1、第十三章 导数(文)网络体系总览考点目标定位 1.导数的背景. 2.导数的概念. 3.多项式函数的导数. 4.利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值.复习方略指南 在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用,应淡化某些公式、法则的理论推导.课本只给出了两个简单函数的导数公式,我们只要求记住这几个公式,并会应用它们求有关函数的导数即可. 从2000年高考开始,导数的知识已成为高考考查的对象,特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一,题型涉及选择题、填空题与解答题,要给予充分的重视.依据最新考试大纲,本章共含有知识点8个
2、,重点考查几种常见函数的导数、导数的求法和利用导数研究函数的单调性和极值、最值问题. 依据以上特点,复习中要深入理解和正确运用导数的定义、法则、常用求导公式,掌握利用可导函数判断函数单调性的基本方法,掌握利用可导函数求函数极值的基本方法,掌握求在闭区间连续的函数的最值的基本方法,注意区分极值和最值两个概念,注意从图象上认识f(x)与f(x)的关系,会利用导数的几何意义和物理意义解决问题,本章的主要知识就是导数的应用,关键是提高应用知识的熟练程度,从而加强理解.13.1 导数的概念与运算巩固夯实基础 一、自主梳理 1.用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量y； (2)求平均变化率; (3
3、)取极限,得导数f(x0)=. 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义:曲线f(x)在某一点(x0,y0)处的导数是过点(x0,y0)的切线斜率.物理意义:若物体运动方程是s=s(t),在点P(t0,s(t0)处导数的意义是t=t0处的瞬时速度. 3.求导公式 (c)=0,(xn)=nxn-1(nN*). 4.运算法则 如果f(x)、g(x)有导数,那么f(x)g(x)=f(x)g(x),cf(x)=cf(x). 二、点击双基1.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数y=f(x)的图象是如右图所示的一条直线,则y=f(x)图象的顶点在( )A.第象限 B.第象限 C.第象限 D.第象限解析:
4、显然y=f(x)为二次函数,设为f(x)=ax2+bx+c(a0), 则y=f(x)=2ax+b. 由图象知a0. 因而y=f(x)的顶点在第象限.答案:A2.曲线y=f(x)在点P(2,-3)的切线方程为x+2y+4=0,则f(2)等于( )A.- B.2 C.3 D.-3解析:f(2)即为曲线在P点切线的斜率.答案:A3.已知函数f(x)=2x3-x2+m(m为常数)图象上点A处的切线与直线x-y+3=0的夹角为45,则点A的横坐标为( )A.0 B.1 C.0或 D.1或解析:由f(x)=6x2-x=0,得x=0或.答案:C4.对于函数y=f(x),四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的
5、一个性质:甲:对于xR,都有f(1+x)=f(1-x);乙:在(-,0上函数f(x)0;丁:f(0)0.如果其中恰有3人说法正确,请写出一个这样的函数:_.解析:f(x)=(x-1)2,此函数满足:(1)f(1+x)=f(1-x);(2)x(-,0时,f(x)0;(3)f(0)0.答案:f(x)=(x-1)25.已知f(x)=x3+3xf(0),则f(1)等于_.解析:由f(x)=x3+3xf(0),得f(x)=x2+3f(0), 则f(0)=02+3f(0), 即f(0)=0,所以f(1)=12+3f(0)=1.答案:1诱思实例点拨【例1已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在(
6、2,-1)处的切线的斜率为1,求a、b、c的值.剖析:题中涉及三个未知数,而已知中有三个独立条件,故可通过解方程组来确定a、b、c.解:y=ax2+bx+c分别过点(1,1)和点(2,-1), a+b+c=1, 4a+2b+c=-1, y=2ax+b. y|x=2=4a+b=1. 由可得a=3,b=-11,c=9.讲评:导数的几何意义决定了函数的导数知识与平面解析几何中直线的知识有着密切的联系,导数使确定曲线在某处的切线斜率变得简单易求.链接提示 导数是新增加的内容,但它在高考中是必考内容,各种题型均有考查,在解此类问题时,需注意理解函数在某一点处导数的定义及其几何意义,物理学意义,掌握用定义
7、求导数的一般方法.【例2】 曲线y=x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?剖析:求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解:曲线在点(3,27)处切线的方程为y=27x-54,此直线与x轴、y轴交点分别为(2,0)和(0,-54), 切线与坐标轴围成的三角形面积S=254=54.讲评:求切线的斜率是导数的一个基本应用.【例3】 已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x00),求直线l的方程及切点坐标.剖析:切点(x0,y0)既在曲线上,又在切线上,由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解:直线过原点,则k=(
8、x01). 由点(x0,y0)在曲线C上,则y0=x03-3x02+2x0, =x02-3x0+2. 又y=3x2-6x+2, 在(x0,y0)处曲线C的切线斜率k=f(x0)=3x02-6x0+2. x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 整理得2x02-3x0=0. 解得x0=(x00). 这时,y0=-,k=-. 因此,直线l的方程为y=-x,切点坐标是(,-).讲评:对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时,要有求导意识.链接聚焦 导数是中学限选内容中较为重要的知识,由于其应用的广泛性,为我们解决函数问题提供了一般性的方法,运用它可以简捷地解决一些实际问题.【例4】 证明过抛物线y=a(x-x1)(x-x2)(a0,x1x2)上两点A(x1,0)、B(x2,0)的切线,与x轴所成的锐角相等.剖析:利用与x轴所成的锐角和倾斜角之间的关系,只要求出切线的斜率进行比较即可.解:y=2ax-a(x1+x2), y=a(x1-x2),即ka=a(x1-x2),y=a(x2-x1),即kb=a(x2-x1). 设两条切线与x轴所成的锐角为、,则tan=|ka|=|a(x1-x2)|, tan=|kb|=|a(x2-x1)|,故tan=tan. 又、是锐角,则=.讲评:由tan=tan不能直接得=,还必须有、为锐角(或在同一单调区间上)时才能得=.