1、11.2 余弦定理内 容 标 准学 科 素 养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理2.能用余弦定理解决简单的三角形问题.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 余弦定理预习教材P57，思考并完成以下问题(1)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角(如已知 a，b 及角 C)，这个三角形大小、形状完全确定吗？可以用 a，b 及 C 表示边 c 吗？提示：完全确定三角形，可以用 a、b 及 C 表示 c.(2)如果 C90，边 c 如何表示？提示：c2a2b2.(3)如果 C 是任意角，C
2、(0，)，如图设CB a，CA b，AB c，如何运用向量求|AB|?提示：cab，|c|2(ab)2|a|2|b|22aba2b22abcos C，即 c2a2b22abcos C 余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去符号语言a2，b2，c2这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍b2c22bccos Ac2a22accos Ba2b22abcos C变形探究：已知三边求角：cos A，cos B，cos C.b2c2a22bca2c2b22acb2a2c22ab思考(1)勾股定理 c2a2b2与余弦定理 c2a2b22abcos C 有什么关系提示：前者是后者的特例(
3、C90)(2)ABC 中，B60，a12c，ABC 一定是直角三角形吗？提示：b2a2c22accos B14c2c2212c21234c2.a2b214c234c2c2，故 C90，ABC 为直角三角形自我检测1在ABC 中，已知 a4，b6，C120，则边 c 的值是()A8 B2 17 C6 2 D2 19答案：D2在ABC 中，若 a2c2b2ab，则 cos C_.答案：12 探究一 已知两边及夹角解三角形阅读教材 P7例 3方法步骤：(1)先用余弦定理求 a2.(2)用正弦定理求较小的角 C.(3)由 ABC180求角 B.例 1(1)在ABC 中，已知 a2，b2 2，C15，求
4、 A.解析 cos 15cos(4530)6 24，由余弦定理，得 c2a2b22abcos C482 2(6 2)84 3，c 6 2.cos Ab2c2a22bc 32.又 0A180，A30.(2)在ABC 中，已知 b3，c3 3，B30，求 A，C 和 a.解析 法一：由余弦定理 b2a2c22accos B，得 32a2(3 3)22a3 3cos 30，即 a29a180，解得 a3 或 a6.当 a3 时，A30，C120；当 a6 时，由正弦定理，得 sin Aasin Bb6123 1.A90，C60.法二：由 bc，B30，bcsin 303 3123 32 知本题有两解
5、由正弦定理，得sin Ccsin Bb3 3123 32，C60或 120.当 C60时，A90，由勾股定理，得 a b2c2 323 326；当 C120时，A30，ABC 为等腰三角形，a3.方法技巧 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出第三边，其他角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求解；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解(2)若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，)上，余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦定理求解较好跟踪探究 1.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a3，b2，cos
6、(AB)13，则 c()A4 B.15C3 D.17答案：D2在ABC 中，若 a2，bc7，cos B14，则 b_.解析：bc7，c7b.由余弦定理得 b2a2c22accos B，即 b24(7b)222(7b)(14)，解得 b4.答案：4探究二 已知三边解三角形 阅读教材 P7例 4方法步骤：(1)用余弦定理变式求某角的余弦值(2)用余弦定理变式求另一角的余弦值(3)结合 ABC180，求第三个角例 2 ABC 中，a2 3，b2 2，c 6 2，解该三角形解析 法一：cos Ab2c2a22bc 884 31222 2 6 212，A60，cos Ba2c2b22ac1284 38
7、4 3 6 2 22，B45，C75.法二：由余弦定理得cos Ab2c2a22bc 884 31222 2 6 212，A60，由正弦定理得 sin Bbsin Aa2 2 322 3 22，ab，B45，C180AB75，A60，B45，C75.延伸探究 1.将本例改为：若三角形三边长之比是 1 32，则其所对角之比是()A123 B1 32C1 2 3D.2 32解析：设三角形三边长分别为 m，3m,2m(m0)，最大角为 A，则 cos Am2 3m22m22m 3m0，A90.设最小角为 B，则 cos B2m2 3m2m222m 3m 32，B30，C60.故三角形三角之比为 12
8、3.答案：A方法技巧 已知三边解三角形的方法及注意事项(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值非负，角为锐角或直角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为 180确定第三个角的大小(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入 k，从而转化为已知三边求解探究三 已知三边关系解三角形教材练习 P25B 组 3 题研究一下，一个三角形能否具有以下两个性质：(1)三边是连续的三个自然数；(2)最大角是最小角的 2 倍解析：设ABC 的三
9、边分别为 an1，bn，cn1(n2，且 nN)，同时 C2A.由sin Csin An1n1得 2cos An1n1.又cos An12n2n122nn1 n42n1，2 n42n1n1n1，n5 适合题意故存在这个三角形，三边分别为 4,5,6.例 3 在ABC 中，已知 a2c2b2ac，且 sin Asin C(31)2，求角 C.解析 a2c2b2ac，a2c2b22accos B2accos Bac，cos B12.0B180，B60，AC120.sin Asin C 312，2sin A(31)sin C.2sin(120C)(31)sin C.2sin 120cos C2cos
10、 120sin C(31)sin C，sin Ccos C，tan C1，C45.延伸探究 2.将本例条件变为：在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a2b2c2 2ac，则角 B 的大小是()A45 B60C90 D135解析：因为 a2b2c2 2ac，所以 a2c2b2 2ac.由余弦定理得 cos Ba2c2b22ac 2ac2ac 22，又 0B180，所以 B45.答案：A3将本例条件改为：“在ABC 中，sin2Asin2C(sin Asin B)sin B”，求角 C.解析：由 sin2Asin2Csin Asin Bsin2B，结合正弦定理得 a2c2
11、abb2，即 a2b2c2ab，cos Ca2b2c22ab12，C(0，)，C3.方法技巧 在三角形的边角关系中，含有 a2，b2，c2 或 ab，bc，ca 等形式的等式条件，可以变形为余弦定理的形式，求角或求边探究四 用余弦定理判定三角形的形状教材 P10B 组第 2 题在ABC 中，如果有性质 acos Abcos B，试问这个三角形的形状具有什么特点？用余弦定理如何判定？解析：由于 cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，ab2c2a22bcba2c2b22ac，即 a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)c2(a2b2)0，ab 或 c2a2b2.
12、ABC 为等腰三角形或直角三角形例 4 在ABC 中，acos Abcos Bccos C，试判断三角形的形状解析 由余弦定理 cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab和 acos Abcos Bccos C 得ab2c2a22bcba2c2b22acca2b2c22ab，(a2b2c2)(a2b2c2)0，a2b2c2 或 b2a2c2.ABC 是直角三角形方法技巧 判断三角形形状的基本思想和两条思路跟踪探究 3.在ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2C，则ABC 的形状是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定解析：由正弦定
13、理asin Absin Bcsin C，原式变为 a2b2c2，又结合余弦定理变形得cos Ca2b2c22ab0，所以角 C 为钝角，ABC 为钝角三角形答案：A课后小结余弦定理的特点(1)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量(2)适用的三角形的条件：主要适用于已知三角形的两边及一角或三边已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一
14、元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)已知三边解三角形的方法：先用余弦定理的变式求两个内角的余弦值，再求角，最后用内角和为 180求第三角(3)判断三角形的形状时，经常用到以下结论：ABC 为直角三角形a2b2c2或 c2a2b2 或 b2a2c2.ABC 为锐角三角形a2b2c2，且 b2c2a2，且 c2a2b2.ABC 为钝角三角形a2b2c2或 b2c2a2 或 c2a2b2.若 sin 2Asin 2B，则 AB 或 AB2.素养培优忽视分类讨论及三角形中的隐含条件致误在钝角三角形 ABC 中，a1，b2，求边 c 的取值范围易错分析 此题易出现两个错误：一是只考虑了角 C 是钝角的情况，事实上角 B 也可能是钝角；二是没有考虑到在三角形中“两边之和大于第三边”的隐含条件考查了分类讨论思想、逻辑推理、数学运算、直观想象的学科素养自我纠正 因为 a1，b2，所以 1c3.若角 B 是钝角，则 cos B0，即12c22221c0，解得1c 3；若角 C 是钝角，则 cos C0，即1222c2212 0，解得 5c3.综上，边 c 的取值范围是(1，3)(5，3)04 课时 跟踪训练
