1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十九)数列(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015赣州模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2=()A.4B.2C.1D.-2【解析】选A.当n=1时,解得a1=2,当n=2时,S2=a1+a2=2(a2-1),解得a2=4.2.数列1,-,-,的一个通项公式是()A.an=(-1)n+1(nN*)B.an=(-1)n-1(nN*)C.an=(-1)n+1(nN*)D.an=(-1)n-1(nN*)【解析
2、】选D.观察数列an各项,可写成:,-,-,故选D.3.(2015西安模拟)设已知数列an对任意的m,nN+,满足am+n=am+an,且a2=1,那么a10等于()A.3B.5C.7D.9【解析】选B.因为am+n=am+an,且a2=1,所以a4=2a2=2,a8=2a4=4,从而a10=a2+a8=1+4=5.4.(2015潍坊模拟)数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n1),则a6=()A.344B.344+1C.45D.45+1【解析】选A.因为an+1=3Sn,所以Sn+1-Sn=3Sn,即Sn+1=4Sn,所以=4,又S1=a1=1,所以数列Sn是首项为1,公
3、比为4的等比数列,所以Sn=14n-1=4n-1,因此a6=S6-S5=45-44=344.【一题多解】本题还可用以下两种方法解答:方法一:由已知得a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=34,a4=3S3=48=342,a5=3S4=343,a6=3S5=344,故选A.方法二:当n1时an+1=3Sn,则an+2=3Sn+1,所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列,又a2=3S1=3a1=3,所以an=所以当n=6时,a6=346-2=344.5.已知an=,把数列an的各项排列成如下的三角形形状
4、.a1a2a3a4a5a6a7a8a9记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=()A.B.C.D.【解析】选A.由题意知,前9行共有1+3+5+17=81个数,因此,第10行的第1个数是a82,第12个数是a93,又因为an=,所以A(10,12)=a93=.【加固训练】(2015盐城模拟)将正偶数按下表排成5列:第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826根据表中的规律,偶数2014应在第_行第_列.【解析】表中每一行4个数,因为都是偶数,所以201424=251余3,从表格可知奇数行从第2列开始,从小到大排列
5、,偶数行从第一列开始,从大到小排列,所以可得其在第252行,第2列.答案:2522二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015南昌模拟)已知数列an满足an+2=an+1+an,若a1=1,a5=8,则a3=_.【解析】由an+2=an+1+an,得an+3=an+2+an+1=2an+1+an,即当n=2时a5=2a3+a2,当n=1时,a3=a2+a1,即a2=a3-a1,两式联立得a5=2a3+a2=2a3+a3-a1,因为a1=1,a5=8,所以8=3a3-1,即a3=3.答案:3【加固训练】已知数列an对于任意p,qN*,有ap+aq=ap+q,若a1=,则a36=()A.B.C
6、.1D.4【解析】选D.因为ap+q=ap+aq,所以a36=a32+a4=2a16+a4=4a8+a4=8a4+a4=18a2=36a1=4.7.若数列an中,a1=3,an+an-1=4(n2),则a2014的值为_.【解析】因为a1=3,an+an-1=4(n2),所以a1=3,a2=1,a3=3,a4=1,显然当n是偶数时,an=1,所以a2014=1.答案:1【加固训练】(2015黄冈模拟)已知数列an,若a1=b(b0),an+1=-(nN*),则能使an=b成立的n的值可能是()A.14B.15C.16D.17【解析】选C.由已知得a1=b,a2=-=-,a3=-=-,a4=-=
7、b,a5=-=-,a6=-=-,所以数列an的周期为3,再根据a1=a4=b,观察选项可知a16=b,故选C.8.(2015宜春模拟)对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23=33=43=仿此,若m3的“分裂数”中有一个是2015,则m=_.【解析】由题意,从23到m3,正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+m=个,2015是从3开始的第1007个奇数,当m=44时,从23到443,用去从3开始的连续奇数共=989个,当m=45时,从23到453,用去从3开始的连续奇数共=1034个,故m=45.答案:45三、解答题9.(10分)(2015新余模拟)已知数列an的前n
8、项和为Sn,且满足Sn=2an-n(nN+).(1)求a1,a2,a3的值.(2)求数列an的通项公式及其前n项和Sn.【解析】(1)因为Sn=2an-n,令n=1,解得a1=1,再分别令n=2,n=3,解得a2=3,a3=7.(2)因为Sn=2an-n,所以Sn-1=2an-1-(n-1)(n2,nN+),两式相减得an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1)(n2,nN+),又因为a1+1=2,所以an+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2n,所以an=2n-1,Sn=2an-n=2n+1-n-2.【加固训练】1.已知a1+2a2+22a3+2n-1an=9-6n,
9、则数列an的通项公式是_.【解析】令Sn=a1+2a2+22a3+2n-1an,则Sn=9-6n,当n=1时,a1=S1=3;当n2时,2n-1an=Sn-Sn-1=-6,所以an=-,所以通项公式an=答案:an=2.数列an满足an=n2-5n+3(其中为实常数),nN*,且an为单调递增数列,求实数的取值范围.【解析】当0时,由题意得.故实数的取值范围为.【方法技巧】数列的性质的理解(1)数列的单调性与实数区间上函数的单调性是不同的,区间上函数的单调性必须对区间内的实数满足单调性的定义,而数列的单调性只要求对正整数满足单调性的定义即可,如函数f(x)=2x2-5x的单调递增区间是,而通项
10、公式是an=2n2-5n的数列an对任意的正整数都满足单调递增的定义.(2)数列的周期性是指存在正整数k(常数),对任意正整数n,an+k=an,在给出递推关系的数列中可以通过计算数列的前几项的值,探究其周期性.(3)在由特殊得出一般结论的时候,一定要注意特殊中体现出来的一般规律,为了保证特殊化方法得出的结论具有一般意义,可以多计算数列中几项的值,加以验证.(20分钟40分)1.(5分)(2015哈尔滨模拟)若数列an满足a1=1,a2=2015,且an=(n3,nN*),则a2015等于()A.1B.2015C.D.-1【解析】选C.因为a1=1,a2=2015,所以a3=2015;a4=1
11、;a5=;a6=;a7=1,a8=2015,显然a7=a1,a8=a2,根据递推关系,逐步代入,则得a9=a3,a10=a4,.故该数列的项周期性出现,其周期为6,a2015=a3356+5=a5=,故选C.2.(5分)(2015郑州模拟)对于数列an,“an+1|an|(n=1,2,)”是“数列an为递增数列”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.方法一:由an+1|an|(n=1,2,)知an从第二项起均为正项,且a1a2anan+1|an|(n=1,2,),如-2,-1,0,1,2,.所以“an+1|an|(n=1,2,)”是“数列a
12、n为递增数列”的充分不必要条件.方法二:因为an+1|an|(n=1,2,3,),所以若a10,则an0(n=1,2,3,),此时an+1an,数列an是递增数列.若a1an,数列an是递增数列.但是,数列an是递增数列,不能得到an+1|an|,如-3,-2,1,2,3,所以“an+1|an|(n=1,2,)”是“数列an为递增数列”的充分不必要条件.3.(5分)对于正项数列an,定义Hn=为an的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为Hn=,则数列an的通项公式为_.【解析】由Hn=可得a1+2a2+3a3+nan=,当n2时,a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=,-得nan=-=,所
13、以an=.又n=1时,由可得a1=,也适合上式,所以数列an的通项公式为an=.答案:an=,nN*【加固训练】在如图所示的数阵中,第9行的第2个数为_.1【解析】由图可知,每行的第二个数构成一个数列an,a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,所以a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,an-an-1=2(n-1)-1=2n-3,以上等式两边同时相加得an-a2=n2-2n,故an=n2-2n+3(n2),所以a9=92-29+3=66.答案:664.(12分)数列an的通项公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小
14、值.(2)对于nN*,都有an+1an,求实数k的取值范围.【解析】(1)由n2-5n+40,解得1nan知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到nN*,所以-3.【加固训练】已知数列an的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,an=0,an0,an0,解得n6或n6(nN*)时,an0.令n2-n-300,解得0n6.所以当0n6(nN*)时,an0.(3)Sn存在最小值,不存在最大值.由an=n2-n-30=-30(nN*),知an是递增数列,且a1a2a5a6=0a7a8a9,故Sn存在最小值S5=S6,不存在最大值.5.(13分)(能力挑战题)设函数f(x)=log2x-logx2(0x1),数列an满足f()=2n(nN*).(1)求数列an的通项公式.(2)证明:数列an是单调递增数列.【解析】(1)由f()=2n(nN*),得log2-=2n,即an-=2n,即-2nan-1=0,故an=n.由0x1,知01,即an-=an.可知an+1an(nN*),故此数列为递增数列.方法二:由=1,且anan.关闭Word文档返回原板块