1、第二章 数 列2.1 数列的概念与简单表示法第1课时 数列的概念与简单表示法主题1 数列的有关概念全体自然数按从小到大排成一列数:0,1,2,3,4,.正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数:1,精确到1,0.1,0.01,0.001,的不足近似值排成一列数:3,3.1,3.14,3.141,.无穷多个1排成一列数:1,1,1,1,1,.当n分别取1,2,3,4,5,时,(-1)n的值排成一列数:-1,1,-1,1,-1,.1.观察上面几列数,它们有什么共同特征?提示:这五列数的共同特征:都是按照一定顺序排列的一列数.2.这5列数,按项的个数来分,可以把数列分为几类?提示:从项数的多少可以把
2、数列分为两类:有穷数列如和无穷数列如.3.这5列数,按项的大小又可以把数列分为哪几类?提示:从项的大小可以把数列分为递增数列如;递减数列如;常数列如;摆动数列如.结论:1.数列的概念(1)数列:按照_的一列数称为数列.(2)项:数列中的_叫做这个数列的项,排在_的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项).一定顺序排列每一个数第一位(3)表示:数列的一般形式可以写成_,简记为_.a1,a2,a3,anan2.数列的分类类别含义按项的个数有穷数列 项数_的数列无穷数列 项数_的数列按项的变化趋势递增数列 从第2项起,每一项都_它的前一项的数列递减数列 从第2项起,每一项都_它的前一项的数列常数列各
3、项_的数列摆动数列 从第2项起,有些项_它的前一项,有些项小于它的前一项的数列有限无限大于小于相等大于【对点训练】1.下列叙述正确的是()A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B.数列0,1,2,3,是有穷数列C.数列0,1,0,1,是常数列D.数列是递增数列【解析】选D.数列1,3,5,7与7,5,3,1是不同的两个数列;数列0,1,2,3是无穷数列;数列0,1,0,1是摆动数列不是常数列;数列是递增数列.2.已知数列-1,0,则是其()A.第14项B.第12项C.第10项D.第8项【解析】选B.令,化为:5n2-72n+144=0,解得n=12,或n=(舍去).3.下列数列中,
4、既是递增数列又是无穷数列的是()A.1,B.-1,-2,-3,-4,C.-1,D.【解析】选C.对于A,它是无穷递减数列;对于B,它也是无穷递减数列;D是有穷数列;对于C,既是递增数列又是无穷数列,故C符合题意.主题2 数列的表示法观察如图所示内容,回答下列问题:1.在上面的数列中,你能表示项an与项的序号n之间的关系吗?提示:能,an=2n-1.2.是否任意一个数列的第n项an与序号n之间都能用一个公式an=f(n)来表示?提示:不一定,如精确到1,0.1,0.01,的不足近似值构成的数列的第n项an与n之间就无法用一个公式an=f(n)来表示.结论:1.数列的通项公式如果数列an的第n项与
5、_之间的关系可以用_来表示,那么这个_叫做这个数列的通项公式.序号n一个式子公式2.数列的表示法数列的表示法有三种,分别是_法、_法、_法.列表图象解析【对点训练】1.下列说法不正确的是()A.数列可以用图象来表示B.数列的通项公式不唯一C.数列的项不能相等D.数列可以用一群孤立的点表示【解析】选C.数列的项可以相等,例如数列1,1,2,3,所以C不正确.2.数列的一个通项公式为()A.an=(-1)n B.an=(-1)nC.an=(-1)n+1D.an=(-1)n+1【解析】选D.根据分子、分母还有正负号的变化,可知题干中数列的一个通项公式可以为an=(-1)n+1 .3.根据下面数列an
6、的通项公式,写出它的前5项:(1)an=.(2)an=(-1)nn.【解析】(1).(2)a1=-1,a2=2,a3=-3,a4=4,a5=-5.类型一 数列的概念与分类【典例1】(1)下列说法正确的是()A.数列1,2,3,5,7可表示为1,2,3,5,7B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列的第k项是1+D.数列0,2,4,6,8,可记为2n(2)下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.B.sin 0,sin ,sin,sin ,sin 2,C.-1,D.1,【解题指南】(1)根据数列的定义去判断.(2)结合无穷数列与递增数列的定义去判断.【解析
7、】(1)选C.A中的1,2,3,5,7表示集合而不是数列,故A错,B中的两个数列是不同的两个数列,因为1,0,-1,-2这四个数的顺序不一样,所表示的数列也不同,故B错误,数列0,2,4,6,8可记为2(n-1),而不是2n,故D错.(2)选C.A中数列是递减数列,B中数列是摆动数列,C中数列是递增数列,又是无穷数列,D中数列是有穷数列,故C正确.【方法总结】数列分类问题的关注点(1)有穷数列与无穷数列.判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列.(2)数列的单调性.若满足anan+1(nN*),则是递减数列;若满足an=
8、an+1(nN*),则是常数列;若an与an+1(nN*)的大小关系不确定时,则是摆动数列.【跟踪训练】若数列an满足an=2n,则数列an是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选A.an+1-an=2n+1-2n=2n0,所以an+1an,即an是递增数列.【补偿训练】已知下列数列:(1)0,0,0,0,0,0;(2)0,-1,2,-3,4,-5,;(3)0,;(4)1,0.2,0.22,0.23,;(5)0,-1,0,cos ,.其中,_是有穷数列,_是无穷数列,_是递增数列,_是递减数列,_是常数列,_是摆动数列(填序号).【解析】由数列中项的多少可知(1)是有穷数
9、列,(2)(3)(4)(5)是无穷数列,根据数列单调性的定义知(3)是递增数列,(4)是递减数列,(1)是常数列,(2)(5)是摆动数列.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1)(2)(5)类型二 用观察法求数列的通项公式【典例2】(1)数列的一个通项公式是()A.an=B.an=C.an=D.an=(2)(2019无锡高二检测)观察下列等式,1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,则第n个式子为_.【解题指南】分析数列的前几项,探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式.【解析】(1)选B.通过观察,各项分母是2n的形式,符号与
10、项数存在(-1)n的关系,所以an=.(2)根据题意,第一个式子从1开始,左边按顺序相加,有1项,和为12;第二个式子从2开始,有3项,和为32;第三个式子从3开始,有5项,和为52,于是可归纳出,第n个式子从n开始,有2n-1项,和为(2n-1)2,于是答案为:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2【方法总结】求数列通项公式的常用方法主要靠观察、比较、归纳、转化、联想等方法.具体关注点为:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项的符号特征和绝对值特征;化异为同.对于分式,还可以考虑对分子、分
11、母各个击破,或寻找分子、分母的关系.【跟踪训练】根据数列的前4项,写出下列数列的一个通项公式.(1)0.9,0.99,0.999,0.999 9,.(2).(3).【解析】(1)0.9=1-0.1=1-10-1,0.99=1-10-2,0.999=1-10-3,0.999 9=1-10-4,故an=1-10-n(nN*).(2)故an=n+(nN*).(3)故an=(nN*).【补偿训练】已知数列an,bn的前4项分别为:写出数列an,bn的通项公式.【解析】数列an中的第n项的分母是项数加1,分子是项数加1的平方再减去1,故an=.数列bn中的第n项分母是3n+1,分子是3n-2,故bn=.
12、类型三 数列通项公式的简单应用【典例3】已知数列an的通项公式为an=.(1)写出数列的第4项和第6项.(2)试问是该数列中的项吗?若是,是第几项?若不是请说明理由.【解题指南】(1)利用通项公式an=,分别令n=4与n=6即可求出a4与a6.(2)解答本题的关键是看方程an=有无正整数解,若有,则该方程的正整数解即为项数,若没有则不是该数列中的项.【解析】(1)因为an=,所以a4=,a6=.(2)是该数列中的项,令an=,整理得n2+3n-40=0,解得n=5,n=-8(舍),故是数列an中的第5项.【方法总结】1.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号
13、n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.2.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数,则是数列中的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的一项.【补偿训练】已知数列an的通项公式是an=,其中nN*.(1)写出a10,an+1和.(2)79 是不是这个数列中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.【解析】(1)a10=,an+1=,.(2)令an=,整理得n2+n-240=0,解得n=15或n=-16(舍),故79 是该数列中的第15项.【补偿训练】已知函数f(x)=2x-2-x,数列an满足f(log2an)=-2n(nN*).(1)求数列an的通项公式.(2)讨论数列an的单调性,并证明你的结论.【解析】(1)因为f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,所以有即an-=-2n,所以+2nan-1=0,解得an=-n .因为an0,所以an=-n(nN*).(2)因为0,所以an+1an,即数列an是递减数列.【知识思维导图】