1、第十节 变化率与导数、导数的计算 1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数 yC(C 为常数)，yx，y1x，yx2，yx3，y x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0处的导数：定义：称函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率 limx0 fx0 xfx0 xlimx0 yx为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0即 f(x0)limx0 yxlimx0 fx0 xfx0 x.几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x
2、0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)(2)函数 f(x)的导函数：称函数 f(x)limx0 fxxfxx为 f(x)的导函数 2基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1 f(x)sin x f(x)cos_x f(x)cos x f(x)sin_x f(x)ax f(x)axln_a(a0)f(x)ex f(x)ex f(x)logax f(x)1xln a f(x)ln x f(x)1x 3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)；(
3、3)fxgxfxgxfxgxgx2(g(x)0)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求 f(x0)时，可先求 f(x0)再求 f(x0)()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点()(4)若 f(a)a32axx2，则 f(a)3a22x.()(1)(2)(3)(4)2(教材改编)有一机器人的运动方程为 s(t)t23t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t2 时的瞬时速度为()【导学号：31222075】A.194 B.174 C.154 D.134 D 3(2016天津高考)已知函数 f(x)(2
4、x1)ex，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为_ 3 4(2016豫北名校期末联考)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_ 5xy20 4(2015全国卷)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.1 导数的计算 求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yxx21x1x3；(3)yxsinx2cosx2；(4)ycos xex.(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex1xexln x1x.(2)yx311x2，y3x22x3.(3)yx12sin x，y112cos x.(4)ycos xexxxcos x
5、xx2 sin xcos xex.1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错 2如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导 (1)f(x)x(2 017ln x)，若 f(x0)2 018，则 x0等于()Ae2 B1 Cln 2 De(2)(2015天津高考)已知函数 f(x)axln x，x(0，)，其中 a 为实数，f(x)为 f(x)的导函数若 f(1)3，则 a 的值为_(1)B(2)3 导数的几何意义 角度 1 求切线方程 已知曲线 y13x343.(1)求曲线
6、在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程 (1)点 P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；(2)点 P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为x0，13x3043，由此求出切线方程，再把点 P(2,4)代入切线方程求 x0.(1)根据已知得点 P(2,4)是切点且 yx2，在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y|x2 4，3 分 曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.5 分(2)设曲线 y13x343与过点 P(2,4)的切线相切于点 Ax0，13x3043，则切线的斜率为 y|xx0 x20，切线方程
7、为 y13x3043 x20(xx0)，即 yx20 x23x3043.7 分 点 P(2,4)在切线上，42x2023x3043，即 x303x2040，9 分 x30 x204x2040，x20(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得 x01 或 x02，故所求的切线方程为 xy20 或 4xy40.12 分 角度 2 求切点坐标 若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_ 【导学号：31222076】(e，e)角度 3 求参数的值 (1)已知直线 y12xb 与曲线 y12xln x 相切，则 b 的值为()A2 B1
8、C12 D1(2)(2017西宁复习检测(一)已知曲线 yx1x1在点(3,2)处的切线与直线 axy10 垂直，则 a()A2 B2 C12 D.12(1)B(2)A 1.导数 f(x0)的几何意义就是函数 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点 2曲线在点 P 处的切线是以点 P 为切点，曲线过点 P 的切线则点 P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标 易错警示：当曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于 x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是 xx0.1f(x0)是函数 f(x)在 xx0处的导数值
9、；(f(x0)是函数值 f(x0)的导数，而函数值 f(x0)是一个常数，其导数一定为 0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则在实施化简时，必须注意变换的等价性 1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 2曲线 yf(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不一定为切点 3曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点 课时分层训练(十三)变化率与导数、导数的计算 A 组 基础达
10、标(建议用时：30 分钟)一、选择题 1函数 f(x)(x2a)(xa)2的导数为()【导学号：31222077】A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2)D3(x2a2)C 2已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln x，则 f(1)等于()Ae B1 C1 De B 3曲线 ysin xex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30 Bx2y20 C2xy10 D3xy10 C 4(2017郑州模拟)已知曲线 yx243ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A3 B2 C1 D.12 B 5已知 f(x)x32x2x6，则 f(x)在
11、点 P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()【导学号：31222078】A4 B5 C.254 D.132 C 二、填空题 6(2017郑州二次质量预测)曲线 f(x)x3x3 在点 P(1,3)处的切线方程是_ 2xy10 7若曲线 yax2ln x 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a_.【导学号：31222079】12 8如图 2101，yf(x)是可导函数，直线 l：ykx2 是曲线 yf(x)在 x3 处的切线，令 g(x)xf(x)，其中 g(x)是 g(x)的导函数，则 g(3)_.图 2101 0 三、解答题 9求下列函数的导数：(1)yxnlg x；(2
12、)y1x2x21x3；(3)ysin xxn.(1)ynxn1lg xxn1xln 10 xn1nlg x1ln 10.(2)y1x 2x2 1x3 (x1)(2x2)(x3)x24x33x4 1x24x33x4.(3)ysin xxn xnsin xxnsin xx2n xncos xnxn1sin xx2n xcos xnsin xxn1.10已知点 M 是曲线 y13x32x23x1 上任意一点，曲线在 M 处的切线为 l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线 l 的倾斜角 的取值范围 (1)yx24x3(x2)211，2 分 所以当 x2 时，y1，y53，所以斜率最小的切线过点2
13、，53，4 分 斜率 k1，所以切线方程为 xy113 0.6 分(2)由(1)得 k1，9 分 所以 tan 1，所以 0，2 34，.12 分 B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2016山东高考)若函数 yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 yf(x)具有 T 性质，下列函数中具有 T 性质的是()Aysin x Byln x Cyex Dyx3 A 2(2016全国卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ex1x，则曲线 yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_ 2xy0 3已知函数 f(x)x2x，g(x)a(2ln x)(a0)
14、若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在 x1 处的切线斜率相同，求 a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线 【导学号：31222080】根据题意有 f(x)12x2，g(x)ax.2 分 曲线 yf(x)在 x1 处的切线斜率为 f(1)3，曲线 yg(x)在 x1 处的切线斜率为 g(1)a，所以 f(1)g(1)，即 a3.6 分 曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 yf(1)3(x1)，所以 y13(x1)，即切线方程为 3xy40.9 分 曲线 yg(x)在 x1 处的切线方程为 yg(1)3(x1)，所以 y63(x1)，即切线方程为 3xy90，所以，两条切线不是同一条直线.12 分