1、2.5.2 圆与圆的位置关系课标解读课标要求素养要求1.掌握圆与圆的位置关系.2.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系.3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题.1.数学抽象能够抽象出圆与圆的位置关系.2.逻辑推理能够通过推理判断圆与圆的位置关系.3.数学建模能够利用圆的方程解决实际问题.自主学习必备知识教材研习教材原句两个圆之间存在以下三种位置关系：（1）两圆相交，有 两个 公共点；（2）两圆相切，包括 外切 与 内切 ，只有一个公共点；（3）两圆相离，包含外离与内含， 没有 公共点.自主思考下面生活中常见的一些图形蕴含了两个圆之间的哪些位置关系？提示 相离、相切、相交. 名师点睛圆与圆位
2、置关系的判断（1）几何法：若两圆的半径分别为r1、r2 ，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d 与r1、r2 的关系dr1+r2d=r1+r2|r1-r2|dr1+r2d=|r1-r2|0d|r1-r2|（2）代数法：联立两圆的方程组成方程组，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆公共点的个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含互动探究关键能力探究点一 圆与圆位置关系的判断精讲精练例已知两圆C1 ：x2+y2-2x-3=0 ，C2 ：x2+y2-6x+2y+1=0 .试判断两圆的位置关系.答案：解法一
3、：将两个圆的方程联立得x2+y2-2x-3=0, x2+y2-6x+2y+1=0, 两式相减得y=2x-2 ，代入x2+y2-2x-3=0 得5x2-10x+1=0 ，因为=(-10)2-451=800 ，所以5x2-10x+1=0 有两个不相等的实数根，即方程组有两组解，所以两圆相交.解法二：由题意知圆C1 的圆心为(1,0)，半径为2，圆C2 的圆心为(3,-1)，半径为3，所以两圆的圆心距d=(3-1)2+(-1-0)2=5 ，因为155 ，所以两圆相交.解题感悟判断两圆位置关系的两种方法：（1）几何法：利用两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；（2）代数法：把两圆
4、位置关系的判断问题转化为方程组的解的组数问题.迁移应用（2021吉林洮南一中高二期中）已知两圆M ：x2+y2-2x-6y-1=0 ，N ：x2+y2-10x-12y+m=0（1）m 取何值时，两圆外切？（2）m 取何值时，两圆内切？答案：（1）易知两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11 ，(x-5)2+(y-6)2=61-m ，所以圆心分别为M(1,3),N(5,6) ，半径分别为r1=11,r2=61-m ，圆心距|MN|=(5-1)2+(6-3)2=5 .当两圆外切时，|MN|=r1+r2 ，即5=11+61-m ，解得m=25+1011 .（2）当两圆内切时，因为圆的半径
5、r1=11 小于圆心距，所以该圆为小圆，即|MN|=|r1-r2|5=61-m-11 ，解得m=25-1011 .探究点二 两圆的相交问题精讲精练例已知圆C1 ：x2+y2+2x+2y-8=0 与圆C2 ：x2+y2-2x+10y-24=0 相交于A、B 两点.（1）求圆C1 和圆C2 的公共弦所在直线的方程；（2）求公共弦AB 的长.答案：（1）联立两个圆的方程得x2+y2+2x+2y-8=0, x2+y2-2x+10y-24=0, 两式相减得x-2y+4=0 ，所以公共弦AB 所在直线的方程为x-2y+4=0 .（2）易知圆心C1 的坐标为(-1,-1)，半径r1=10 ，所以C1 到直线
6、AB 的距离d=|-1+2+4|5=5 ，故|AB|=2r12-d2=25 .解题感悟（1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆的方程相减，即可得两圆的公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆的方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.（2）求两圆的公共弦长的方法：一是先联立两圆的方程求出交点的坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再利用半径、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.迁移应用（多选题）（2021山东济南高二期末）已知圆C1 ：x2+y2=1 和圆C2 ：x2+y2-4x=0 相交于A ，B 两点，则( )A.|C1C2|=
7、2 B.直线AB 的方程是x=14C.AC1AC2 D.|AB|=152答案：A ; B ; D解析：圆C1 的圆心是C1(0,0) ，半径r1=1 ，圆C2 的圆心是C2(2,0),r2=2 ，|C1C2|=2 ，故A正确；两圆相减就是直线AB的方程，两圆相减得4x=1x=14 ，故B正确；|AC1|=1,|AC2|=2 ，|C1C2|=2 ，|AC1|2+|AC2|2|C1C2|2 ，所以AC1 不垂直于AC2 ，故C不正确；圆心(0,0)到直线x=14 的距离d=14 ，|AB|=2r12-d2=21-116=152 ，故D正确.探究点三 圆系方程精讲精练例求过两圆x2+y2-4=0 和
8、x2-4x+y2=0 的交点，且圆心在直线x-3y-6=0 上的圆的方程.答案：解法一：联立得x2+y2-4=0,x2+y2-4x=0,解得x=1,y=3 或x=1, y=-3, 点(1,3) 和(1,-3) 都在所求圆上， 所求圆的圆心在x 轴上.又圆心在直线x-3y-6=0 上， 所求圆的圆心为(6,0)，半径r=(6-1)2+(3)2=28 ， 所求圆的方程为(x-6)2+y2=28 .解法二：设所求圆的方程为x2+y2-4+(x2+y2-4x)=0(-1) ，整理得x2+y2-41+x-41+=0 ， 圆心为(21+,0) . 圆心(21+,0) 在直线x-3y-6=0 上，21+-6
9、=0 ，解得=-32 ， 所求圆的方程为x2+y2-12x+8=0 .解题感悟经过两个圆的公共点可作无数个圆，这无数个圆可组成一个圆系.常见的圆系方程有如下几种：（1）过直线与圆的交点的圆系方程：过直线Ax+By+C=0 与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0) 的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0 ，特别地，当直线与圆相切于点P 时，上述方程表示与直线都相切于点P 的圆.（2）过两个圆的交点的圆系方程：过两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F10) ，x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F20) 的交
10、点的圆系方程为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1) .迁移应用求过圆x2+y2-4x+2y=0 与圆x2+y2-2y-4=0 的交点，且圆心在直线2x+4y-1=0 上的圆的方程.答案：设所求圆的方程为x2+y2-4x+2y+(x2+y2-2y-4)=0(-1) ，即x2+y2-41+x+2(1-)1+y-41+=0 ，所以圆心为(21+,-1-1+) ，因为圆心在直线2x+4y-1=0 上，所以221+-41-1+-1=0 ，解得=13 ，故所求圆的方程为x2+y2-3x+y-1=0 .评价检测素养提升1.圆O1 ：x2+y2-2x=0 和圆
11、O2 ：x2+y2+4y=0 的位置关系是( )A.相离B.外切C.内切D.相交答案：D2.两圆x2+y2-2y-3=0 与x2+y2+2x=0 的公共弦所在直线的方程为( )A.2x-2y-3=0 B.2x-2y+3=0C.2x+2y+3=0 D.2x+2y-3=0答案：C3.若圆x2+y2=4 与圆x2+y2+2ay-6=0(a0) 的公共弦长为23 ，则a= .答案：14.求圆心为(2,1)，且与已知圆x2+y2-3x=0 的公共弦所在直线经过点(5,-2)的圆的方程.答案：设所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2 ，即x2+y2-4x-2y+5-r2=0 ，已知圆的方程为x2+y2-3x=0 ，由-得x+2y-5+r2=0 ，故两圆的公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0 ，又该直线经过点(5,-2)，5-4-5+r2=0 ，r2=4 ，故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4 .
