方法和思想，属于难题.本题解答的难点是第二、三问，第二问中先通过判断，然后分类讨论求出其最小值，即可求得参数的取值范围；第三问先通过是的两个极值点得到，然后整理，分别利用基本不等式和放缩法
13、证得结论，这是证明不等式时常用的方法和技巧.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是的一条切线，切点为，直线都是的割线，已知.（1）若，求的值；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.试题解析：（1）由题意可得：四点共圆，又；（2）因为为切线，为割线，又因为，所以所以，又因为，所以所以，又因为，所以，所以.考点：圆内接四边形的性质、圆的切割线定理、三角形相似的证明和应用及平面内直线平行的证明.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直
14、线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值.【答案】(1) ；(2) .试题解析：（1）由得，化为直角坐标方程为，即；（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得由，故可设是上述方程的两根，所以，又直线过点，故结合的几何意义得所以的最小值为考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程在求最值中的应用.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数. （1）求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）分，及三段讨论去掉绝对值符号，分别求出的解，求并集即得不等式的解集；（2）若恒成立，则求出函数的最小考点：绝对值不等式、一元二次不等式的解法及分区间讨论、转化的数学思想.