1、 2020届高二年级下学期月考（一）数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则（ D ）（A）（B）（C）（D）2命题“存在R，0”的否定是（D ）A不存在R，0 B存在R，0C对任意的R，0 D对任意的R，03复数的虚部是（ C ） Ai Bi C1 D14在ABC，a=，b=，B=，则A等于（ B ）A B C D或 5已知，则（ C ）A B C D 6.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于（ B ）（A）-4 （B）-6 （C）-8 （D）-107.某班50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的
2、方法，从全班学生中抽取部分学生进行调查，已知抽到的女生有4名，则本次调查抽取的人数是（B ）A8 B10 C12 D158.函数的最小正周期是（ A ）A B C D 9已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ A ）A3 B2 C1 D10.已知点在双曲线的渐近线上，则的离心率等于（ B ）（A） （B） （C） （D）或11.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则(D)A B C D12函数的导函数为，对,都有成立，若，则不等式的解是（ C ） A B C D. 二、填空题：本大题共
3、4小题，每小题5分。13某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则命中环数的标准差为_214.已知向量的夹角为，则_115.已知是定义在R上的偶函数,且.若当 时, ,则= .416. 已知球O的半径为1，点A,B,C是球大圆上的任意三点，点P是球面上的任意一点，则三棱锥P-ABC的最大体积为_.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(10分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中a的值；(2)根据频率分布
4、直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；解(1)由频率分布直方图知(0.040.030.022a)101，因此a0.005.(2)550.05650.4750.3850.2950.0573.所以这100名学生语文成绩的平均分为73分18（12分）已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示：（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计当时的值；参考公式：， .（1）散点图如图所示： （2） 依题意， ， ， ，；回归直线方程为，故当时， . 19.（12分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机
5、地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解：(1)设
6、A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得(0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.42.52.62.72.72.82.93.03.13.23.5)2.3，(0.50.50.60.80.91.11.21.21.31.41.61.71.81.92.12.42.52.62.73.2)1.6.由以上计算结果可得，因此可看出A药的疗效更好.(2)由观测结果可绘制茎叶图如图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上由此可看出A药的疗效更好.20.（12分）如图，在四棱锥P-AB
7、CD中，底面ABCD是菱形，DAB，PD平面ABCD，PD=AD=1，点分别为AB和PD中点.()求证：直线AF平面PEC ；()求PC与平面PAB所成角的正弦值.解：()证明：作FMCD交PC于M. 点F为PD中点，. 2分 ，AEMF为平行四边形，AFEM， 4分，直线AF平面PEC. 6分()，.如图所示，建立坐标系，则 P(0,0,1),C(0,1,0),E(,0,0),A(，0)，. 8分设平面PAB的一个法向量为.，取，则，平面PAB的一个法向量为. 10分设向量，PC平面PAB所成角的正弦值为. .12分21.（12分）如图,已知为原点,圆与轴相切于点,与轴正半轴相交于两点（点在
8、点的右侧）,且.椭圆过点,且焦距等于（1）求圆和椭圆的方程；（2）若过点斜率不为零的直线与椭圆交于、两点,求证：直线与直线的倾角互补【解析】（1）设圆的半径为,由题意,圆心为, 故圆的方程为 令,解得或,所以 由得椭圆的方程为 （2）设直线的方程为,由得， 设,则 因为 ， 所以 当或时,此时方程,不合题意.直线与直线的倾斜角互补 22.（12分）已知函数，且函数的图象在点处的切线与直线垂直.（）求；（）求证：当时，.解:（）因为，故，故；依题意，；又，故，故，联立解得， 5分（）由（1）得.要证，即证； 7分 令，故当时，；令，因为的对称轴为，且，故存在，使得；时，,，即上单调递增；当时，故，即上单调递减；因为故当时， 10分又当时， 11分所以，即 12分