1、第2课时 函数的概念（二）互动探究关键能力探究点一 区间的应用自测自评1.区间(-3,2 用集合可表示为( )A.-2,-1,0,1,2 B.x|-3x2C.x|-3x2 D.x|-3x2答案：C2.下列区间与集合x|x-2或x0 相对应的是( )A.(-2,0)B.(-,-20,+)C.(-,-2)0,+)D.(-,-2(0,+)答案：C3.下列集合不能用区间的形式表示的个数为( )A=0,1,5,10 ；x|3ltx9,xZ ； ；x|x是平行四边形；x|x1或x2 ；x|x2,xN .A.2B.3C.4D.5答案：D解析：能用区间表示的集合必须是连续的实数构成的集合，只有是连续实数构成的
2、集合，因此只有可以用区间表示，故选D.4.函数f(x)=xx-1 的定义域用区间表示为 .答案：0,1)(1,+)解析：要使xx-1 有意义，需满足x0,x-10, 即x0 且x1 ，用区间表示为0,1)(1,+) .解题感悟用区间表示数集的方法（1）区间左端点值小于右端点值；（2）区间两端点之间用“，”隔开；（3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.探究点二 同一个函数的判断精讲精练例 下列各组函数表示同一个函数的是( )A.f(x)=x,g(x)=(x)2 B.f(x)=x2+1,g(t)=t2+1C.f(x)=1,g(x)=xx D.f(x)=x,g(x)=|x|答案：B解
3、析：A项中，由于f(x)=x 的定义域为R ，g(x)=(x)2 的定义域为x|x0 ，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数.B项中，两个函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数.C项中，f(x)=1 的定义域为R ，g(x)=xx 的定义域为x|x0 ，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数.D项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数.故选B.解题感悟判断两个函数为同一个函数时应注意的点（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数.（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.（3）在化简
4、解析式时，必须是等价变形. 迁移应用1.有下列各组函数：f(x)=x2-x2 ，g(x)=x-1 ；f(x)=xx ，g(x)=xx ；f(x)=x+11-x ，g(x)=1-x2 ；f(x)=(x+3)2 ，g(x)=x+3 .其中表示同一个函数的有 （填序号）.答案：解析：中两个函数的定义域不同，f(x) 的定义域为x|x0 ，g(x) 的定义域为R ，所以不是同一个函数.中两个函数的对应关系不同，f(x)=1x ，g(x)=x ，所以不是同一个函数.中两个函数的定义域、对应关系都相同，所以是同一个函数.中两个函数的对应关系不同，f(x)=|x+3| ，g(x)=x+3 ，所以不是同一个函
5、数.探究点三 求函数值精讲精练 例 设f(x)=2x2+2 ，g(x)=1x+2(x-2) .（1）求f(2),f(a+3),g(a)+g(0)(a-2),g(f(2) ；（2）求g(f(x) .答案：（1）因为f(x)=2x2+2 ，所以f(2)=222+2=10 ，f(a+3)=2(a+3)2+2=2a2+12a+20 .因为g(x)=1x+2(x-2) ，所以g(a)+g(0)=1a+2+10+2=1a+2+12(a-2) .g(f(2)=g(10)=110+2=112 .（2）g(f(x)=1f(x)+2=12x2+2+2=12x2+4 .解题感悟求函数值的方法（1）已知f(x) 的解
6、析式时，用a 替换解析式中的x 即得f(a) 的值.（2）已知f(x) 与g(x) ，求f(g(a) 的值应遵循由里往外的原则. 迁移应用1.已知f(x)=2x2-3x-25 ，g(x)=2x-5 ，求：（1）f(2),g(2) ；（2）f(g(2),g(f(2) ；（3）f(g(x),g(f(x) .答案：（1）f(2)=222-32-25=-23 ；g(2)=22-5=-1 .（2）f(g(2)=f(-1)=2(-1)2-3(-1)-25=-20 .g(f(2)=g(-23)=2(-23)-5=-51 .（3）f(g(x)=f(2x-5)=2(2x-5)2-3(2x-5)-25=8x2-4
7、6x+40 .g(f(x)=g(2x2-3x-25)=2(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55 .探究点四 函数的值域精讲精练 例求下列函数的值域：（1）f(x)=2x+1,x1,2,3,4,5 ；（2）f(x)=x2-4x+6,x1,5) ；（3）f(x)=3x-1x+1 ；（4）f(x)=x+x .答案：（1）x1,2,3,4,5 ，分别代入求值，可得函数的值域为3,5,7,9,11 .（2）f(x)=x2-4x+6=(x-2)2+2 ，因为x1,5 ），如图所示，所以函数f(x) 的值域为2,11) .（3）f(x)=3(x+1)-4x+1=3-4x+1(x-1) ，显然4x+1
8、 可取到0以外的一切实数，即函数f(x) 的值域为(-,3)(3,+) .（4）设u=x(x0) ，则x=u2(u0) ，f(u)=u2+u=(u+12)2-14(u0) .由u0 ，可知(u+12)214 ，所以f(u)0 ，所以函数f(x)=x+x 的值域为0,+) .解题感悟求函数的值域应根据各个式子不同的结构特点，选择不同的方法：（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.（2）配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的函数的方法.（3）图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域.（4）分离常数法：此方法主要是
9、针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.（5）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f(x)ax+b+cx+d （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a0 ）型的函数常用换元法. 1.求下列函数的值域：（1）f(x)=x2-2x+3,x0,3) ；（2）f(x)=2x+1x-3 ；（3）f(x)=2x-x-1 .答案：（1）（配方法）f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2 ，x0,3) ，函数的图象如图所示，可得函数f(x) 的值域为2,6) .（2）（分离常数法）f(x)=2x+1x-3=2(x-3)+7x-3=2+
10、7x-3 ，显然7x-30 ，f(x)2 .故函数f(x) 的值域为(-,2)(2,+) .（3）（换元法）设t=x-1 ，则x=t2+1 ，且t0 ，f(t)=2(t2+1)-t=2(t-14)2+158 ，t0 ，函数f(t) 的图象如图所示，则函数f(x) 的值域为158,+) .评价检测素养提升1.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A.y=x-2 和y=x2-4x+2B.y=x-1 和y=x2-2x+1C.f(x)=(x-1)2 和g(x)=(x+1)2D.f(x)=(x)2x 和g(x)=x(x)2答案：D2.下列函数中，值域为(0,+) 的是( )A.y=x B.y=1x C
11、.y=1x D.y=x2+1答案：B解析：y=x 的值域为0,+) ，y=1x 的值域为(-,0)(0,+) ，y=x2+1 的值域为1,+) .故选B.3.设函数f(x)=41+x ，若f(m)=2 ，则实数m= .答案：1解析：因为f(x)=41+x ，且f(m)=2 ，所以41+m=2 ，解得m=1 .4.（2020安徽合肥一中高一月考）已知函数f(x)=2x-1 ，g(x)=3x2 ，则f(g(1)= .答案： 1解析：由题意得g(1)=3 ，f(3)=1 .5.已知函数f(x)=3x-2 ，xxN|2x5 ，则函数f(x) 的值域为 .答案：4,7,10,13解析：x=2,3,4,5 ，且f(x)=3x-2 ，f(x) 的值域为4,7,10,13 .6.已知f(x)=3x+1x+2 ，求f(x) 的定义域与值域.答案：要使函数有意义，则x+20 ，解得x-2 ， 函数f(x) 的定义域是x|x-2 .f(x)=3(x+2)-5x+2=3+-5x+2 ，-5x+20 ，3+-5x+23 ， 函数f(x) 的值域为y|y3 .
