1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十三)导数与导数的运算(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015九江模拟)已知f(x)=xsin x+ax且f()=1，则a=( )A.0B.1C.2D.4【解析】选A.因为f(x)=sin x+xcos x+a，且f()=1，故sin+cos+a=1，即a=0.2.(2015合肥模拟)若f(x)=2xf(1)+x2,则f(0)等于( )A.2 B.0 C.-2 D.-4【解析】选D.f(x)=2f(1)+2x,令x=1,则f(1)
2、=2f(1)+2,得f(1)=-2,所以f(0)=2f(1)+0=-4.【误区警示】本题在对f(x)求导时易出错，原因是不能将2f(1)看成x的系数.3.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为( )A.1B.2C.-1D.-2【解析】选B.设切点坐标为(x0,y0),由y=知在x=x0处的导数为,由题意知=1.解方程组得故选B.【加固训练】已知函数y=xln x,则其在点x=1处的切线方程是( )A.y=2x-2B.y=2x+2C.y=x-1D.y=x+1【解析】选C.因为y=x ln x.所以y=1ln x+x=1+ln x，在x=1处的导数为1，即切线的斜率为1.又当x
3、=1时y=0.所以切线方程为y=x-1.4.已知曲线y=x2-3ln x的一条切线的斜率为-,则切点横坐标为( )A.-2B.3C.2或-3D.2【解析】选D.设切点坐标为(x0,y0),因为y=x-,所以在x=x0处的导数为x0-,由题意知x0-=-,即x02+x0-6=0,解得x0=2或x0=-3(舍)，故选D.【误区警示】本题易误选C,原因是忽视了函数的定义域.5.若曲线y=在点(m,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则m的值为( )A.8B.-8C.64D.-64【解析】选C.y=,切线的斜率k=-，切线方程为y-=-(x-m).从而直线的横、纵截距分别为3m，.所以三角
4、形的面积S=，由=18得m=64.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2013江西高考)设函数f(x)在(0,+)内可导，且f(ex)=x+ex,则f(1)=_.【解题提示】利用换元法求出f(x)，再求导.【解析】令ex=t,则x=ln t.f(t)=t+ln t.所以f(x)=x+ln x.所以f(x)=1+,从而f(1)=2.答案:27.(2015宝鸡模拟)已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1)处的切线方程是y=x+3，则f(1)+f(1)=_.【解析】由题意知f(1)= ,f(1)=1+3=，所以f(1)+f(1)=+=4.答案:48.曲线y=+x在点处的切线与坐标轴围成的三
5、角形的面积为_.【解析】若y=+x,则y=x2+1,在x=1处的导数为2，即曲线y=+x在点处的切线方程是y-=2(x-1)，它与坐标轴的交点是围成的三角形的面积为.答案:三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知曲线y=+.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程.(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.【解析】(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y=x2,所以在点P(2,4)处的切线的斜率为4.所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=+与过点P(2,4)的切线相切于点则切线的斜率为x02.所以切线方程为,即y=.因为点P(2,4)
6、在切线上，所以4=,即x03-3x02+4=0,所以x03+x02-4x02+4=0,所以x02(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.10.已知函数f(x)= 的图像在点(-1,f(-1)处的切线方程为x+2y+5=0,求y=f(x)的解析式.【解析】由已知得，-1+2f(-1)+5=0,所以f(-1)=-2,即切点为(-1,-2).又f(x)= 所以解得所以f(x)=.(20分钟 40分)1.(5分)(2015淮南模拟)点P是曲线x2-y-ln x=0上的任意一点，则点P
7、到直线y=x-2的最小距离为( )A.1B.C.D.【解析】选D.将x2-y-ln x=0变形为y=x2-ln x(x0),则y=2x-,令y=1,则x=1或x=-(舍)，可知函数y=x2-ln x的斜率为1的切线的切点横坐标为x=1,纵坐标为y=1.故切线方程为x-y=0.则点P到直线y=x-2的最小距离即x-y=0与y=x-2的两平行线间的距离，d=.2.(5分)已知f1(x)=sin x+cos x,记f2(x)=f1(x),f3(x)=f2(x),fn(x)=fn-1(x)(nN*,且n2),则=_.【解题提示】分别求出f1(x)，f2(x),f3(x),f4(x),发现其规律再求解.
8、【解析】f1(x)=sin x+cos x,f2(x)=cos x-sin x,f3(x)=-sin x-cos x,f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x,因此，函数fn(x)(nN*)周期性出现且周期为4.又f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,所以答案:13.(5分)(2015武汉模拟)已知曲线f(x)=xn+1(nN*)与直线x=1交于点P，设曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 015x1+log2 015x2+log2 015x2 014的值为_.【解析】由题意知P(1，1)，f(x)=(n+1)xn,k
9、=f(1)=n+1,曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=1-,即xn=,所以x1x2x2 014=,则log2 015x1+log2 015x2+log2 015x2 014=log2 015(x1x2x2 014)=log2 015=-1.答案:-14.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2，-6)处的切线的方程.(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直，求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)可判定点(2，
10、-6)在曲线y=f(x)上.因为f(x)=(x3+x-16)=3x2+1.所以曲线在点(2,-6)处的切线的斜率为f(2)=13.所以切线的方程为y-(-6)=13(x-2),即13x-y-32=0.(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16.又因为直线l过点(0，0)，所以0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16,整理得x03=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3(-2)2+1=13,所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3
11、)因为切线与直线y=-+3垂直，所以切线的斜率为4.设切点的坐标为(x0,y0),则f(x0)=3x02+1=4,所以x0=1,所以或即切点坐标为(1，-14)或(-1，-18)，所以切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)=4(x+1).即4x-y-18=0或4x-y-14=0.【加固训练】(2015沧州模拟)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR).(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为-3，求a,b的值.(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.【解析】f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(
12、1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线.所以关于x的方程f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根，所以=4(1-a)2+12a(a+2)0,即4a2+4a+10,所以a-.所以a的取值范围为.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=x-,g(x)=a(2-ln x)(a0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线.【解题提示】分别对f(x),g(x)求导.求出切线斜率,然后求出a可得切线方程，再判断.【解析】根据题意有f(x)=1+,g(x)=-.曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g(1)=-a.所以f(1)=g(1),即a=-3.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),得:y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0.曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1).得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,所以，两条切线不是同一条直线.关闭Word文档返回原板块