1、专题五解析几何第1讲直线与圆一、选择题 1.已知直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为()A.(3,3)B.(2,3)C.(1,3)D.1,32答案C直线l1的斜率k1=tan 30=33,因为直线l2与直线l1垂直,所以直线l2的斜率k2=-1k1=-3,又直线l1过点(-2,0),直线l2过点(2,0),所以直线l1的方程为y=33(x+2),直线l2的方程为y=-3(x-2),联立得y=33(x+2),y=-3(x-2),解得x=1,y=3,即直线l1与直线l2的交点坐标为(1,3).2.已知圆C的圆心是直线x-y
2、+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是()A.(x+1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=8C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=8答案A根据题意知,圆C的圆心为(-1,0).因为圆与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r=d=|-1+0+3|12+12=2,则圆的方程为(x+1)2+y2=2.3.若直线l1:x-3y+2=0与直线l2:mx-y+b=0关于x轴对称,则m+b=()A.13B.-1C.-13D.1答案B直线l1:x-3y+2=0关于x轴对称的直线为x+3y+2=0.由题意知m0,故由mx-y+b=0,得x-ym+bm
3、=0,又直线l1与l2关于x轴对称,所以有-1m=3,bm=2,解得m=-13,b=-23,则m+b=-13+-23=-1.4.(多选)直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A.0m1B.m1C.-2m1D.-3m1答案AC圆x2+y2-2x-1=0的圆心为(1,0),半径为2.因为直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同的交点,所以直线与圆相交,因此圆心到直线的距离d=|1+m|1+12,所以|1+m|2,解得-3m1,求其充分不必要条件,即求m|-3m1的真子集,故由选项得A,C符合.故选AC.5.(2019河南开封模拟)已知
4、圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则实数a的取值范围是()A.(-32,32)B.(-,-32)(32,+)C.(-22,22)D.-32,32答案A由圆O的方程可知圆心为(0,0),半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离dr+1=2+1,即d=|-a|12+12=|a|20,y1+y2=2kk2+1,x1+x2=k(y1+y2)-2=-2k2+1,因为OM=OA+OB,所以M-2k2+1,2kk2+1,又点M在圆C上,故4(k2+1)2+4k2(k2+1)2=4,解得k=0.解法二:由直线与圆相交于A,B两点,OM=
5、OA+OB,且点M在圆C上,得圆心C(0,0)到直线x-ky+1=0的距离为半径的一半,为1,即d=|1|1+k2=1,解得k=0.二、填空题7.(2019山东枣庄期末改编)若点P(1,1)为圆x2+y2-6x=0中弦AB的中点,则弦AB所在直线的方程为,|AB|=.答案2x-y-1=04解析圆x2+y2-6x=0的标准方程为(x-3)2+y2=9.因为点P(1,1)为圆中弦AB的中点,所以圆心与点P所在直线的斜率为1-01-3=-12,故弦AB所在直线的斜率为2,所以直线AB的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.圆心(3,0)与点P(1,1)之间的距离d=5,圆的半径r=3,则|
6、AB|=2r2-d2=4.8.(2019广东湛江一模)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则m=.答案2或10解析圆C:(x-3)2+(y-3)2=72的圆心C的坐标为(3,3),半径r=62,因为直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,所以圆心到直线的距离为22,则有d=|6-m|1+1=22,解得m=2或10.9.已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为.答案1解析由题意得,圆心(1,-a)到直线ax+
7、y-1=0的距离为22,所以|a-a-1|a2+1=22,解得a=1.10.已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k0)上一点,PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,若PA长度的最小值为2,则k的值为.答案2解析圆C:x2+y2-2y=0的圆心坐标是(0,1),半径r=1,PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,PA长度的最小值为2,PC长度的最小值为12+22=5.由点到直线的距离公式可得|1+4|k2+1=5,k=2.k0,k=2.三、解答题11.已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线m:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两
8、点.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=219时,求直线l的方程.解析(1)易知点A(-1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A的半径r,r=|-1+4+7|5=25,圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)记MN的中点为Q,则MQA=90,且|MQ|=19,在RtAMQ中,|AQ|=|AM|2-|MQ|2=1,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,显然x=-2符合题意.当直线l的斜率存在时,设动直线l的方程为y=k(x+2),由点A(-1,2)到l的距离为1,得|-k-2+2k|k2+1=1,解得k=34.所求l的方程为3x-4y+6=0或x=-2.12.已知抛物线
9、C:y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线C上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3.(1)求抛物线C的方程;(2)过点K(-1,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点(A,B两点在x轴的上方),点A关于x轴的对称点为D,且FAFB,求ABD的外接圆的方程.解析(1)抛物线的准线方程为x=-p2,所以点E(2,t)到焦点F的距离为2+p2=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)解法一:设直线l的方程为x=my-1(m0).将x=my-1代入y2=4x,并整理得y2-4my+4=0,由=(-4m)2-160,解得m1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(x1,-y1),
10、y1+y2=4m,y1y2=4,易知抛物线的焦点为F(1,0),所以FAFB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+m2)y1y2-2m(y1+y2)+4=8-4m2,因为FAFB,所以FAFB=0,即8-4m2=0,结合m1,解得m=2.所以直线l的方程为x-2y+1=0.设AB的中点坐标为(x0,y0),则y0=y1+y22=2m=22,x0=my0-1=3,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-22=-2(x-3).因为线段AD的垂直平分线的方程为y=0,所以ABD的外接圆的圆心坐标为(5,0).因为圆心(5,0)到直线l的距离d=23,且|AB|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2
11、=43,所以圆的半径r=d2+|AB|22=26.所以ABD的外接圆的方程为(x-5)2+y2=24.解法二:依题意可设直线l:y=k(x+1)(k0).将直线l与抛物线C的方程联立,并整理得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.由=(2k2-4)2-4k40,结合k0,得0k1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2+4k2,x1x2=1.所以y1y2=k2(x1x2+x1+x2+1)=4,所以FAFB=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=8-4k2,因为FAFB,所以FAFB=0,所以8-4k2=0,又0k0,得b22+2k2.由根与系数的关系,得x1+x2=-2bk
12、1+k2,x1x2=b2-21+k2.由k1k2=y1x1y2x2=kx1+bx1kx2+bx2=3,得(kx1+b)(kx2+b)=3x1x2,即(k2-3)x1x2+bk(x1+x2)+b2=0.将代入,整理得b2=3-k2.由得b2=3-k20,解得-3k3.由和,解得k33.要使k1,k2,k有意义,则x10,x20,所以0不是方程(*)的根,所以b2-20,即k1且k-1.由,得k的取值范围是-3,-1)-1,-3333,1(1,3.命题拓展预测1.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形
13、三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则ABC的欧拉线方程为()A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=0答案DB(-1,0),C(0,2),线段BC中点的坐标为-12,1,线段BC所在直线的斜率kBC=2,则线段BC的垂直平分线的方程为y-1=-12x+12,即2x+4y-3=0.AB=AC,ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0.故选D.2.阿波罗尼斯是古希腊著名
14、数学家,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线论一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是“如果动点M与两定点A,B的距离之比为(0,1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆”.下面我们来研究与此相关的一个问题,已知圆O:x2+y2=1上的动点M和定点A-12,0,B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为()A.6B.7C.10D.11答案C当点M在x轴上时,点M的坐标为(-1,0)或(1,0).若点M的坐标为(-1,0),则2|MA|+|MB|=212+(1+1)2+12=1+5;若点M的坐标为(1,0),则2|MA|+|MB|=232+(1-1)2+12=4.当点M不在x轴上时,取点K(-2,0),连接OM,MK,因为|OM|=1,|OA|=12,|OK|=2,所以|OM|OA|=|OK|OM|=2.又因为MOK=AOM,所以MOKAOM,则|MK|MA|=|OM|OA|=2,所以|MK|=2|MA|,则2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|.易知|MB|+|MK|BK|,可知|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长.因为B(1,1),K(-2,0),所以(2|MA|+|MB|)min=|BK|=(-2-1)2+(0-1)2=10.综上可知,2|MA|+|MB|的最小值为10.故选C.
